Với [imath]x >0[/imath], cho các biểu thức:
[imath]A = \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} ; B = \dfrac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}}[/imath] và [imath]P = \dfrac{A}{B}[/imath]
a) Rút gọn và tính giá trị của [imath]P[/imath] khi [imath]x = 4[/imath]
b) Tìm các giá trị thực của [imath]x[/imath] để [imath]A \le 3B[/imath]
c) So sánh [imath]B[/imath] với [imath]1[/imath]
d) Tìm [imath]x[/imath] thỏa mãn [imath]P.\sqrt{x} + (2\sqrt{5} -1)\sqrt{x} = 3x - 2\sqrt{x-4} +3[/imath]
Suzuki Arana)
[imath]A = \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \dfrac{x+ \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}[/imath]
[imath]P = \dfrac{A}{B} = \dfrac{x+ \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} : \dfrac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} = \dfrac{(x+ \sqrt{x} + 1)(x + \sqrt{x})}{x(\sqrt{x} + 1)} = \sqrt{x} + 1 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}[/imath]
Khi [imath]x = 4 \to P = \dfrac{7}{2}[/imath]
b) [imath]A \le 3B \iff \dfrac{x+ \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \le 3\dfrac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} \iff (x+ \sqrt{x} + 1)(x+ \sqrt{x}) \le 3x(\sqrt{x} + 1)[/imath]
[imath]\iff x+ \sqrt{x} + 1 \le 3\sqrt{x} \iff x - 2\sqrt{x} + 1 \le 0 \iff (\sqrt{x} - 1)^2 \le 0 \iff x = 1[/imath]
c) [imath]x > 0 \to x + \sqrt{x} > \sqrt{x} \to B < 1[/imath]
d) ĐKXĐ [imath]x \ge 4[/imath]
[imath]P.\sqrt{x} + (2\sqrt{5} -1)\sqrt{x} = 3x - 2\sqrt{x-4} +3[/imath]
[imath]\iff x + \sqrt{x} + 1 + 2\sqrt{5x} - \sqrt{x} = 3x - 2\sqrt{x-4} +3[/imath]
[imath]\iff x + 1 + 2\sqrt{5x} = 3x - 2\sqrt{x-4} +3[/imath]
[imath]\iff 2x - 2\sqrt{5x} - 2\sqrt{x -4} + 2 = 0[/imath]
[imath]\iff x + 1 = \sqrt{5x} + \sqrt{x-4}[/imath]
[imath]\iff 4x + 4 = 4( \sqrt{5x} + \sqrt{x-4})[/imath]
[imath]\iff ( \sqrt{5x} + \sqrt{x-4})( \sqrt{5x} - \sqrt{x-4}) = 4( \sqrt{5x} + \sqrt{x-4})[/imath]
[imath]\iff \sqrt{5x} - \sqrt{x-4} = 4[/imath]
[imath]\iff 5x = 16 + 8\sqrt{x-4} + x-4[/imath]
[imath]\iff x - 3 = 2\sqrt{x-4}[/imath]
Tiếp tục BP 2 vế ....
Có gì không hiểu thì em hỏi lại nha
Ngoài ra, em tham khảo thêm kiến thức tại topic này nha
Rút gọn biểu thức chứa căn bậc 2, căn bậc 3