Ôn thi đại học 2013 : Chuyên đề phương trình, hệ phương trình

[hoanghondo94]

Bài 16:
$\sqrt[3] {x^2-1}+x=\sqrt{x^3-2}$

ĐK :$x\geq \sqrt[3]{2}$

Liên hợp với x=3 ta được:

$(\sqrt[3]{{x}^{2}-1}-2)+(x-3)=\sqrt{{x}^{3}-2}-5$

$\Leftrightarrow \frac{{x}^{2}-9}{\sqrt[3]{({x}^{2}-1)^2}+2\sqrt[3]{{x}^{2}-1}+4}+(x-3)=\frac{{x}^{3}-27}{\sqrt{{x}^{3}-2}+5}$

$\Leftrightarrow (x-3)(\frac{x+3}{\sqrt[3]{{x^2-1}^{2}}+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}+1-\frac{x^2+3x+9}{\sqrt{x^3-2}+25})=0$

Vì vế trong luôn $\neq 0$ với mọi $x\geq \sqrt[3]{2}$

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3

 

[th1104]

Bài 18: Giải hệ
$$\left\{\begin{matrix}x^3y-x^2+xy+1=0 \\ x^4-x^3y+x^2y^2=1 \end{matrix}\right.$$

Cộng theo vế 2 pt:
$x^4-x^3y+x^2y^2+x^3y-x^2+xy=0$

\Rightarrow $x^3(x-y)+x^2y(x+y)-x(x-y)=0$

\Rightarrow $x(x^2-1)(x-y)+x^2y(x+y)=0$

\Rightarrow $\left\{\begin{matrix}x=0 \\ (x^2-1)(x-y)+xy(x+y)=0(1) \end{matrix}\right.$

Ta có: $x=0$ không là nghiệm của hệ

Ta có: $x^3y-x^2+xy= -1$

\Rightarrow $x^2-1=xy(x^2+1)$

(1) \Rightarrow $xy(x^2+1)(x-y)+xy(x+y)=0 $

\Rightarrow $x^2y(x^2-xy+2)=0$

\Rightarrow $\left\{\begin{matrix}y=0\\ y=\dfrac {x^2+2}{x} \end{matrix}\right.$

Thay $y=\frac {x^2+2}{x}$ vào PT thứ 2 của hệ ta có $x^4+2x^2+3=0$ (vô nghiệm)

Vậy $y=0$ \Rightarrow $x= \pm 1$

Vậy hệ đã cho có nghiệm $(x;y) \in \{ (-1;0); (1;0) \}$

 

[thienlong_cuong]

Câu 9:

Tiếp(các câu khối B;D;T)

Bài 17: Giải hệ:
$$\left\{\begin{matrix} x^2y+y=2\\ x^2(1+y^2)=3-\frac{1}{x^2} \end{matrix}\right.$$
Bài 18: Giải hệ
$$\left\{\begin{matrix}x^3y-x^2+xy+1=0 \\ x^4-x^3y+x^2y^2=1 \end{matrix}\right.$$
Bài 19: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=m\\ x+y=2m+1 \end{matrix}\right.$$

Giờ chuyên Lí ùi , nhớ tới toán mà não lòng quá

Bài 16)
[TEX]\left{\begin{x^2y + y = 2}\\{x^2(y^2 +1) = 3 - \frac{1}{x^2}} [/TEX]


[TEX]x^2y^2 + \frac{1}{x^2} \geq 2|y| \geq 2y[/TEX]

[TEX]x^2y^2 + x^2 \geq 2x^2.|y| \geq 2x^2y[/TEX]

Cộng 2 vế ta đc
[TEX]x^2y^2 + x^2y^2 + \frac{1}{x^2} + x^2 \geq 2y(x^2 +1)[/TEX]

Hay [TEX]x^2y^2 + 3 \geq 4 \Rightarrow x^2y^2 \geq 1[/TEX]

Mặt khác
[TEX]x^2(y^2 +1) = 3 - \frac{1}{x^2} \Leftrightarrow x^2y^2 + x^2 + \frac{1}{x^2} = 3 \Rightarrow x^2y^2 \leq1[/TEX]

Từ đó suy ra [TEX]|xy| = 1 \Rightarrow ...[/TEX]

 

[bboy114crew]

Cái chuyên đề này hay đấy!
Có anh chị nào vào giúp em nó cái mảng dùng đạo hàm với các công cụ mạnh khác không?

 

[hthtb22]

Bài 20: Tìm m để phương trình có nghiệm

$$\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{(1+x)(8-x)}=m$$

Bài 21: Tìm m để:

$cos 3x-cos 2x+m cos x-1=0$ có đúng 7 nghiệm thuộc $(\dfrac{\pi}{2};2\pi)$

Bài 22: Tìm m nhỏ nhất để bất phương trình sau đúng với \forall $x\in[0;1]$

$$m(x^2-x+1) \le x^2+x+1$$

 

[maxqn]

Bài 20:

Để ý rằng $1 + x + 8 -x = 9 = 9(sin^2t + cos^2t)$ nên ta có thể lượng giác hóa
Đặt $$\displaystyle \begin{cases} \sqrt{1+x} = 3sint \\ \sqrt{8-x} = 3cost \end{cases} \ \ (t\in \left[0;\frac{\pi}2 \right])$$

Khi đó ta được
$$pt \Leftrightarrow \frac92u^2 + 3u - \frac92 = m \ \ (u \in \left[1;\sqrt2 \right])$$

Khảo sát hàm $g(u) = \frac92u^2 + 3u - \frac92$ ta được

Để phương trình có nghiệm thì $$3 \leq m \leq \frac92 + 3\sqrt2$$

 

[mywish78]

giúp em bày này với. thứ 2 là nộp rùi (gấp).....

câu 1: [TEX]{2}^{3x}+3x.{2}^{2x}+(1+3{x}^{2}).{2}^{x}+x-2=0[/TEX]
câu 2: [TEX]{3}^{x}+{5}^{x}=2.{4}^{x}[/TEX]

 

[nguyenbahiep1]

câu 2: [TEX]{3}^{x}+{5}^{x}=2.{4}^{x}[/TEX]

[laTEX]5^x -4^x = 4^x-3^x [/laTEX]

giả sử pt trên có nghiệm là a vậy:

[laTEX]5^a -4^a = 4^a-3^a \\ \\ f(t) = (t+1)^a - t^a \\ \\ f(4) = f(3)[/laTEX]

vậy theo đinh lý largrange tồn tại 1 số c thuộc (3,4) sao cho f'(c) = 0

[laTEX]f'(c) = 0 \Rightarrow a.[(c+1)^{a-1} - c^{a-1}] = 0 \Rightarrow a = 0 \\ \\ (c+1)^{a-1} = c^{a-1} \Rightarrow a = 1 [/laTEX]

vậy pt có 2 nghiệm x = 0 và 1

 

[i_am_shy]

Giải phương trình chứa căn bằng phương pháp lượng giác hóa.

1) $x^3 - 3\sqrt{3}x^2 - 3x + \sqrt{3} = 0$


2) $x^3 - 3x = \sqrt{x +2}$


3) $\sqrt{1 + \sqrt{1 - x^2}} = x(1 + 2\sqrt{1 - x^2})$


4) $x^2 + \sqrt{x + \frac{3}{2}} = \frac{9}{4}$

 

[bongie]

Đang cần gấp bài này bạn nào giúp mình vs

[TEX]\left{\begin{\sqrt{x^2 - 2x + 4}\log_2y}\\{\sqrt{y^2 - 2y + 4}\log_2x (x, y \in\ \mathbb{R})}\\{x < 4; y < 4}[/TEX]

 

[hthtb22]

Bài 23
$\left\{\begin{matrix} x^3+4y=y^3+16x \\ 1+x^2=5(1+y^2) \end{matrix}\right.$

Bài 24:
$\left\{\begin{matrix} x^2+8y^2=12\\ x^3+2xy^2+12y=0 \end{matrix}\right.$

Bài 25:
$\left\{\begin{matrix}x\sqrt{y^2+6}+y\sqrt{x^2+3}=7xy \\x\sqrt{x^2+3}+y\sqrt{y^2+6}=2+x^2+y^2 \end{matrix}\right.$

 

[hthtb22]

Bài 24:
$\left\{\begin{matrix} x^2+8y^2=12(1)\\ x^3+2xy^2+12y=0 (2) \end{matrix}\right.$

Topic trầm quá- Giải bài này cho sôi động lên được
Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow x^3+2xy^2+(x^2+8y^2)y=0$
$\Leftrightarrow x^3+2xy^2+x^2y+8y^3=0$
$\Leftrightarrow (x+2y)[x^2-2xy+4y^2+2xy]=0$
$\Leftrightarrow (x+2y)(x^2+4y^2)=0$

Nếu $x+2y=0 $. Từ $(1) \Rightarrow 12y^2=12 \Rightarrow y=1 \text{hoặc } y=-1$

Nếu $x^2+4y^2=0 \Leftrightarrow x=y=0$(loại)

Vậy $\fbox{(x;y)=(-2;1);(2;-1)}$
​

 

[kool_b_o_y_]

Bài 23:
$$\left\{\begin{matrix} x^3+4y=y^3+16x \\ 1+x^2=5(1+y^2) \end{matrix}\right.$$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3-y^3-4(4x-y)=0
& \\ 5x^2-y^2=-4
&
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3-y^3+(5x^2-y^2)(4x-y)=0
& \\
&
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
& \\ 5x^2-y^2=-4
&
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}21x^3-5x^2y-4xy^2=0
& \\ 5x^2-y^2=-4
&
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x=0
\\ x=\dfrac{4}{7}y
\\ x=\dfrac{-1}{3}y

\end{matrix}\right.
& \\ 5x^2-y^2=-4
&
\end{matrix}\right.$

 

[duylinh_95]

[TEX]1+2x-x^2= sqrt{( x +1)(2-x)}[/TEX] ai làm giúp nào................

 

[thanhlinh018]

chém câu 7:
chuyển 9 sang vế phải,đặt 9 làm nhân tử chung, liên hợp ,đặt (x-3) chung rồi,chứng minh phần còn lạ vô nghiệm

 

[seobhyo@gmail.com]

Một bài thôi √(-3x+1) + √(-x+√-7x+2)) = 4

 

[jennyphan97]

giải hộ mình hệ này vs:{1\x-1\2y=2(x^4-y^4)
{1\x+1\2y=(3y^2+x^2)(3x^2+y^2)