cho [tex]V1_{(O;k_{1})}[/tex] và [tex]V2_{(O;k_{2})}[/tex]. Gọi f là hợp thành của V1;V2 sao cho [tex]k_{1}k_{2}=1[/tex] thì f là phép tịnh tiến
Lấy 1 điểm M bất kì, nếu $V_1$ biến $M$ thành $M_1$ và $V_2$ biến $M_1$ thành $M_2$ thì [tex]\overrightarrow{O_1M_1}=k_1\overrightarrow{O_1M}[/tex] và [tex]\overrightarrow{O_2M_2}=k_2\overrightarrow{O_2M_1}[/tex]
Khi đó, phép hợp thành $F$ biến $M$ thành $M_2$. Gọi $I$ là ảnh của $O_1$ qua phép vị tự $V_2$, tức là [tex]\overrightarrow{O_2I}=k_2\overrightarrow{O_2O_1}[/tex]
Khi đó, [tex]\overrightarrow{IM_2}=k_2\overrightarrow{O_1M_1}=k_1k_2\overrightarrow{O_1M}[/tex]
Nếu [tex]k_1k_2=1\Rightarrow \overrightarrow{IM_2}=\overrightarrow{O_1M} \\ \Rightarrow \overrightarrow{MM_2}=\overrightarrow{O_1I}=\overrightarrow{O_1O_2}+\overrightarrow{O_2I}=(1-k_2)\overrightarrow{O_1O_2}[/tex]
Vậy $F$ là phép tịnh tiến theo [tex]\overrightarrow{u}=(1-k_2)\overrightarrow{O_1O_2}[/tex]