Toán [Ôn thi THPTQG 2022] Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

chi254 · 9 Tháng một 2022

Bài 1: Một số vấn đề cơ bản về Nguyên hàm

I) Định nghĩa Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] xác định trên [imath]K[/imath]. Hàm số [imath]F(x)[/imath] được gọi là nguyên hàm của [imath]f(x)[/imath] trên [imath]K[/imath] nếu thỏa mãn điều kiện [imath]F’(x) = f(x)[/imath] với mọi [imath]x \in K[/imath]

Lưu ý: Đã chứng minh được mọi hàm số liên tục trên [imath]K[/imath] đều có nguyên hàm trên [imath]K[/imath]

Ví dụ:

Hàm số [imath]F(x) = x^3[/imath] được gọi là nguyên hàm của hàm số [imath]f(x) = 3x^2[/imath] trên [imath]\mathbb R[/imath] vì ta có: [imath]F’(x) = 3x^2 = f(x)[/imath] với mọi [imath]x \in \mathbb R[/imath]
Hàm số [imath]F(x) = \tan x[/imath] là 1 nguyên hàm của hàm số [imath]f(x) = \dfrac{1}{\cos^2x}[/imath] trên khoảng [imath]\left (\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2} \right)[/imath] vì ta có [imath]F’(x) = (\tan x)’ = \dfrac{1}{\cos^2x} = f(x)[/imath] với mọi [imath]x \in \left (\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2} \right)[/imath]
Hàm số [imath]F(x) = 2\sqrt{x}[/imath] là nguyên hàm của hàm số [imath]f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}[/imath] trên khoảng [imath](0; +\infty)[/imath] vì ta có: [imath]F’(x) = 2\sqrt{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} = f(x)\,\, \forall x \in (0; +\infty)[/imath]
Hàm số [imath]f(x) = e^x[/imath] có nguyên hàm là [imath]F(x) = e^x[/imath] vì ta có [imath]F’(x) = e^x = f(x)[/imath]

Định lí 1: Giả sử hàm số [imath]F(x)[/imath] là 1 nguyên hàm của hàm số [imath]f(x)[/imath] trên [imath]K[/imath]. Khi đó ta có:

Với mỗi hằng số [imath]C[/imath], hàm số [imath]y = F(x) + C[/imath] cũng là 1 nguyên hàm của [imath]f(x)[/imath] trên [imath]K[/imath]
Với mỗi nguyên hàm [imath]G(x)[/imath] của hàm số [imath]f(x)[/imath] trên [imath]K[/imath] thì luôn tồn tại một hằng số [imath]C[/imath] sao cho thỏa mãn [imath]G(x) = F(x) + C[/imath] với mọi [imath]x \in K[/imath]

Họ nguyên hàm của [imath]f(x)[/imath] trên [imath]K[/imath] kí hiệu là [imath]\displaystyle\int f(x)\,\mathrm dx[/imath]. Vậy ta có: [imath]\displaystyle \int f(x)\mathrm dx = F(x) +C[/imath] với mọi [imath]C \in \mathbb R[/imath]

Ghi nhớ: Nguyên hàm của hàm số [imath]f(x):\, \displaystyle\int f(x)\, \mathrm dx = F(x) +C \Leftrightarrow F'(x) = \left(\displaystyle\int f(x)\, \mathrm dx \right)' = f(x)[/imath]
Các tính chất cho [imath]f(x); g(x)[/imath] liên tục trên [imath]K[/imath]:

[imath]\displaystyle\int \Big(f(x) \pm g(x)\Big)\, \mathrm dx =\displaystyle \int f(x)\, \mathrm dx \pm \displaystyle\int g(x)\, \mathrm dx[/imath]
[imath]\displaystyle\int kf(x)dx = k\cdot \displaystyle\int f(x)\,\mathrm dx[/imath]
[imath]\left(\displaystyle \int f(x)\, \mathrm dx \right)' = f(x)[/imath]

II) Bảng nguyên hàm của 1 số hàm cơ bản

[imath]\displaystyle \int 0\, \mathrm dx = C[/imath]
[imath]\displaystyle \int 1\, \mathrm dx = x + C[/imath]
[imath]\displaystyle \int \dfrac{1}{x}\, \mathrm dx = \ln |x| + C[/imath]
[imath]\displaystyle \int \dfrac{1}{ax + b}\mathrm dx = \dfrac{1}{a} \cdot \ln |ax + b| + C[/imath]
[imath]\displaystyle \int x^{\alpha}\, \mathrm dx = \dfrac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1} + C ( \alpha \neq -1)[/imath]
[imath]\displaystyle\int (ax + b)^{\alpha}\, \mathrm dx = \dfrac{1}{a}\cdot \dfrac{(ax + b)^{\alpha +1}}{\alpha + 1} + C ( a \neq 0; \alpha \neq 1)[/imath]
[imath]\displaystyle\int a^x\, \mathrm dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C[/imath]
[imath]\displaystyle\int e^x\, \mathrm dx = e^x + C[/imath]
[imath]\displaystyle\int \sin kx\, \mathrm dx = \dfrac{-\cos kx}{k} + C (k \neq 0)[/imath]
[imath]\displaystyle\int \cos kx\, \mathrm dx = \dfrac{\sin kx}{k} + C ( k \neq 0)[/imath]
[imath]\displaystyle \int \dfrac{1}{\sin^2(kx) }\, \mathrm dx = \dfrac{-\cot kx}{k} + C[/imath]
[imath]\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos^2(kx) }\, \mathrm dx = \dfrac{-\tan kx}{k} + C[/imath]
[imath]\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2 – a^2}\, \mathrm dx = \dfrac{1}{2a}\cdot \ln \left(\dfrac{x – a}{x+a} \right) + C[/imath]
[imath]\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\, \mathrm dx = \dfrac{1}{a}\cdot \arctan \dfrac{x}{a} + C[/imath]

III) Ví dụ:

1) Tìm nguyên hàm của [imath]f(x) = 3^x[/imath]
[imath]\displaystyle\int f(x)\, \mathrm dx = \dfrac{3^x}{\ln 3} + C[/imath]

2) Tìm nguyên h của [imath]\cos 2x[/imath]
[imath]\displaystyle\int \cos2x\, \mathrm dx = \dfrac{\sin 2x}{2} + C[/imath]

3) Tìm nguyên hàm của [imath]f(x) = \dfrac{1}{3x - 2}[/imath]
[imath]\displaystyle \int \dfrac{1}{3x - 2}\, \mathrm dx = \dfrac{1}{3}\cdot \ln |3x -2| + C[/imath]

4) Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] thỏa mãn: [imath]f'(x) = 3 -5\sin x[/imath] và [imath]f(0) = 10[/imath]. Tìm [imath]f(x)[/imath]
[imath]\displaystyle\int f'(x)\, \mathrm dx = f(x)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \displaystyle\int (3 - 5\sin x)\, \mathrm dx = f(x)\\ \Leftrightarrow \displaystyle \int 3\, \mathrm dx - \displaystyle \int 5\sin x\, \mathrm dx = f(x) \\ \Leftrightarrow 3\cdot \displaystyle \int 1dx - 5\displaystyle \int \sin x\, \mathrm dx = f(x)\\ \Leftrightarrow 3x + 5\cos x + C = f(x)[/imath]

Ta có: [imath]f(0) = 10[/imath] [imath]\Leftrightarrow 5 + C =10 \Leftrightarrow C = 5[/imath]
Vậy [imath]f(x) = 3x + 5\cos x + 5[/imath]

Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022

chi254 · 13 Tháng một 2022

Bài 2: Phương pháp tính nguyên hàm

1) Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu $\displaystyle \int f(u) = F(u) + C$ và $u = u(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì:
$\displaystyle \int f(u(x)).u’(x)dx = F(u(x)) + C$

Hệ quả: Với $u = ax + b ( a \neq 0)$ ta có: $\int f(ax + b)dx = \dfrac{1}{a} . F(ax + b) + C$

Ví dụ:
a) Tính $I =\displaystyle \int \sqrt{x +2}.xdx$

Đặt $t = \sqrt{x + 2} \rightarrow t^2 = x + 2 \rightarrow dt^2 = d(x +2) \rightarrow 2tdt = dx$
Ta có: $x = t^2 – 2$
Thay vào I ta có: $I =\displaystyle \int t(t^2 – 2). (2tdt) = 2 \displaystyle \int (t^4 – 2t^2)dt = \dfrac{2t^5}{5} - \dfrac{4t^3}{3} + C$
Thế lại biến cũ $x$ ta có: $I = \dfrac{2}{5}.(x+2)^2.\sqrt{x +2} - \dfrac{2}{3}.(x+2)\sqrt{x+2} + C$

b) Tính $I = \displaystyle \int \dfrac{dx}{\sqrt{1 – x^2}}$

Đặt $x = \sin t \rightarrow dx = \cos tdt$

Suy ra: $I = \displaystyle \int \dfrac{dx}{\sqrt{1 – x^2}} = \displaystyle \int \dfrac{\cos tdt}{\cos t} =\displaystyle \int dt = t + C$
Thay lại biến số: $I = arcsinx + C$

c) Tính $I =\displaystyle \int \dfrac{1 + ln x}{x} dx$

Đặt $t = \sqrt{1 + \ln x} \rightarrow t^2 = 1 + \ln x \rightarrow 2tdt = \dfrac{dx}{x}$
Thay vào $I = \int t 2tdt = \dfrac{2t^3}{3} + C$
Thế lại biến $x$ ta có: $I = \dfrac{2(1 + \ln x)\sqrt{1 + \ln x}}{3} + C$

2) PP tính nguyên hàm từng phần

Định lí 2: Nếu 2 hàm số $u = u(x)$ và $v = v(x)$ có đạo hàm liên tục trên $K$ thì $\displaystyle \int u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) - \int u’(x).v(x)dx$

Lưu ý: Điều quan trọng trong 1 tích phân từng phầ là xác định được thành phần nào đặt u và tất nhiên có u rồi thì phần còn lại là dv. Để xác định cách đặt u, bạn có thể tham khảo câu tựa ca dao về quy luật: Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ.

Ví dụ:
a) Tính $I = \displaystyle \int e^x.xdx$

Đặt $u = x ; dv = e^x.dx \rightarrow du = dx$ và $v = \int e^xdx = e^x$
Áp dụng công thức tích phân từng phần: $I = x.e^x - \int e^xdx = x.e^x – e^x + C$

b) Tính $I = \displaystyle \int x^2e^xdx$

Đặt $u = x^2; dv = e^x.dx \rightarrow du = 2xdx ; v = \int e^xdx = e^x$
Áp dụng CT: $I = x^2.e^x - \int e^2.2xdx = x^2.e^x – 2\int e^x.xdx = x^2.e^x – 2I_{1}$
Tính $I_{1}$
Đặt $u = x; dv = e^x.dx$. Ta có: $du = dx; v = \int e^x.dx = e^2$
Áp dụng công thức: $I_{1} = x.e^x – e^x + C$
Thay lại tính $I = x^2.e^x -2x.e^x + 2.e^x – 2C$ hoặc viết gọn lại: $I = x^2.e^x -2x.e^x + 2.e^x + C$

chi254 · 9 Tháng hai 2022

Một số dạng tính nguyên hàm

I) Nguyên hàm của các hàm phân thức
Trước hết: Một hàm phân thức $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ bao giờ cũng phải đưa về dạng hàm phân thức có bậc của đa thức tở tử số nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số. Có thể thực hiện bằng phép chia đa thức
Mẫu số của $Q(x)$ luôn chỉ chứa 3 loại nhân tử sau:

Dạng nghiệm đơn: $x - x_1$
Dạng nghiệm bội: $(x - x_0)^2$
Dạng tam thức bậc 2 vô nghiệm : $ax^2 + bx + c >0$ với mọi $x$

1) Nguyên hàm phân thức với mẫu số có nghiệm đơn phân biệt

VD1: Tính nguyên hàm : $I = \displaystyle \int \dfrac{3x+1}{(x+1)(x+2)} dx$

Chúng ta đưa hàm phân thức về dạng tổng của các phân số tối giản

$\dfrac{3x+1}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x+2}$

Quy đồng 2 vế ta có: $\dfrac{3x+1}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{(A+B)x + 2A + B}{x+1}$

Đồng nhất hệ số 2 vế: $\left\{\begin{matrix} A+ B = 3 & & \\ 2A + B = 1 & & \end{matrix}\right. \iff \left\{\begin{matrix} A = -2 & & \\ B = 5 & & \end{matrix}\right.$

Suy ra: $I = \displaystyle \int \dfrac{3x+1}{(x+1)(x+2)}dx = \displaystyle \int \left ( \dfrac{-2}{x+1} + \dfrac{5}{x+2} \right ) dx = -2 \ln |x+1| +5 \ln|x+2| + C$

VD2: Tính nguyên hàm $I = \displaystyle \int \dfrac{x^2 - 3x +1}{(x+1)(x+2)(2x+3)}$

Phân tích hàm số trong dấu nguyên hàm như sau:

$\dfrac{x^2 - 3x +1}{(x+1)(x+2)(2x+3)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x+2} + \dfrac{C}{2x +3}$

Quy đồng và đồng nhất hệ số ta có: $\left\{\begin{matrix} A = 5 & & \\ B = 11 & & \\C = -31 & & \end{matrix}\right.$

Vậy ta có: $I = \displaystyle \int \dfrac{x^2 - 3x +1}{(x+1)(x+2)(2x+3)} = 5\ln |x+1| + 11\ln |x+2| - \dfrac{31}{2}\ln |2x+3| + C$

VD3: Tính nguyên hàm: $I = \displaystyle \int \dfrac{x^3 - x +2}{x^2 -3x +2}$

Để ý thấy bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu nên ta chia đa thức để đưa về dạng như VD1 và 2

Thực hiện phép chia ta có: $\dfrac{x^3 - x +2}{x^2 -3x +2} = x + 3 + \dfrac{6x-4}{(x-1)(x-2)}$

Tiếp tục tách phân số: $\dfrac{6x - 4}{(x-1)(x-2)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x-2} = \dfrac{(A+B).x - (2A + B)}{(x-1)(x-2)}$

Đồng nhất hệ số có: $\left\{\begin{matrix} A+ B = 6 & & \\ 2A + B = 4 & & \end{matrix}\right. \iff \left\{\begin{matrix}A = -2 & & \\ B = 8 & & \end{matrix}\right.$

Vậy $I = \displaystyle \int \dfrac{x^3 - x +2}{x^2 -3x +2} \\= \displaystyle \int \left (x + 3 - \dfrac{2}{x-1} + \dfrac{8}{x-2} \right )dx \\= \dfrac{x^2}{2} + 3x - 2\ln |x - 1| + 8\ln |x - 2| + C$

Một số dạng nguyên hàm phân thức hay gặp:

$I_1 = \displaystyle \int \dfrac{dx}{(x - a)(x-b)} = \dfrac{1}{a - b}.\ln |\dfrac{x-a}{x-b}| + C$

$I_2 = \displaystyle \int \dfrac{dx}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2a}.\ln |\dfrac{x-a}{x+a}| + C$

2) Nguyên hàm phân thức với mẫu số có nghiệm bội

VD1: Tìm nguyên hàm $I = \displaystyle \int \dfrac{3x +2}{(x-1)^3}$

Chúng ta phải tách phân thức trong dấu nguyên hàm thành tổng các phân số tối giản:

$\dfrac{3x+2}{(x-1)^3} = \dfrac{A}{(x-1)^3} + \dfrac{B}{(x-1)^2} + \dfrac{C}{x-1}$

Cách 1: Quy đồng và đồng nhất hệ số tìm $A;B;C$ ( Quen thuộc )

Cách 2: Với những hàm phân thức chỉ có duy nhất 1 nghiệm bội, ta có thể làm như sau:

$I = \displaystyle \int \dfrac{3x+2}{(x-1)^3}dx = \displaystyle \int \dfrac{3x - 3 + 5}{(x-1)^3}dx \\= \displaystyle \int \dfrac{3}{(x-1)^2}dx + \displaystyle \int \dfrac{5}{(x-1)^3}dx \\= \dfrac{-3}{x-1} + \dfrac{-5}{2(x-1)^2} + C$

Cách 3: Dài dòng hơn, nhưng lại khá hiểu quả nếu mẫu số phức tạp

Từ phép phân tích: $\dfrac{3x+2}{(x-1)^3} = \dfrac{A}{(x-1)^3} + \dfrac{B}{(x-1)^2} + \dfrac{C}{x-1}$

Ta nhân 2 vế với $(x-1)^3$, ta có: $3x + 2 = A + (x-1)B + (x-1)^2.C (1)$

Thay $x = 1$ vào 2 vế suy ra $A = 5$

Đạo hàm 2 vế của (1) ta có: $3 = B + 2(x-1).C (2)$

Thay $x = 1$ suy ra $B = 3$

Tiếp tục đạo hàm (2) ta có $C = 0$

VD2: Tìm nguyên hàm $I = \displaystyle \int \dfrac{2x^2 - 1}{(x-1)^2(x+2)}$

Ta phân tích: $\dfrac{2x^2 - 1}{(x-1)^2(x+2)} = \dfrac{A}{x+2} + \dfrac{B}{(x-1)^2} + \dfrac{C}{x-1}$

Chỉ hơi lạ ở bước này một chút, còn lại phần sau tương tự các ví dụ khác nha

chi254 · 14 Tháng hai 2022

3) Nguyên hàm phân thức với mẫu số chứa tam thức bậc 2 vô nghiệm.

Chúng ta đã biết 2 dạng nguyên hàm mẫu vô nghiệm.

Dạng 1: Tử số là hằng số: $I = \displaystyle \int \dfrac{dx}{x^2 + a^2} = \dfrac{1}{a}.\arctan \dfrac{x}{a} + C$

Dạng 2: $I = \displaystyle \int \dfrac{x}{x^2 + a^2} = \dfrac{1}{2}. \ln (x^2 + a^2) + C$

VD1: Tính nguyên hàm $I = \displaystyle \int \dfrac{dx}{(2x+1)^2 + 9}$

Ta có: $I = \displaystyle \int \dfrac{dx}{(2x+1)^2 + 9} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\arctan\dfrac{2x+1}{3} + C = \dfrac{1}{6}.\arctan\dfrac{2x+1}{3} + C$

VD2: Tính nguyên hàm $I = \displaystyle \int \dfrac{dx}{x^2 + 4x + 9}$

Ta có: $I = \displaystyle \int \dfrac{dx}{x^2 + 4x + 9} = \displaystyle \int \dfrac{dx}{(x+2)^2 + 5} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}.\arctan \dfrac{x+2}{\sqrt{5}} + C$

VD3: Tính nguyên hàm $I = \displaystyle \int \dfrac{4x+1}{x^2 + 4x + 5}dx$

Ta có: $I = \displaystyle \int \dfrac{4x + 1}{(x+2)^2 +1}dx$

Đặt $t = x +2 \rightarrow dx = dt ; x = t - 2$

Suy ra $I = \displaystyle \int \dfrac{4(t -2) + 1}{t^2 + 1}dt = \displaystyle \int \dfrac{4t-7}{t^2 + 1}dt = \displaystyle \int \dfrac{4t}{t^2 + 1}dt - \displaystyle \int \dfrac{7}{t^2 + 1}dt = \dfrac{4}{2}\ln(t^2 + 1) - 7\arctan t + C$

Đổi lại biến số ta có: $I = 2.\ln(x^2 + 4x + 5) - 7\arctan(x+2) + C$

VD4: Tính nguyên hàm $I = \displaystyle \int \dfrac{3x +1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}dx$

Đưa phân thức về các phân số tối giản:

$\dfrac{3x +1}{(x^2 + 1)((x^2 + 4)} = \dfrac{Ax + B}{x^2 + 1} + \dfrac{Cx + D}{x^2 +4}$

Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số ta có: $\left\{\begin{matrix} A =1 & & \\ B = \dfrac{1}{3}& & \\C = -1 & & \\D = \dfrac{-1}{3} & & \end{matrix}\right.$

Suy ra : $I = \displaystyle \int \left( \dfrac{x + \dfrac{1}{3}}{x^2 + 1} - \dfrac{x + \dfrac{1}{3}}{x^2 + 4} \right) dx\\ = \displaystyle \int \dfrac{xdx}{x^2 + 1} + \dfrac{1}{3}. \displaystyle \int \dfrac{dx}{x^2 + 1} - \displaystyle \int \dfrac{xdx}{x^2 + 4}dx - \dfrac{1}{3}. \displaystyle \int \dfrac{dx}{x^2 + 4}$

Hay $I = \dfrac{1}{2} \ln (x^2 + 1) + \dfrac{1}{3}. \arctan x - \dfrac{1}{2}. \ln (x^2 + 4) - \dfrac{1}{4}. \arctan \dfrac{x}{2} + C$

chi254 · 14 Tháng hai 2022

II. Nguyên hàm của các hàm lượng giác

1) Nguyên hàm lượng giác dạng: $\displaystyle \int f(\sin x). \cos x .dx$ và $\displaystyle \int f(\cos x). \sin x .dx$

Dạng: $I = \displaystyle \int f(\sin x). \cos x .dx$ ta đặt $t = \sin x \rightarrow dt = \cos x.dx \rightarrow I = \displaystyle \int f(t) dt$

Dạng: $I = \displaystyle \int f(\cos x). \sin x .dx$ ta đặt $t = \cos x \rightarrow dt = - \sin x.dx \rightarrow I = \displaystyle - \int f(t) dt$
Dạng: $\displaystyle \int f(a.\cos^2x + b.\sin^2x).\sin 2xdx = \displaystyle \int f(a.\cos^2x + b.\sin^2x).2.\sin x.\cos xdx$ cũng là dạng trên vì khi hạ bậc ta có: $\displaystyle \int f(a.\cos^2x + b.\sin^2x).\sin 2xdx = \displaystyle g(\cos 2x) .\sin 2x dx$

Đặt $t = a.\cos^2x + b.\sin^2x\\ \rightarrow dt = (-2a.\cos x.\sin x + 2b.\sin x.\cos x)dx = (b - a).\sin 2xdx$
Suy ra: $\displaystyle \int f(a.\cos^2x + b.\sin^2x).\sin 2xdx = \dfrac{1}{b-a} \displaystyle f(t)dt$

VD1: Tính nguyên hàm : $\displaystyle \int \sin^5x.\cos xdx$

Đặt $t = \sin x \rightarrow dt = \cos x dx$
Suy ra: $I = \displaystyle t^5dt = \dfrac{t^6}{6} + C = \dfrac{(\sin x)^6}{6} + C$

VD2: Tính nguyên hàm $I = \displaystyle \int \sin^7x. \cos^3xdx$

Ta có: $I = \displaystyle \int \sin^7x. \cos^3xdx = \displaystyle \int \sin^7x. \cos^2x.\cos xdx = \displaystyle \int \sin^7x.(1 - \sin^2x).\cos xdx$

Đặt $t = \sin x \rightarrow dt = \cos xdx$

Suy ra: $I = \displaystyle \int t^7(1 - t^2)dt = \displaystyle \int (t^7 - t^9)dt = \dfrac{t^8}{8} - \dfrac{t^{10}}{10} + C = \dfrac{\sin^8x}{8} - \dfrac{\sin^{10}x}{10} + C$

VD3: Tính nguyên hàm: $I = \displaystyle \int \dfrac{\sin2x .\cos x }{1 + \cos x}dx$

Biến đổi về dạng cơ bản:

$I = \displaystyle \int \dfrac{\sin2x .\cos x }{1 + \cos x}dx \\= \displaystyle \int \dfrac{2.\sin x.\cos x .\cos x }{1 + \cos x}dx\\ = \displaystyle 2. \int \dfrac{\cos^2x}{1 + \cos x} . \sin xdx \\= \displaystyle 2 \int f(\cos x).\sin xdx$

Đặt $t = \cos x \rightarrow dt = -\sin xdx$

Suy ra: $I = \displaystyle 2 \int \dfrac{t^2}{t +1}(-dt) \\= -2\displaystyle \int \dfrac{t^2}{t+1}dt \\= -2 \displaystyle \int \left(t - 1 + \dfrac{1}{x+1} \right)dt \\= -2 \displaystyle \left(\dfrac{t^2}{2} - t + \ln|x+1| \right)dt$

Đổi lại biến số $x$ ta có: $I = -\cos^2x + 2\cos x -2\ln(\cos x + 1) + C$

2. Nguyên hàm lượng giác sử dụng công thức hạ bậc: $I = \displaystyle \cos^{2n}xdx ; I = \displaystyle \int \cos^{3n}xdx$

Sử dụng các công thức hạ bậc thường dùng:

$\cos^2x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$

$\sin^2x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$

$\cos^3x = \dfrac{3\cos x + \cos 3x}{4}$

$\sin^3x = \dfrac{3\sin x - \sin 3x}{4}$

VD1: Tính nguyên hàm: $I = \displaystyle \int \sin^2xdx$

Sử dụng công thức hạ bậc:
Ta có: $I = \displaystyle \int \sin^2xdx = \displaystyle \int \dfrac{1 - \cos 2x}{2}dx = \dfrac{1}{2}(x - \dfrac{1}{2}.\sin 2x) + C$

VD2: Tính nguyên hàm $I = \displaystyle \int \cos^3xdx$

Sử dụng công thức hạ bậc ta có: $I = \displaystyle \int \cos^3xdx = \displaystyle \int \dfrac{3\cos x + \cos 3x}{4}dx\\ = \dfrac{3\sin x + \dfrac{1}{3}.\sin 3x}{4} + C = \dfrac{3}{4}.\sin x + \dfrac{1}{12}.\sin 3x + C$

VD3: Tính nguyên hàm: $I = \displaystyle \int (\sin^4x + \cos^4x).\sin 2xdx$

Ta có: $(\sin^4x + \cos^4x).\sin 2x\\ = ((\sin^2x + \cos^2x)^2 - 2.\sin^2x.\cos^2x).\sin 2x\\ = (1 - \dfrac{1}{2}.\sin^2 2x).\sin 2x \\= \left (\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}.\cos^2 2x \right ).\sin 2x$

Đặt $t = \cos 2x \rightarrow dt = -2\sin 2xdx$

$I = \displaystyle \int \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}t^2 \right) \left(-\dfrac{1}{2}dt \right) = \dfrac{-1}{4} \displaystyle \int (1 + t^2)dt = \dfrac{-1}{4} \left (t + \dfrac{t^3}{3} \right )+ C$

Đổi lại biến số: $I = \dfrac{- \sin 2x}{4} - \dfrac{sin^3x}{12} + C$

3. Nguyên hàm lượng giác dạng đối xứng $\displaystyle f(\sin x \pm \cos x).(\cos x \mp \sin x)dx$

PP: Đổi biến số
Đặt $t = \sin x \pm \cos x \rightarrow dt = \sin x \mp \cos xdx$
Khi đó nguyên hàm trở về dạng: $\displaystyle \int f(t)dt$

Một số biểu thức tương đương với đối xứng

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin \left ( x + \dfrac{\pi}{4} \right )= \sqrt{2}.\cos \left(x - \dfrac{\pi}{4} \right)$

$\sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin \left ( x - \dfrac{\pi}{4} \right )=- \sqrt{2}.\cos \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right)$

$\sin 2x = 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 -1 = 1 - (\sin x - \cos x)^2$

$\sin^3x \pm \cos^3x = (\sin x \pm cos x)(1 \mp \sin x\cos x)$

VD1: Tính nguyên hàm: $I = \displaystyle \int \dfrac{\sin x - \cos x}{\sin 2x + 2}dx$

Dạng nguyên hàm lượng giác đối xứng

Biến đổi: $I = \displaystyle \int \dfrac{\sin x - \cos x}{\sin 2x + 2}dx = \displaystyle \int \dfrac{\sin x - \cos x}{(1 + 2\sin x\cos x) + 1}dx = \displaystyle \int \dfrac{\sin x - \cos x}{(\sin x + \cos x)^2 + 1}dx$

Đặt $t = \sin x + \cos x \rightarrow dt = (\cos x - \sin x)dx$

Suy ra: $I = \displaystyle \int \dfrac{dt}{t^2 + 1} = \arctan t + C = \arctan (\sin x + \cos x) + C$

VD2: Tính nguyên hàm: $I = \displaystyle \int \dfrac{\sin x - \cos x}{\sin^3x + \cos^3x}dx$

Dạng nguyên hàm lượng giác đối xứng

Ta có: $I = \displaystyle \int \dfrac{\sin x - \cos x}{\sin^3x + \cos^3x}dx = \displaystyle \int \dfrac{(\sin x + cos x)(1 - \sin x\cos x)}dx$

Đặt $t = \sin x + \cos x \rightarrow dt = (\cos x - \sin x)dx$ và $\sin x\cos x = \dfrac{t^2 - 1}{2}$

Suy ra: $I = \displaystyle \int \dfrac{-dt}{t\left( 1 - \dfrac{t^2 -1}{2} \right)} \\= \displaystyle \int \dfrac{dt}{t(t^2 -3)} \\= \displaystyle \int \left (\dfrac{1}{6(t - \sqrt{3})} + \dfrac{1}{6(t + \sqrt{3})} - \dfrac{1}{3t} \right) \\= \dfrac{1}{6}\ln |t^2 - 3| - \dfrac{1}{3}ln|t| + C$

Thay lại theo biến $x$ ta có: $I = \dfrac{1}{6} \ln |\dfrac{(\sin x + \cos x)^2 -3}{(\sin x + \cos x)^2}| + C = \dfrac{1}{6} \ln |\dfrac{2 - \sin 2x}{1 + \sin 2x}| + C$

chi254 · 7 Tháng ba 2022

Bài 3: Tích phân xác định

I. Định nghĩa
1) Định nghĩa về tích phân

Định nghĩa: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên [imath]K[/imath] và [imath]a,b[/imath] là 2 số bất kì thuộc [imath]K[/imath]. Nếu [imath]F(x)[/imath] là một nguyên hàm của [imath]f(x)[/imath] trên [imath]K[/imath] thì hiệu số [imath]F(a) - F(b)[/imath] được gọi là tích phân của hàm số [imath]f(x)[/imath] từ [imath]a[/imath] đến [imath]b[/imath] và được kí hiệu là: [imath]\displaystyle \int _a^b f(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)[/imath]

Nếu [imath]a <b[/imath] thì [imath]\displaystyle \int _a^bf(x)dx[/imath] gọi là tích phân của [imath]f(x)[/imath] trên đoạn [imath][a;b][/imath]

Thường gọi [imath]a;b[/imath] là 2 cận của tích phân, [imath]a[/imath] là cận dưới; [imath]b[/imath] là cận trên, [imath]f[/imath] là hàm dưới dấu tích phân, [imath]f(x)dx[/imath] là biểu thức dưới dấu tích phân và [imath]x[/imath] là biến số lấy tích phân.

Ghi nhớ: Kết quả của tích phân không phụ thuộc vào tên và kí hiệu biến [imath]\displaystyle \int _a^b f(x)dx = \displaystyle \int _a^b f(u)du[/imath]

2) Ví dụ

a) Tính tích phân : [imath]I = \displaystyle \int _0^1 (6x^2 + 2x -1)dx[/imath]

Ta có: [imath]\displaystyle \int (6x^2 + 2x -1)dx = 2x^3 + x^2 - x + C[/imath]
Suy ra: [imath]I = \displaystyle \int _0^1 6x^2 +2x - 1dx = (2x^3 + x^2 - x)|_0^1 = (2.1^3 + 1^2 -1) - (2.0^3 + 0^2 - 0) = 2[/imath]

Hoặc chúng ta có thể dùng casio để tính nhanh

b) Tính tích phân [imath]I = \displaystyle \int _0^1 \sin \pi xdx[/imath]

Ta có: [imath]\displaystyle \int \sin \pi xdx = \dfrac{-1}{\pi} \cos \pi x[/imath]
Suy ra: [imath]\displaystyle \int _0^1 \sin \pi xdx = \dfrac{-1}{\pi} \cos \pi x|_0^1 = 2[/imath]

c) Tính tích phân [imath]I =\displaystyle \int _1^e \dfrac{1 + ln x}{x} dx[/imath]

Đặt [imath]t = \sqrt{1 + \ln x} \rightarrow t^2 = 1 + \ln x \rightarrow 2tdt = \dfrac{dx}{x}[/imath]
Thay vào [imath]I = \displaystyle \int _1^{\sqrt{2}} t .2tdt = \dfrac{2t^3}{3}|_1^{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{3} - \dfrac{2}{3}[/imath]

II) Các tính chất cơ bản của tích phân

1) Tính chất

Mọi tích phân trùng cận ( cận trên và cận dưới bằng nhau) thì có giá trị bằng 0: [imath]\displaystyle \int _a^a f(x)dx = 0[/imath]

Đính thêm cận vào tích phân: [imath]\displaystyle \int _a^b f(x)dx = \displaystyle \int _a^c f(x)dx + \displaystyle \int _c^b f(x)dx[/imath] trong đó [imath]f(x)[/imath] là một hàm khả tích trên các cận tương ứng

Đảo cận 1 tích phân thì đổi dấu tích phân : [imath]\displaystyle \int _a^b f(x)dx = - \displaystyle \int _b^a f(x)dx[/imath]

Hằng số trong dấu tích phân được chuyển ra ngoài [imath]\displaystyle \int _a^b kf(x)dx = k. \displaystyle \int _a^b f(x)dx[/imath]

Tích phân của tổng bằng tổng các tích phân [imath]\displaystyle \int _a^b (f(x) \pm g(x))dx = \displaystyle \int _a^b f(xdx \pm \displaystyle \int _a^b g(x)dx[/imath]

2) Ví dụ

a) Biết tích phân [imath]I = \displaystyle \int _0^{10} f(x)dx = 25[/imath] và [imath]K = \displaystyle \int _4^{10} f(x)dx = 4[/imath]. Hãy tính [imath]A = \displaystyle \int _0^4 f(x)dx[/imath]

Áp dụng công thức ta có: [imath]I = \displaystyle \int _0^10 f(x)dx = \displaystyle \int _0^4 f(x)dx + \displaystyle \int _4^{10} f(x)dx = A + K \implies A = I - K = 21[/imath]

b) Biết tích phân [imath]I = \displaystyle \int _0^9 f(x)dx = 11[/imath] và [imath]K = \displaystyle \int _3^5 f(x)dx = 5[/imath]. Hãy tính [imath]A = \displaystyle \int _0^3 f(x)dx + \displaystyle \int _5^9 f(x)dx[/imath]

Ta có: [imath]I = \displaystyle \int _0^9 f(x)dx = \displaystyle \int _0^3 f(x)dx + \displaystyle \int _3^5 f(x)dx + \displaystyle \int _5^9 f(x)dx = A + K \implies A = I - K = 6[/imath]

III. Các phương pháp tính tích phân
1) Tích phân đổi biến số

Cách 1: Tìm nguyên hàm dưới dấu tích phân rồi thay theo biến [imath]x[/imath]
Cách 2: Khi đổi biến số kèm theo đổi cận luôn

2) Ví dụ

a) Tính [imath]I =\displaystyle \int _0^2 \sqrt{x +2}.xdx[/imath]
Cách 1:

Đặt [imath]t = \sqrt{x + 2} \rightarrow t^2 = x + 2 \rightarrow dt^2 = d(x +2) \rightarrow 2tdt = dx[/imath]
Ta có: [imath]x = t^2 – 2[/imath]
Ta có: [imath]A =\displaystyle \int t(t^2 – 2). (2tdt) = 2 \displaystyle \int (t^4 – 2t^2)dt = \dfrac{2t^5}{5} - \dfrac{4t^3}{3} + C[/imath]
Thế lại biến cũ [imath]x[/imath] ta có: [imath]A = \dfrac{2}{5}.(x+2)^2.\sqrt{x +2} - \dfrac{2}{3}.(x+2)\sqrt{x+2} + C[/imath]
Thay theo biến [imath]x[/imath] ta có: [imath]I = \dfrac{2}{5}.4^2.2 - \dfrac{2}{3}.4.2 - \dfrac{2}{5}.2^2.\sqrt{2} + \dfrac{2}{3}.2.\sqrt{2}= \dfrac{64}{5} - \dfrac{16}{3} - \dfrac{8\sqrt{2}}{5} + \dfrac{4\sqrt{2}}{3}[/imath]

Cách 2:

Đặt [imath]t = \sqrt{x + 2} \rightarrow t^2 = x + 2 \rightarrow dt^2 = d(x +2) \rightarrow 2tdt = dx[/imath]
Khi [imath]x = 0 \iff t = \sqrt{2}[/imath] và [imath]x = 2 \iff t = 2[/imath]
Ta có: [imath]x = t^2 – 2[/imath]
Ta có: [imath]I =\displaystyle \int _{\sqrt{2}}^2 t(t^2 – 2). (2tdt) = 2 \displaystyle \int _{\sqrt{2}}^2 (t^4 – 2t^2)dt = (\dfrac{2t^5}{5} - \dfrac{4t^3}{3})| _{\sqrt{2}}^2 = ...[/imath]

b) Tính [imath]I = \displaystyle \int _0^{\frac{1}{2}} \dfrac{dx}{\sqrt{1 – x^2}}[/imath]

Đặt [imath]x = \sin t \rightarrow dx = \cos tdt[/imath]
Suy ra: [imath]I = \displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{6}} \frac{dx}{\sqrt{1 – x^2}} = \displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos tdt}{\cos t} =\displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{6}}dt = t | _0^{\frac{1}{2}} = \dfrac{\pi}{6}[/imath]

c) Tính [imath]I = \displaystyle \int _0^1 \dfrac{x}{(1 + x^2)^3}dx[/imath]

Đặt [imath]u = 1 + x^2 \implies du = 2xdx[/imath] và [imath]u(0) = 1 ; u(1) = 2[/imath]

Ta có: [imath]I = \displaystyle \int _0^1 \dfrac{x}{(1 + x^2)^3}dx = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int _1^2 \dfrac{1}{u^3}du = \dfrac{-1}{4u^2} |_1^2 = \dfrac{3}{16}[/imath]

chi254 · 8 Tháng ba 2022

2) Tích phân từng phần

2.1 Lý thuyết

Công thức từng phần trong việc tính tích phân: [imath]\displaystyle \int _a^b udv = (uv)|_a^b - \displaystyle \int _a^b vdu[/imath]
Ghi nhớ: Chúng ta có thể tìm nguyên hàm dưới dấu tích phân bằng pp từng phần sau đó thay cận.

2.2 Ví dụ
a) Tính tích phân sau bằng pp từng phần: [imath]I = \displaystyle \int _0^1 (2x-1).e^xdx[/imath]

Đặt [imath]\left\{\begin{matrix}u = 2x - 1\\ dv = e^xdx \end{matrix}\right. \implies \left\{\begin{matrix}du = 2dx \\ v = e^x \end{matrix}\right.[/imath]

Áp dụng công thức: [imath]I = \displaystyle \int _0^1 (2x-1)e^xdx = (2x-1).e^x|_0^1 - \displaystyle \int _0^1 e^x.2dx = e + 1 - 2e^x|_0^1 = e + 1 -2e +2 = 3-e[/imath]

b) Tính [imath]I = \displaystyle \int _0^1 x^2e^xdx[/imath]

Đặt [imath]u = x^2; dv = e^x.dx \rightarrow du = 2xdx ; v = \int e^xdx = e^x[/imath]

Áp dụng CT: [imath]A = x^2.e^x - \int e^2.2xdx = x^2.e^x – 2\int e^x.xdx = x^2.e^x – 2A_{1}[/imath]

Tính [imath]A_{1}[/imath]

Đặt [imath]u = x; dv = e^x.dx[/imath]. Ta có: [imath]du = dx; v = \int e^x.dx = e^2[/imath]

Áp dụng công thức: [imath]A_{1} = x.e^x – e^x + C[/imath]

Thay lại tính [imath]A = x^2.e^x -2x.e^x + 2.e^x – 2C[/imath] hoặc viết gọn lại: [imath]A = x^2.e^x -2x.e^x + 2.e^x + C[/imath]

Thay cận tính [imath]I = e - 2[/imath]

3) Xử lí nguyên hàm một hàm có nhiều khoảng xác định

Cho hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số [imath]f(x) = \dfrac{1}{x-1}[/imath]. Biết rằng [imath]F(0) = 2F(2) = 2.[/imath] Hãy xác định biểu thức của hàm số [imath]F(x)[/imath] từ đó tính giá trị [imath]P = F(-1) + F(3)[/imath]

Ta có: [imath]F(x) = \displaystyle \int \dfrac{dx}{x-1} = \ln |x -1| + C[/imath]

Chú ý: Hàm số [imath]f(x)[/imath] có 2 khoảng xác định là [imath](- \infty; 1) \cup (1; + \infty)[/imath], nên nguyên hàm cũng có 2 khoảng xác định tương ứng

Với khoảng xác định [imath]x \in (-\infty; -1)[/imath] ta có: [imath]F(0) = \ln |0-1| + C_1 = 2 \to C_1 = 2[/imath]

Với khoảng xác định [imath]x \in (-1;+\infty)[/imath] ta có: [imath]F(2) = \ln |2 -1| + C_2 = 1 \to C_2 = 1[/imath]

Ta có thể viết: [imath]F(x) = \left\{\begin{matrix}\ln |x -1| + 2 \ x \in (-\infty; -1) \\ \ln |x -1| + 1 \ x \in (-1;+\infty) \end{matrix}\right.[/imath]

Suy ra: [imath]P = F(-1) + F(3) = 3 +2\ln 2[/imath]

Cách 2: PP trắc nghiệm tính P

[imath]\displaystyle \int _a^b f(x)dx = F(b) - F(a) \to F(b) = F(a) + \displaystyle \int _a^b f(x)dx[/imath] với điều kiện [imath](a;b)[/imath] nằm trong các khoảng xác định

Suy ra: [imath]F(3) = F(2) + \displaystyle \int _2^3 f(x)dx = 1 + \displaystyle \int _2^3 \dfrac{dx}{x-1} = 1+ \ln 2[/imath]

Tương tự: [imath]F(-1) = F(0) + \displaystyle \int_0^{-1} f(x)dx = 2 + \ln 2[/imath]

Suy ra: [imath]P = 3 + 2\ln 2[/imath]

4) Tích phân chứa hàm trị tuyệt đối

Với tích phân có chứa hàm trị tuyệt đối chúng ta có thể sử dụng casio hoặc xử lí cận để phá trị tuyệt đối
Cách xử lí dận để phá trị : Lập bảng xét dấu và tách cận.

a) Tính tích phân [imath]I = \displaystyle \int _0^2 |x -1|dx[/imath]

Lập bảng xét dấu hàm trong tích phân trên đoạn [imath][0;2][/imath]

[imath]x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2[/imath]

[imath]x - 1 \,\,\,\,\, | \,\,\,- \,\,\, 0 \,\,\,\,\,+\,\,\, |[/imath]

[imath]I = \displaystyle \int _0^2 |x -1|dx = \displaystyle \int _0^1 |x -1|dx + \displaystyle \int _1^2 |x -1|dx = \displaystyle \int _0^1 (1 - x) dx + \displaystyle \int _1^2 x -1dx[/imath] [imath]= \left (x - \dfrac{x^2}{2} \right )|_0^1 + \left (\dfrac{x^2}{2} - x \right)|_1^2 = 1[/imath]

b) Tính tích phân [imath]\displaystyle \int _0^3 |x^2 - 3x +2|dx[/imath]

Lập bảng xét dấu trên đoạn [imath][0;3][/imath]
Suy ra: [imath]I = \displaystyle \int _0^3 |x^2 - 3x +2|dx \\= \displaystyle \int _0^1 |x^2 - 3x +2|dx + \displaystyle \int _1^2 |x^2 - 3x +2|dx -\displaystyle \int _2^3 |x^2 - 3x +2|dx \\= \displaystyle \int _0^1 (x^2 - 3x +2)dx + \displaystyle \int _1^2 -(x^2 - 3x +2)dx -\displaystyle \int _2^3 (x^2 - 3x +2)dx[/imath]

[imath]I = \left (\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3}{2}x^2 + 2x \right )|_0^1 - \left (\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3}{2}x^2 + 2x \right )|_1^2 + \left (\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3}{2}x^2 + 2x \right )|_2^3 = \dfrac{11}{6}[/imath]

chi254 · 8 Tháng ba 2022

5) Tích phân hàm số chẵn và hàm số lẻ

5.1 Lý thuyết

Cho hàm số [imath]y = f(x)[/imath] có tập xác định trên đoạn [imath][-a;a][/imath] cần lấy tích phân. Khi đó:

Hàm số [imath]f(x)[/imath] được gọi là hàm chẵn nếu [imath]f(-x) = f(x)[/imath]
Hàm số [imath]f(x)[/imath] được gọi là hàm lẻ nếu [imath]f(x) = - f(-x)[/imath]
Bổ đề 1: Nếu [imath]f(x)[/imath] là hàm lẻ thì tích phân [imath]I = \displaystyle \int _{-a}^{a} f(x)dx = 0[/imath]
Bổ đề 2: Nếu [imath]f(x)[/imath] là hàm chẵn thì [imath]I = \displaystyle \int _{-a}^{a} f(x)dx = \displaystyle \int _{-a}^{a} f(-x)dx =2\displaystyle \int _{0}^{a} f(x)dx = 2\displaystyle \int _{0}^{a} f(-x)dx =2\displaystyle \int _{-a}^{0} f(x)dx[/imath]

Chứng minh bổ đề 1:

Ta có: [imath]I = \displaystyle \int _{-a}^{a} f(x)dx = \displaystyle \int _{-a}^0 f(x)dx + \displaystyle \int _0^a f(x)dx = I_1 + I_2[/imath]

Với [imath]I_1 = \displaystyle \int _{-a}^0 f(x)dx[/imath]; Đặt [imath]t = -x \to dt = -dx[/imath]; [imath]f(x) = f(-t) = -f(t)[/imath]

Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = -a\\ x = 0 \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}t = a \\ t= 0 \end{matrix}\right.[/imath]

Khi đó [imath]I_1 = \displaystyle \int _{-a}^0 f(x)dx = \displaystyle \int _a^0 f(-t)(-dt) = \displaystyle \int _a^0 f(t)dt = -\displaystyle \int _0^a f(t)dt = -I_2[/imath]

Vậy suy ra: [imath]I = I_1 + I_2 = 0[/imath]

Chứng minh bổ đề 2:

Ta có: [imath]I = \displaystyle \int _{-a}^{a} f(x)dx = \displaystyle \int _{-a}^0 f(x)dx + \displaystyle \int _0^a f(x)dx = I_1 + I_2[/imath]

Với [imath]I_1 = \displaystyle \int _{-a}^0 f(x)dx[/imath]; Đặt [imath]t = -x \to dt = -dx[/imath]; [imath]f(x) = f(-t) = f(t)[/imath]

Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = -a\\ x = 0 \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}t = a \\ t= 0 \end{matrix}\right.[/imath]

Khi đó [imath]I_1 = \displaystyle \int _{-a}^0 f(x)dx = \displaystyle \int _a^0 f(-t)(-dt) = \displaystyle \int _a^0 f(t)(-dt) = \displaystyle \int _0^a f(t)dt = I_2[/imath]

Vậy [imath]I = I_1 + I_2 = 2I_2 = 2.\displaystyle \int _0^a f(x)dx[/imath]

5.2 Ví dụ

a) Chứng minh: [imath]I = \displaystyle \int _{-a}^a \ln (x + \sqrt{x^2 + 1})dx = 0[/imath]

Ta đi xét hàm dưới dấu tích phân [imath]f(x) = \ln (x + \sqrt{x^2 + 1})[/imath]

Ta có: [imath]f(-x) = \ln (-x + \sqrt{x^2 + 1}) = \ln \dfrac{(-x + \sqrt{x^2 +1})(x + \sqrt{x^2 +1})}{x + \sqrt{x^2 +1}} = \dfrac{1}{x + \sqrt{x^2 +1}} = -\ln (x + \sqrt{x^2 +1}) = -f(x)[/imath]

Suy ra: [imath]f(x)[/imath] là hàm lẻ
Vậy có điều phải chứng minh

b) Tính tích phân [imath]I = \displaystyle \int _{\dfrac{-\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{3}} \dfrac{x - x^3}{\cos x + 1}dx[/imath]

Ta đi xét hàm dưới dấu tích phân [imath]f(x) =\dfrac{x - x^3}{\cos x + 1}[/imath]
Ta có: [imath]f(-x) = \dfrac{-x + x^3}{\cos (-x) + 1} = - \dfrac{ x - x^3}{\cos x + 1}= -f(x)[/imath]
Suy ra: [imath]f(x)[/imath] là hàm lẻ
Vậy [imath]I = \displaystyle \int _{\dfrac{-\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{3}} \dfrac{x - x^3}{\cos x + 1}dx = 0[/imath]

c) Tính tích phân [imath]I = \displaystyle \int _1^2 (8x^3 -36x^2 +58x -33)^{2017}dx[/imath]

Ta đi xét hàm dưới dấu tích phân [imath]f(x) =8x^3 -36x^2 +58x -33 = (2x - 3)^3 + 2(2x - 3)[/imath]
Đặt [imath]t = 2x - 3 \to dt = 2dx[/imath]
Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = 1\ x = 2 \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}t = -1 \\ t= 1 \end{matrix}\right.[/imath]
Khi đó: [imath]I = \displaystyle \int _1^2 (8x^3 -36x^2 +58x -33)^{2017}dx = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int _-1^1 (t^3 +2t)^{2017}dt[/imath]
Xét [imath]f(t) = t^3 + 2t[/imath]
[imath]f(-t) = (-t)^3 + 2(-t) = - (t^3 + 2t) = -f(t)[/imath]
Vậy [imath]f(t)[/imath] là hàm số lẻ
Suy ra: [imath]I = 0[/imath]

6) Tích phân kết hợp hàm chẵn và hàm mũ [imath]\displaystyle \int _{-b}^b \dfrac{f(x)}{a^x + 1}dx[/imath]

6.1 Lý thuyết

Phương pháp: Ta có: [imath]\displaystyle \int _{-b}^b \dfrac{f(x)}{a^x + 1}dx = \displaystyle \int _{-b}^0 \dfrac{f(x)}{a^x + 1}dx + \displaystyle \int _{0}^b \dfrac{f(x)}{a^x + 1}dx[/imath]

Với tích phân: [imath]J = \displaystyle \int _{-b}^0 \dfrac{f(x)}{a^x + 1}dx[/imath]. Đặt [imath]t = -x \to dx = -dt[/imath]

Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = -b\ x = 0 \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}t =b \\ t= 0 \end{matrix}\right.[/imath]

Suy ra: [imath]J = \displaystyle \int _{-b}^0 \dfrac{f(x)}{a^x + 1}dx = \displaystyle \int _{b}^0 \dfrac{f(-t)}{a^{-t} + 1}(-dt) = \displaystyle \int _{0}^b \dfrac{f(t)}{\dfrac{1}{a^{t}} + 1}(dt) = \displaystyle \int _{0}^b \dfrac{a^t.f(t)}{a^{t} + 1}dt = \displaystyle \int _0^b \dfrac{a^x.f(x)}{1 + a^x}dx[/imath]

[imath]I = \displaystyle \int _{-b}^0 \dfrac{f(x)}{a^x + 1}dx + \displaystyle \int _{0}^b \dfrac{f(x)}{a^x + 1}dx = \displaystyle \int _0^b \dfrac{a^x.f(x)}{1 + a^x}dx + \displaystyle \int _{0}^b \dfrac{f(x)}{a^x + 1}dx = \displaystyle \int _{0}^b \dfrac{f(x)(a^x + 1)}{a^x + 1}dx = \displaystyle \int _{0}^b f(x)dx[/imath]

Ghi nhớ: Nếu [imath]f(x)[/imath] là hàm chẵn thì ta có công thức:

[imath]I = \displaystyle \int _{-b}^b \dfrac{f(x)}{a^x + 1}dx = \displaystyle \int _{0}^b f(x)dx[/imath]

6.2 Ví dụ

a) Tính tích phân: [imath]I = \displaystyle \int _{-2}^2 \dfrac{x^{2018}}{4^x + 1}dx[/imath]

Áp dụng công thức ta có: [imath]I = \displaystyle \int _0^2 x^{2018}dx = \dfrac{x^{2019}}{2019}|_0^2 = \dfrac{2^{2019}}{2019}[/imath]

b) Tính tích phân [imath]I =\displaystyle \int _1^3 \dfrac{(3+2x)^{2018}}{x^{2020}}dx[/imath]

Biến đổi tích phân về dạng: [imath]I = \displaystyle \int _1^3 \dfrac{(3+2x)^{2018}}{x^{2020}}dx = \displaystyle \int _1^3 \dfrac{(3+2x)^{2018}}{x^{2018}}\dfrac{dx}{x^2} = \displaystyle \int _1^3 (2 + \dfrac{3}{x})^{2018}\dfrac{dx}{x^2}[/imath]

Đặt [imath]t = 2 + \dfrac{3}{x} \to dt = \dfrac{-3dx}{x^2} \to \dfrac{dx}{x^2} = \dfrac{-dt}{3}[/imath]

Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = 1\ x = 3 \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}t =5 \\ t= 3 \end{matrix}\right.[/imath]

Suy ra: [imath]I =\displaystyle \int _1^3 \dfrac{(3+2x)^{2018}}{x^{2020}}dx = \displaystyle \int _5^3 t^{2018}.\dfrac{-dt}{3} = \dfrac{1}{3} \displaystyle \int _3^5 t^{2018}dt = \dfrac{t^{2019}}{3.2019}|_3^5 = \dfrac{5^{2019} - 3^{2019}}{3.2019}[/imath]

chi254 · 14 Tháng ba 2022

7) Tích phân lượng giác đặc biệt

Bổ đề: [imath]\displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx[/imath]

Chứng minh:

Gọi [imath]I = \displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx[/imath] và [imath]K =\displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx[/imath]

Với tích phân [imath]I[/imath] ta đặt [imath]t = \dfrac{\pi}{2} - x \to dt = -dx ; \sin x = \sin (\dfrac{\pi}{2} - x) = \cos t[/imath]

Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = 0\\ x = \dfrac{\pi}{2} \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}t = \dfrac{\pi}{2} \\ t= 0 \end{matrix}\right.[/imath]

Suy ra : [imath]I = \displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \displaystyle \int _{\frac{\pi}{2}}^0 f(\cos t) (-dt) = \displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos t)dt = K[/imath] (đpcm)

VD1: Tính tích phân [imath]I = \displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x)^4.\sin x dx[/imath]

Xét thêm tích phân [imath]K =\displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x - \sin x)^4 . \cos xdx[/imath]

Áp dụng bổ đề ta có: [imath]I = K[/imath]

Suy ra: [imath]I + K = 2I = \displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x)^4.(\sin x + \cos x) dx[/imath]

Đặt [imath]t = \sin x - \cos x \to dt = (\cos x + \sin x )dx[/imath]

Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = 0\\ x = \dfrac{\pi}{2} \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}t = -1 \\ t= 1 \end{matrix}\right.[/imath]

Suy ra: [imath]2I = \displaystyle \int _{-1}^1t^4dt = \dfrac{t^5}{5}|_{-1}^1 = \dfrac{2}{5}[/imath]

VD2: Tính tích phân [imath]I = \displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin x}{(\sin x + \cos x)^3}dx[/imath]

Xét thêm tích phân [imath]K =\displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos x}{(\cos x + \sin x)^3}dx[/imath]

Ta có: [imath]I + K = \displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin x + \cos x}{(\sin x + \cos x)^3}dx = \displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1}{(\sin x + \cos x)^2}dx = \displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1}{2.\cos (x - \dfrac{\pi}{4})^2}dx = \dfrac{1}{2}.\tan (x - \dfrac{\pi}{4})|_0^{\frac{\pi}{4}}[/imath]

Xét [imath]I - K[/imath]
Tương tự ta có: [imath]I - K = \dfrac{-1}{4}[/imath]

Giải hệ phương trình: [imath]\left\{\begin{matrix}I + K = \dfrac{1}{2}\\ I - K = \dfrac{-1}{4} \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}I = \dfrac{1}{8} \\ K = \dfrac{3}{8}\end{matrix}\right.[/imath]

Bổ đề 2: [imath]I = \displaystyle \int _0^{\pi}xf(\sin x)dx = \int _0^{\pi} (\pi -x)f(\sin x)dx = \dfrac{\pi}{2}. \displaystyle \int _0^{\pi} f(\sin x)dx[/imath]

Chứng minh: [imath]\displaystyle \int _0^{\pi}xf(\sin x)dx = \dfrac{\pi}{2}. \displaystyle \int _0^{\pi} f(\sin x)dx[/imath]

Đặt [imath]t = \pi - x \to dt = -dx; \sin x = \sin (\pi - t) = \sin t[/imath]

Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = 0\\ x =\pi \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}t = \pi \\ t= 0 \end{matrix}\right.[/imath]

Suy ra: [imath]I = \displaystyle \int _0^{\pi}xf(\sin x)dx = \displaystyle \int _{\pi}^0 (\pi -t)(f(\sin (\pi - t) (-dt) = \displaystyle \int _0^{\pi} (\pi - t).f(\sin t)dt = \displaystyle \int _0^{\pi} (\pi - x) f(\sin x)dx[/imath]

Hay: [imath]I = \displaystyle \int _0^{\pi}xf(\sin x)dx = \int _0^{\pi} \pi. f(\sin x)dx - \int _0^{\pi} x.f(\sin x)dx = \int _0^{\pi} \pi f(\sin x)dx - I \to I = \dfrac{\pi}{2}. \displaystyle \int _0^{\pi} f(\sin x)dx[/imath]

VD: Tính tích phân [imath]I = \displaystyle \int _0^{\pi} \dfrac{x.\sin x}{2 - \sin ^2x}dx[/imath]

Áp dụng bổ đề ta có: [imath]I = \displaystyle \int _0^{\pi} \dfrac{x.\sin x}{2 - \sin ^2x}dx = \dfrac{\pi}{2} \displaystyle \int _0^{\pi} \dfrac{\sin x}{2 - \sin ^2x}dx = \dfrac{\pi}{2} \displaystyle \int _0^{\pi} \dfrac{\sin x}{1 + \cos ^2x}dx[/imath]

Đặt [imath]t = \cos x \to dt = -\sin xdx[/imath]

Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = 0\\ x =\pi \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}t = 1 \\ t=-1 \end{matrix}\right.[/imath]

Suy ra: [imath]I = \dfrac{\pi}{2} \displaystyle \int _0^{\pi} \dfrac{\sin x}{1 + \cos ^2x}dx = \dfrac{\pi}{2}.\int _1^{-1} \dfrac{-dt}{1 + t^2} = \dfrac{\pi}{2} \displaystyle \int _{-1}^1 \dfrac{dt}{t^2 + 1} = \dfrac{\pi}{2}.\arctan t|_{-1}^1 = \dfrac{\pi^2}{4}[/imath]

BT áp dụng: Tính tích phân

1) [imath]\displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin x}{(\sin x + \cos x)^2}dx[/imath]

2) [imath]\displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{2\sin x + 3\cos x}{(\sin x + \cos x)^3}dx[/imath]

3) [imath]\displaystyle \int _0^{\pi} x\sin xdx[/imath]

4) [imath]\displaystyle \int _0^{\pi} (\pi - x).\sin ^3x dx[/imath]

P/s: Bài tiếp theo là ứng dụng về tích phân nhé

chi254 · 16 Tháng ba 2022

Bài 4: Ứng dụng của tích phân trong hình học

1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.

a) Giả sử hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên đoạn [imath][a;b][/imath] thì diện tích [imath]S[/imath] của hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số [imath]y = f(x)[/imath], trục hoành và 2 đường thẳng [imath]x = a, x = b[/imath] là : [imath]S = \displaystyle \int _a^b |f(x)|dx[/imath]

Các TH đặc biệt:

Nếu hàm số [imath]f(x) \ge 0[/imath] với mọi [imath]x \in [a;b][/imath] thì ta có: [imath]S = \displaystyle \int _a^b f(x)dx[/imath]
Nếu hàm số [imath]f(x) \le 0[/imath] với mọi [imath]x \in [a;b][/imath] thì ta có: [imath]S = - \displaystyle \int _a^b f(x)dx[/imath]

b) Diện tích [imath]S[/imath] của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số [imath]y = f(x), y = g(x)[/imath] liên tục trên [imath][a;b][/imath] và 2 đường thẳng [imath]x = a;x = b[/imath] được xác định bởi công thức sau: [imath]S = \displaystyle \int _a^b |f(x) - g(x)|dx[/imath]

Các TH đặc biệt:

Nếu hàm số [imath]f(x) \ge g(x)[/imath] với mọi [imath]x \in [a;b][/imath] thì ta có: [imath]S = \displaystyle \int _a^b (f(x) - g(x))dx[/imath]
Nếu hàm số [imath]f(x) \le g(x)[/imath] với mọi [imath]x \in [a;b][/imath] thì ta có: [imath]S = \displaystyle \int _a^b (g(x) - f(x))dx[/imath]

VD1: Tính diện tích giới hạn bởi 2 đồ thị của [imath]y = x^3 - x[/imath] và [imath]y = x - x^2[/imath]

Ta có: [imath]y_1(x) = y_2(x) \iff x^3 - x = x - x^2 \iff x^3 +x^2 - 2x = 0 \iff \left[\begin{matrix}x = 0\\ x =1 \\ x = -2 \end{matrix}\right.[/imath]
Vậy diện tích hình phẳng là: [imath]S = \displaystyle \int _{-2}^1 |x^3 + x^2 - 2x|dx = \dfrac{37}{12}[/imath]

VD2: Tính diện tích giới hạn bởi 2 đồ thị của [imath]y = f(x) = x.e^x[/imath] và [imath]y = g(x) = ex[/imath]

Hoành độ giao điểm là: [imath]f(x) = g(x) \iff x.e^x = ex \iff \left[\begin{matrix}x = 0\\ x =1 \end{matrix}\right.[/imath]
Vậy diện tích hình phẳng là: [imath]S = \displaystyle \int _0^1 |f(x) -g(x)| dx = \displaystyle \int _0^1 |x.e^x - ex|dx = \displaystyle \int _0^1 (ex - x.e^x) = \dfrac{e}{2} - 1[/imath]

VD3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường [imath]y = f(x) = \sqrt{x} ; y = x[/imath]

Hoành độ giao điểm [imath]f(x) = g(x) \iff x = \sqrt{x} \iff \left[\begin{matrix}x = 0\\ x =1 \end{matrix}\right.[/imath]
Suy ra: [imath]S = \displaystyle \int _0^1 |f(x) - g(x)|dx = \displaystyle \int _0^1 |\sqrt{x} -x | = \dfrac{1}{6}[/imath]

Ngoài ra, ta có thể tính theo hàm biến [imath]y[/imath]

Từ hoành độ giao điểm suy ra tung độ các giao điểm [imath]\left[\begin{matrix}x = 0\\ x =1 \end{matrix}\right. \to \left[\begin{matrix}y = 0\\ y =1 \end{matrix}\right.[/imath]
Biểu diễn [imath]x[/imath] theo hàm của [imath]y[/imath]: [imath]y = f(x) = \sqrt{x} \to x =y^2[/imath] và [imath]y = x \to x = y[/imath]
Diện tích cần tính [imath]S = \displaystyle \int _0^1 |y - y^2| = \dfrac{1}{6}[/imath]

2) Thể tích vật thể tổng quát

Cho 1 vật thể trong không gian [imath]Oxyz[/imath]. Gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng vuông góc với trục [imath]Ox[/imath] tại các điểm có hoành độ [imath]x = a[/imath] và [imath]x = b[/imath]. Gọi [imath]S(x)[/imath] là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi 2 mặt vuông góc với [imath]Ox[/imath] tại điểm có hoành độ [imath]x[/imath] [imath](a \le x \le b)[/imath]. Gỉa sử [imath]S(x)[/imath] là hàm liên tục, thì khi đó thể tích [imath]V = \displaystyle \int _a^b S(x)dx[/imath]

VD1: Tính thể tích khối lăng trụ biết diện tích đáy bằng [imath]B[/imath] và chiều cao [imath]h[/imath]

Chọn trục [imath]Ox[/imath] song song với đường cao của khối lăng trụ, hai đáy nằm trong 2 mp vuông góc với trục [imath]Ox[/imath] có tọa độ [imath]x = 0[/imath] và [imath]x = h[/imath]
Diện tích mặt cắt là [imath]B[/imath] không đổi
Thể tích khối lăng trụ là: [imath]V = \displaystyle \int _0^h Bdx = Bh[/imath]

VD2: Cho một vật thể nằm trong khoảng 2 mp vuông góc với trục [imath]Ox[/imath] từ hoành độ [imath]x = 0[/imath] đến [imath]x = 3[/imath]. Khi cắt vật thể bởi một mặt phẳng (P) vuông góc với trục [imath]Ox[/imath] tại điểm có [imath]0 \le x \le 3[/imath] thì ta được một hình chữ nhật có kích thước là [imath]x[/imath] và [imath]\sqrt{x+1}[/imath]. Hãy xác định [imath]V[/imath] của vật thể?

Diện tích vật thể ở tọa độ [imath]x[/imath] là: [imath]S = x.\sqrt{x+1}[/imath]
Thể tích vật thể là: [imath]V = \displaystyle \int _a^b Sdx = \displaystyle \int _0^3 x\sqrt{x+1}dx = \dfrac{116}{15}[/imath]

3) Thể tích khối tròn xoay

Hình phẳng [imath](H)[/imath] khi quay quanh 1 trục nào đó sẽ tạo nên một khối tròn xoay
Cho hàm số [imath]y = f(x)[/imath] liên tục trên đoạn [imath][a;b][/imath]. Khi cho hình phẳng [imath](H)[/imath] giới hạn bởi đồ thị [imath]y = f(x)[/imath], trục hoành [imath]Ox[/imath]: [imath]y = 0[/imath], hai đường [imath]x = a[/imath] và [imath]x = b[/imath]; quay quanh trục [imath]Ox[/imath] tạo nên 1 khối tròn xoay. Thể tích [imath]V[/imath] của nó được tính theo công thức [imath]V = \pi \displaystyle \int _a^b f^2(x)dx[/imath]
Cho hàm số [imath]x = g(y)[/imath] liên tục trên đoạn [imath][c;d][/imath]. Khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số [imath]x = g(y)[/imath], trục tung [imath]Oy[/imath]: [imath]x = 0[/imath], hai đường thẳng [imath]y = c[/imath] ; [imath]y=d[/imath] quay quanh trục [imath]Oy[/imath] tạo nên 1 khối tròn xoay. Thể tích [imath]V[/imath] của nó được tính theo công thức [imath]V = \pi \displaystyle \int _c^d g^2(y)dy[/imath]

VD1: Cho hình phẳng [imath]H[/imath] giới hạn bởi đồ thị [imath]y = x^2 + 2x[/imath], trục hoành [imath]Ox[/imath], [imath]x = 0;x = 3[/imath]. Hãy xác định thể tích khối tròn xoay thu được khi cho [imath](H)[/imath] xoay quanh [imath]Ox[/imath]?

Áp dụng công thức cơ bản : [imath]V = \pi \displaystyle \int _a^b f^2(x)dx[/imath]
[imath]V = \pi \displaystyle \int _0^3 (x^2 + 2x)^2dx = \dfrac{828\pi}{5}[/imath]

VD2: Cho hình phẳng [imath](H)[/imath] giới hạn bởi đồ thị [imath]y = \sqrt{x-2}[/imath], trục tung [imath]Oy , y = 3;y = 6[/imath]. Hãy xác định thể tích khối tròn xoay thu được khi cho [imath](H)[/imath] xoay quanh trục [imath]Oy[/imath]?

Từ [imath]y = \sqrt{x -2} \to x = y^2 + 2[/imath]
Thể tích khối tròn xoay thu được là: [imath]V = \pi \displaystyle \int _3^6 (y^2 + 2)^2dy = \dfrac{8853\pi}{5}[/imath]

VD3: Cho hình phẳng [imath](H)[/imath] được giới hạn bởi đồ thị [imath]y = x^2 + 2x[/imath]; [imath]y = g(x) = x + 2[/imath]; [imath]x = 0; x = 4[/imath]. Hãy tính thể tích khối tròn xoay thu được khi cho [imath](H)[/imath] quay quanh [imath]Ox[/imath]

Nhận thấy trên đoạn [imath][0;4][/imath] thì 2 đường cong đều dương
[imath]V = \pi \displaystyle \int _a^b |f^2(x) - g^2(x)|dx = \pi \displaystyle \int _0^4 |(x^2 + 2x)^2 - (x+2)^2| dx = \dfrac{2422\pi}{5}[/imath]

chi254 · 23 Tháng ba 2022

Sau khi ôn tập lí thuyết và ví dụ, thì cùng nhau làm file bài tập này nhé !
Bài tập chuyên đề: Nguyên hàm tích phân

chi254 · 24 Tháng sáu 2022

Sau khi hoàn thành kiến thức, chúng ta đến với một số ví dụ được lấy từ đề thi nhé
Các câu sau đây được lấy từ đề thi, đề thi thử ( Câu 40 trở về trước)
Câu 1: Cho biết nguyên hàm của hàm số [imath]y = f(x)[/imath] trên [imath]\mathbb{R}[/imath] là [imath]F(x)[/imath] và có: [imath]F(0) =2F(1) = 4[/imath]. Gía trị của tích phân [imath]\displaystyle \int _0^1 f(x)dx[/imath] bằng:

[imath]\displaystyle \int _0^1 f(x)dx = F(1) - F(0) = 2 - 4 = -2[/imath]

Câu 2: Cho tích phân [imath]I = \displaystyle \int _0^{\ln 2} \dfrac{dx}{e^x(e^x + 1)} = \dfrac{a}{b} - c.\ln 2 + d.\ln 3[/imath]; trong đó [imath]a;b;c;d[/imath] là các số nguyên dương và phân số [imath]\dfrac{a}{b}[/imath] tối giản. Tính [imath]T = a + b +c +d[/imath]

Đặt [imath]t = e^x \to dt = e^xdx \to dx = \dfrac{dt}{t}[/imath].
Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = 0\\ x = \ln 2 \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}t = 1 \\ t= 2 \end{matrix}\right.[/imath]
Suy ra: [imath]I = \displaystyle \int _0^{\ln 2} \dfrac{dx}{e^x(e^x + 1)} = \displaystyle \int _1^2\dfrac{dt}{t^2(t+1)}[/imath] [imath]= \displaystyle \int _1^2 \left (\dfrac{1}{t^2} - \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{t+1} \right)dt[/imath] [imath]= \left (\dfrac{-1}{t} - \ln |t| + \ln |t+1| \right )|_1^2 = \dfrac{1}{2} -2\ln 2 + \ln 3[/imath]
Suy ra: [imath]a = 1; b = 2; c = 2; d = 1 \to T = 6[/imath]

Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số [imath]f(x) = x^3 - 1[/imath] là:

[imath]\displaystyle \int f(x)dx = \displaystyle \int x^3 - 1 dx = \dfrac{x^4}{4} - x + C[/imath]

Câu 4: Cho biết [imath]\displaystyle \int _0^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{\sin x dx }{(\cos x + 1)(\cos x + 2)} = a\ln 2 + b.\ln 3[/imath], trong đó [imath]a;b[/imath] là những số nguyên. Gía trị của biểu thức [imath]T= a + 2b[/imath] là:

Đặt [imath]t = \cos x \to dt = - \sin x dx[/imath]
Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = 0\\ x = \dfrac{\pi}{2} \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}t = 1 \\ t= 0 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]I = \displaystyle \int _0^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{\sin x dx }{(\cos x + 1)(\cos x + 2)} = \displaystyle \int _1^0\dfrac{-dt}{(t+1)(t+2)} = \displaystyle \int 0^1 \dfrac{dt}{(t+1)(t+2)} = \displaystyle \int _0^1 \left (\dfrac{1}{t+1} - \dfrac{1}{t+2} \right )dt = \ln |\dfrac{t+1}{t+2}| |_0^1 = 2\ln 2 - ln 3[/imath]
Suy ra: [imath]a = 2;b = -1[/imath]
Ta có: [imath]T = 0[/imath]

Câu 5: Biết rằng: [imath]\displaystyle \int _0^3 \dfrac{9dx}{\sqrt{x+4} + \sqrt{x+1}} = a\sqrt{7} - b[/imath]; trong đó [imath]a;b[/imath] là những số nguyên. Gía trị biểu thức [imath]T = a+b[/imath]

Ta có: [imath]I = \displaystyle \int _0^3 \dfrac{9dx}{\sqrt{x+4} + \sqrt{x+1}}[/imath] [imath]= \displaystyle \int _0^3 \dfrac{9(\sqrt{x+4} + \sqrt{x+1})dx}{(x+4) - (x+1)}[/imath] = 3\displaystyle \int _0^3 (\sqrt{x + 4} - \sqrt{x+1})dx$
[imath]I = 3\left (\dfrac{2}{3}(x+4)\sqrt{x+4} - \dfrac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1} \right) |_0^3 = 14\sqrt{7} - 30[/imath]
Suy ra: [imath]a = 14 ; b = 30[/imath]
[imath]T = a + b = 44[/imath]

Câu 6: Họ nguyên hàm của [imath]f(x) = 3^x + 1[/imath] là:

[imath]F(x) = \displaystyle \int f(x)dx = \displaystyle \int (3^x + 1)dx = \dfrac{3^x}{\ln 3} + x + C[/imath]

Câu 7: Cho biết [imath]\displaystyle \int _a^b f(x)dx = 1; \displaystyle \int _a^b g(x)dx = 2[/imath]. Gía trị của tích phân [imath]\displaystyle \int _a^b (3f(x) - 2g(x))dx[/imath] bằng:

Ta có: [imath]I = \displaystyle \int _a^b (3f(x) - 2g(x))dx = 3 \displaystyle \int _a^b f(x)dx -2\displaystyle \int _a^b g(x)dx = 3 - 4 = -1[/imath]

Câu 8: Cho tích phân [imath]\displaystyle \int _0^1 \dfrac{x^2 +x + 2 }{x^2 + 3 + 2}dx = a + b\ln 2 - c\ln 3[/imath]; trong đó [imath]a;b;c[/imath] là các số nguyên dương. Tính [imath]T = a + b +c[/imath]

Ta có: [imath]I = \displaystyle \int _0^1 \dfrac{x^2 +x + 2 }{x^2 + 3 + 2}dx = \displaystyle \int _0^1 \left (1 - \dfrac{2x}{(x+1)(x+2)} \right) dx[/imath]
[imath]I = 1 + 6\ln 2 - 4\ln 3[/imath]
[imath]T = a + b +c = 1 + 6 +4 = 11[/imath]

Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số [imath]f(x) = x\sqrt{x}[/imath] tương ứng là:

[imath]F(x) = \displaystyle \int f(x) dx = \dfrac{2}{5}x^2\sqrt{x} + C[/imath]

Câu 10: Giá trị của tích phân $I = \displaystyle \int _0^{2021} e^xdx là:

[imath]\displaystyle \int e^xdx = e^x + C[/imath]
[imath]I = e^{2021} - 1[/imath]

chi254 · 15 Tháng bảy 2022

Câu 11: Biết rằng [imath]\displaystyle \int _0^1 \dfrac{(x^2+ 6x)dx}{(x+3)^3} = \dfrac{-a}{b} + c.\ln 2 - d \ln 3[/imath]; trong đó [imath]a;b;c;d[/imath] là những số dương và [imath]\dfrac{a}{b}[/imath] là phân số tối giản. Tìm [imath]T = a + b +c +d[/imath]

Ta có: [imath]\displaystyle \int _0^1 \dfrac{(x^2 + 6x)dx}{(x+3)^3} = \displaystyle \int _0^1 \dfrac{(x+3)^2 - 9}{(x+3)^3}dx = \displaystyle \int _0^1 \dfrac{dx}{x+3} - 9\displaystyle \int _0^1 \dfrac{dx}{(x+3)^3} = \ln |x +3| |_0^1 + \dfrac{9}{2}.\dfrac{1}{(x+3)^2}|_0^1[/imath]

[imath]I = \dfrac{-7}{32} +2\ln 2 - \ln 3[/imath]
Suy ra: [imath]a = 7;b = 32;c = 2; d = 1 \to T = a + b + c +d = 42[/imath]

Câu 12: Họ nguyên hàm của hàm số [imath]f(x) = 3e^x(e^{2x} - 1)[/imath] là:

[imath]F(x) = \displaystyle \int f(x)dx = \displaystyle \int 3e^x(e^{2x} - 1 dx = \displaystyle \int 3e^{3x} - 3.e^x dx = e^{3x} - 3e^x + C[/imath]

Câu 13: Nếu [imath]\displaystyle \int _0^2 f(x)dx = 6[/imath] thì [imath]\displaystyle \int _0^2 (2f(x) - 1)[/imath] bằng bao nhiêu?

[imath]\displaystyle \int _0^2 (2f(x) - 1) = 2.6 - 2 = 10[/imath]

Câu 14. Khẳng định nào sau đây sai?
A. [imath]\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) d x=\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x,(a<c<b)[/imath].
B. [imath]\displaystyle \int_{a}^{b}[f(x)-g(x)] d x=\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) d x-\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) d x[/imath]
C. [imath]\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \cdot g(x) d x=\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) d x \cdot \displaystyle \int_{a}^{b} g(x) d x[/imath].
D. [imath]\int_{a}^{b} f(x) d x=-\displaystyle \int_{b}^{a} f(x) d x[/imath].

Câu 15: Cho hàm số [imath]y=f(x)[/imath] có đạo hàm [imath]f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x-1}+6 x, \forall x \in(1 ;+\infty)[/imath] và [imath]f(2)=12[/imath]. Biết [imath]F(x)[/imath] là nguyên hàm của [imath]f(x)[/imath] thỏa mãn [imath]F(2)=6[/imath], khi đó giá trị biểu thức [imath]P=F(5)-4 F(3)[/imath] bằng

[imath]f(x)=\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int\left[\dfrac{1}{x-1}+6 x\right] \mathrm{d} x=\ln (x-1)+3 x^{2}+C_{1}([/imath] với [imath]\forall x \in(1 ;+\infty))[/imath]
Ta có: [imath]f(2) = 12 \to 12 + C_1 = 12 \to C_1 = 0[/imath]
[imath]\Rightarrow F(x)=\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle \int\left[\ln (x-1)+3 x^{2}\right] \mathrm{d} x[/imath]
Đặt [imath]\left\{\begin{matrix}u = \ln (x - 1) \\ dv = dx \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}du = \dfrac{dx}{x-1} \\ v = x \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]F(x) = \displaystyle \int \ln (x-1)dx + x^3 = x^3 + x.\ln (x-1) - \displaystyle \dfrac{xdx}{x - 1} = x^3 + x\ln (x-1) + x + \ln |x-1| + C[/imath]
Mà [imath]F(2)=6[/imath] suy ra [imath]6+C=6 \Rightarrow C=0 \Rightarrow F(x)=(x-1) \cdot \ln (x-1)+x^{3}-x[/imath] [imath]\Rightarrow P=F(5)-4 F(3)=4 \ln 4+120-4 \cdot(2 \ln 2+24)=24[/imath].

Câu 16: Nếu [imath]\displaystyle \int_{1}^{3} f(x) d x=5, \displaystyle \int_{3}^{5} f(x) d x=-2[/imath] thì [imath]\displaystyle \int_{1}^{5}[f(x)+1] d x[/imath] bằng

[imath]\displaystyle \int_{1}^{5}[f(x)+1] d x = \displaystyle \int_{1}^{5}f(x) d x + \displaystyle \int_{1}^{5}d x = \displaystyle \int_{1}^{3}f(x) d x + \displaystyle \int_{3}^{5}f(x) d x + \displaystyle \int_{1}^{5}d x = 5 - 2 + 4 = 7[/imath]

Câu 17. Cho tích phân [imath]I=\displaystyle \int_{1}^{e} \dfrac{3 \ln x+1}{x} \mathrm{~d} x[/imath]. Nếu đặt [imath]t=\ln x[/imath] thi
A. [imath]I=\displaystyle \int_{1}^{e} \dfrac{3 t+1}{t} \mathrm{~d} t[/imath]
B. [imath]I=\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{3 t+1}{\mathrm{e}^{t}} \mathrm{~d} t[/imath]
C. [imath]I=\displaystyle \int_{0}^{1}(3 t+1) \mathrm{d} t[/imath].
D. [imath]I=\displaystyle \int_{1}^{e}(3 t+1) \mathrm{d} t[/imath].

Đặt [imath]t = \ln x \to dt = \dfrac{dx}{x}[/imath]
Đổi biến số ta có: [imath]I = \displaystyle \int _0^1(3t +1)dt[/imath]

Câu 18: Cho hàm số [imath]y=f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+1 & \text { khi } x<0 \\ e^{x} & \text { khi } x \geq 0\end{array} .\right.[/imath] Biết [imath]\displaystyle \int_{-2}^{2} f(x) d x=a \cdot e^{2}+b \cdot e+c(a, b, c \in \mathbb{Q})[/imath]. Tính tổng [imath]a+b+c[/imath].

Ta có [imath]\displaystyle \int_{-2}^{2} f(x) d x=\displaystyle\int_{-2}^{0} f(x) d x+\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) d x=\displaystyle \int_{-2}^{0}\left(x^{2}+1\right) d x+\displaystyle \int_{0}^{2} e^{x} d x=\dfrac{14}{3}+e^{2}-1=e^{2}+\dfrac{11}{3}[/imath]
Suy ra [imath]a=1 ; b=0 ; c=\dfrac{11}{3} \Rightarrow a+b+c=\dfrac{14}{3}[/imath]

Câu 19: Họ nguyên hàm của [imath]F(x) = \dfrac{\cos x}{1 - \cos ^2x}[/imath] là:

[imath]f(x) = \displaystyle \int F(x)dx = \displaystyle \int \dfrac{\cos x}{1 - \cos ^2x}dx = \displaystyle \int \dfrac{d(\sin x)}{\sin ^2x} = \dfrac{-1}{\sin x} + C[/imath]

Câu 20: Tìm họ nguyên hàm của hàm số [imath]f(x)=x+\cos x[/imath].

[imath]\displaystyle \int x + \cos x= \dfrac{x^2}{2} + \sin x + C[/imath]

chi254 · 22 Tháng bảy 2022

Câu 21: Nếu [imath]\displaystyle \int_{1}^{5} f(x) \mathrm{d} x=2[/imath] và [imath]\displaystyle \int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x=7[/imath] thì [imath]\displaystyle \int_{3}^{5}[2 x+f(x)] \mathrm{d} x[/imath] có giá trị bằng?

[imath]\displaystyle \int_{3}^{5}[2 x+f(x)] \mathrm{d} x = \displaystyle \int_{3}^{5}f(x) \mathrm{d} x + \displaystyle \int_{3}^{5}2 x \mathrm{d} x = \displaystyle \int_{1}^{5}f(x) \mathrm{d} x - \displaystyle \int_{1}^{3}f(x) \mathrm{d} x + \displaystyle \int_{3}^{5}2 x \mathrm{d} x[/imath]
[imath]I = 2 - 7 + (5^2 - 3^2) = 11[/imath]

Câu 22: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên [imath]\mathbb{R}[/imath] thỏa mãn [imath]f(x)=2 f(3 x), \forall x \in \mathbb{R}[/imath]. Biết rằng [imath]F[/imath] là một nguyên hàm của [imath]f[/imath] thỏa mãn [imath]F(3)=6[/imath]. Giá trị của [imath]I=F(1)+2 F(9)[/imath] bằng

[imath]f(x)=2 f(3 x) \Rightarrow \displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=2 \displaystyle \int f(3 x) \mathrm{d} x \Leftrightarrow F(x)=\frac{2}{3} F(3 x)+C \Leftrightarrow 3 F(x)-2 F(3 x)=3 C[/imath]
[imath]\left\{\begin{matrix}3 F(1)-2 F(3)=3 C \\ 3 F(3)-2 F(9)=3 C\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\to 3 F(1)-5 F(3)+2 F(9)=0[/imath]
[imath]\to I=3 F(1)+2 F(9)=5 F(3)=30[/imath]

Câu 23: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên [imath]\mathbb{R}[/imath]. Biết [imath]\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 x f\left(\cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x=1[/imath], khi đó [imath]\int_{0}^{1}\left[2 f(1-x)-3 x^{2}+5\right] \mathrm{d} x[/imath] bằng

Ta có: [imath]\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 x f\left(\cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x=1 .[/imath]
Đặt [imath]t=\cos ^{2} x \Rightarrow-2 \sin x \cdot \cos x \mathrm{~d} x=\mathrm{d} t \Leftrightarrow-\sin 2 x \mathrm{~d} x=\mathrm{d} t[/imath].
Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = 0 \\ x = \dfrac{\pi}{2} \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}t = 1 \\ t =0 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 x f\left(\cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x=1 \iff \displaystyle \int _1^0- f(t)dt = 1 \iff \displaystyle \int _0^1 f(t)dt = 1[/imath]
[imath]\int_{0}^{1}\left[2 f(1-x)-3 x^{2}+5\right] \mathrm{d} x = 2\displaystyle \int _0^1 f(1 - x)dx + 4[/imath]
Tính [imath]I = \displaystyle \int _0^1 f(1 - x)dx[/imath]
Đặt [imath]u = 1- x \to -dx = du \iff dx = -du[/imath]
Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = 0 \\ x = 1 \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}u = 1 \\ u =0 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]I = \displaystyle \int _0^1 f(1 - x)dx = \displaystyle \int _0^1f(u)du = 1[/imath]
Vậy [imath]\displaystyle \int_{0}^{1}\left[2 f(1-x)-3 x^{2}+5\right] \mathrm{d} x = 2.1 + 4= 6[/imath]

Câu 24: Nguyên hàm của [imath]\displaystyle \int (e^x - 4x^3)dx[/imath] là:

[imath]\displaystyle \int (e^x - 4x^3)dx = e^x - x^4 + C[/imath]

Câu 25: Nguyên hàm [imath]\displaystyle \int (\sin 2x - 2x)dx[/imath]

[imath]\displaystyle \int (\sin 2x - 2x )dx = \dfrac{-1}{2}.\cos 2x - x^2 +C[/imath]

Câu 26: Cho [imath]\displaystyle \int _{-1}^5f(x) = 6[/imath]. Tính tích phân [imath]I = \displaystyle \int _{-1}^2f(2x + 1)dx[/imath]

Đặt [imath]t = 2x + 1 \to dt = 2dx[/imath]
Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = -1 \\ x = 2 \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}t = -1 \\ t=5 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\displaystyle \int _{-1}^2f(2x + 1)dx = \displaystyle \int _{-1}^5f(t)\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2}.6 = 3[/imath]

Câu 27: Biết [imath]F(x)[/imath] là 1 nguyên hàm [imath]f(x) = e^{2x}[/imath] và [imath]F(0) = 0[/imath]. Gía trị của $F(\ln 3)/4 bằng :

Ta có: [imath]F(x) = \displaystyle \int e^{2x}dx = \dfrac{1}{2}.e^{2x} + C[/imath]
Lại có: [imath]F(0) = 0 \to C = \dfrac{-1}{2}[/imath]
Vậy [imath]F(x) = e^{2x} - \dfrac{1}{2}[/imath]
Tính: [imath]F(\ln 3) = e^{2\ln 3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{2}[/imath]

Câu 28: Tập xác định của hàm số [imath]\ln (-x^2 + 4)[/imath] là:

ĐKXĐ: [imath]-x^2 + 4 > 0 \iff -2 <x < 2[/imath]
Vậy [imath]D = (-2;2)[/imath]

Câu 29: Cho [imath]f\left (\dfrac{3x -4}{3x +4} \right) = x +2[/imath]. Tính [imath]\displaystyle \int f(x)dx[/imath]

Đặt [imath]t = \dfrac{3x -4}{3x + 4} \iff 1 - \dfrac{8}{3x + 4} = t \iff \dfrac{1}{3x +4} = \dfrac{1-t}{8} \iff x = \dfrac{4}{3}\dfrac{1+t}{1 - t}[/imath]
Ta có: [imath]f(t) = \dfrac{4}{3}.\dfrac{1+ t}{1 - t} + 2 = \dfrac{10 -2t}{3(1 - t)} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{8}{3(1 - t)}[/imath]
[imath]\displaystyle \int f(x)dx = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{8}{3}.\ln |1 - x| + C[/imath]

Câu 30: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên [imath][0;1][/imath], có đạo hàm [imath]f'(x)[/imath] thỏa mãn [imath]\displaystyle \int _0^1(2x +1)f'(x)dx =10[/imath] và [imath]f(0) = 3f(1)[/imath]. Tính [imath]I = \displaystyle \int _0^1f(x)dx[/imath]

Đặt [imath]u = 2x + 1 \to du = 2dx[/imath]
[imath]dv = f'(x)dx[/imath]. Chọn [imath]v = f(x)[/imath]
Ta có: [imath]\displaystyle \int _0^1(2x +1)f'(x)dx =10 \iff (2x + 1)f(x)|_0^1 - 2\displaystyle \int _0^1f(x)dx = 10[/imath]
[imath]\iff 3f(1) - f(0) -2\displaystyle \int _0^1f(x)dx \iff \displaystyle \int _0^1f(x)dx = -5[/imath]

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Toán [Ôn thi THPTQG 2022] Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

chi254

Cựu Mod Toán

chi254

Cựu Mod Toán

chi254

Cựu Mod Toán

chi254

Cựu Mod Toán

chi254

Cựu Mod Toán

chi254

Cựu Mod Toán

chi254

Cựu Mod Toán

chi254

Cựu Mod Toán

chi254

Cựu Mod Toán

chi254

Cựu Mod Toán

chi254

Cựu Mod Toán

Attachments

chi254

Cựu Mod Toán

chi254

Cựu Mod Toán

chi254

Cựu Mod Toán