Toán 9 Phương trình bậc bốn

[superspeedy100]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Xét các số thực a, b, c sao cho đa thức [tex]P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1[/tex] có bốn nghiệm là độ dài các cạnh của một hình bình hành. Tìm GTNN của [tex]T=a+b+c[/tex]

Các bạn giúp dùm mình nha.

 

[nguyenbahiep1]

hình bình hành thì sẽ có các cặp cạnh đối diện bằng nhau
cho nên pt bậc 4 này phải có nghiệm x = + - x1 và x= + - x2 tức a = c = 0
x^4 + b.x^2 + 1 =0
denta = b^2 - 4 > 0 và - b > 0 nên b < -2 vây T ko có giá trị nhỏ nhất

 

[superspeedy100]

Thầy ơi, nhưng đáp án lại là T nhỏ nhất bằng -2 ạ.

 

[iceghost]

Xét các số thực a, b, c sao cho đa thức [tex]P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1[/tex] có bốn nghiệm là độ dài các cạnh của một hình bình hành. Tìm GTNN của [tex]T=a+b+c[/tex]

Các bạn giúp dùm mình nha.

Chắc là 4 nghiệm phải dương.

Như vậy thì pt có 4 nghiệm là $x_1, x_1, x_2, x_2 > 0$
Theo định lý Vi-ét thì $\begin{cases} x_1^2 x_2^2 = 1 \\ 2x_1^2 x_2 + 2x_1x_2^2 = -c \\ x_1^2 + x_2^2 + 4x_1x_2 = b \\ 2x_1 + 2x_2 = -a \end{cases}$
Suy ra $T = -2x_1 - 2x_2 + x_1^2 + x_2^2 + 4x_1x_2 - 2x_1^2x_2 - 2x_1x_2^2$
$= -2(x_1 + x_2) + (x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2(x_1 + x_2)$

Do $x_1x_2 > 0$ nên $x_1x_2 = 1$. $T = S^2 - 4S + 2 = (S - 2)^2 - 2 \geqslant -2$. Dấu '=' xảy ra khi $x_1 = x_2 = 1$