Dylan Dang
Xin chào
Mình Phát hiện ra một cách rất hay để giải tích phân mà chưa tìm thấy tài liệu nào bằng tiếng Việt đề cập đến cả. Mong các ad post lên page để nhiều người biết đến
VD1: Tìm nguyên hàm I = ∫dx/√(x²+1)
Ở bài bày bạn có thể đổi biến lượng giác bằng cách đặt x = tan(t), nhưng sau khi vi phân bạn phải tìm tiếp nguyên hàm ∫dx/cos(t). Cách này hơi dài và mình không thích.
Cách của mình: Đặt x = (e^t - e^-t)/2
Hàm số này có 1 tính chất rất đặc biệt, đó là: dx = √(x²+1) = (e^t + e^-t)/2
Thay vào ta có I = ∫dt = t + C và điều cuối cùng cần làm là biểu diễn t theo x:
x + √(x²+1) = (e^t – e^-t)/2 + (e^t + e^-t)/2 = e^t
Suy ra t = ln(x+√(x²+1)). Vậy nguyên hàm cần tìm là I = ln(x+√(x²+1)) + C
VD2: I = √(x²+1)dx
Ở câu này nếu đặt x = tant thì ta phải tìm tiếp nguyên hàm ∫dt/cos³(t), rất mất thời gian. Nếu đặt x = (e^t – e^-t)/2 như trên thì ta có nguyên hàm I = ∫(e^t + e^-t)²/4 dt
Ta khai triển biểu thức trên ra và tính nguyên hàm của hàm số mũ rất dễ dàng
I = ∫(e^2t + e^-2t + 2)/4 dt = (e^2t – e^-2t)/8 + t/2 + c = (e^t – e^-t)(e^t + e^-t)/8 + t/2+ C = x√(x²+1) /2 + ln(x+√(x²+1))/2 + C
Trường hợp hàm số có chứa dạng √(x²-1) thì ta cũng làm tương tự và đặt x = (e^t + e^-t)/2, suy ra dx = √(x²-1) = (e^t – e^-t)/2 và t = ln(x+√(x²-1))
Tổng quát: Với hàm số có dạng √(x²+a²) thì đặt x = a(e^t – e^-t)/2. Với hàm số có dạng √(x²-a²) thì đặt x = a(e^t + e^-t)/2
Chú ý: Để dễ khai căn thì ta cần 2 hàm số trên dương, vì vậy ta giới hạn tập xác định để t > 0
Cách làm này được dựa vào một loại hàm số mới, gọi là các hàm hyperbolic, ký hiệu là sinh(x) và cosh(x). Họ hàm số này có tính chất tương tự như các hàm lượng giác mà chúng ta được học, nhưng khác ở chỗ là cosh²(x) - sinh²(x) = 1. Vì chương trình cấp 3 chúng ta không được học nên ta phải viết chúng dưới dạng mũ: cosh(x) = (e^x + e^-x)/2 và sinh(x) = (e^x – e^-x)/2.
Có thể định nghĩa tương tự hàm tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) và tanh²(x) – 1 = 1/cosh²(x).
Vì các hàm này có thể được viết dưới dạng mũ nên các hàm nghich đảo của chúng có thể được viết dưới dạng logarit:
x = cosh(y) -> y = arcosh(x) = ln(x+√(x²-1)) (x≥1)
x = sinh(x) -> y = arsinh(x) = ln(x+√(x²+1))
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn