- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Kiến thức cần nhớ:
1. [tex]\sqrt{A}[/tex] có nghĩa khi [tex]A\geq 0[/tex]. Do vậy với các bài toán biến đổi biểu thức có chứa biến ( thường là biến x) thì ta phải đặt điều kiện để biểu thức căn có nghĩa, trước khi làm.
2. Phép khiai phương của một tích, thương:
[tex]\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}(A,B\geq 0)[/tex]
Chúng ta cần phải đặt điều kiện vì nếu A<0, B<0, ta vẫn có A.B>0, tức [TEX]\sqrt{A.B}[/TEX] tồn tại, tuy nhiên [TEX]\sqrt{A},\sqrt{B}[/TEX] lại không tồn tại vì A,B <0.
Tương tự với khai phương của một thương:
[tex]\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}(A\geq 0,B> 0)[/tex]
B không bằng 0 vì mẫu số thì không thể bằng 0.
3. Để có thể khai căn được biểu thức nằm dưới dấu căn, ta phải sử dụng đẳng thức sau:
[tex]\sqrt{A^2}=|A|=\left\{\begin{matrix} A(A\geq 0)\\ -A(A< 0) \end{matrix}\right.[/tex]
Do vậy, mục tiêu là phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn thành một bình phương để khai căn được. 2 hằng đẳng thức rất quen thuộc để biến đổi:
[TEX]a^2+2ab+b^2=(a+b)^2[/TEX]
[TEX]a^2-2ab+b^2=(a-b)^2[/TEX]
Đây là dạng cơ bản, chúng ta biến đổi phù hợp với từng bài toán, chứ không phải lúc nào nó cũng tường minh dễ nhìn như vậy. Ví dụ như: [tex]a+2\sqrt{a}.\sqrt{b}+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 (a,b\geq 0)[/tex]
Vân dụng:
1. Rút gọn: [tex]A=\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{13+4\sqrt{3}}[/tex]
Ta phải đưa các biểu thức dưới căn về các bình phương:
[tex]\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}^2-2.\sqrt{3}.1+1^2)}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=|\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1[/tex]
Để so sánh [TEX]\sqrt{3}[/TEX] và 1 thì có thể bấm máy tính. Hoặc sử dụng : [tex]A\geq B\geq 0<=>\sqrt{A}\geq \sqrt{B}[/tex]
Với [tex]\sqrt{13+4\sqrt{3}}[/tex], nếu ta nhìn theo hướng: [tex]13+2.2.\sqrt{3}=2^2+2.2.\sqrt{3}+3+6=(\sqrt{3}+2)^2+6[/tex] thì rõ ràng lẻ ra số 6 không thể biến đổi để rút gọn được tiếp. Tuy nhiên nếu nhìn theo 1 hướng khác:
[tex]\sqrt{13+4\sqrt{3}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2.2\sqrt{3}.1+1}=\sqrt{(2\sqrt{3}+1)^2}=2\sqrt{3}+1[/tex]
Như vậy, ngoài thuộc HĐT thì chúng ta cần phải biến đổi linh hoạt, nếu cách biến đổi này không được thì thử chọn cách khác. Sau một thời gian làm bài tập các bạn sẽ quen dần với kĩ năng biến đổi.
Vậy A=[tex]\sqrt{3}-1+2\sqrt{3}+1=3\sqrt{3}[/tex]
2. Rút gọn : [tex]A=\sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{5-2\sqrt{6}}[/tex]
Cách 1: Vẫn biến đổi thông thường như câu trên, ta có:
[tex]A=\sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{\sqrt{3}^2+2.\sqrt{3}.\sqrt{2}+\sqrt{2}^2}-\sqrt{\sqrt{3}^2-2.\sqrt{3}.\sqrt{2}+\sqrt{2}^2}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=\sqrt{3}+\sqrt{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{2}[/tex]
Cách 2: Ta có:
[tex]A^2=5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}-2.\sqrt{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}=10-2\sqrt{25-24}=8[/tex]
Ở đây đã sử dụng hằng đẳng thức: [TEX](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/TEX]
=>[tex]A=\sqrt{8}=2\sqrt{2}[/tex] ( bởi vì A>0 do [tex]\sqrt{5+2\sqrt{6}}>\sqrt{5-2\sqrt{6}}[/tex]) , trường hợp ta thấy A<0 thì kết quả sẽ là A = [TEX]-2\sqrt{2}[/TEX]
Như vậy ta có thể thêm một hướng suy nghĩ. Khi thấy 2 biểu thức căn nhân vào với nhau ra dạng hằng đẳng thức [TEX](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/TEX]. Và [TEX]a^2-b^2[/TEX] khai căn đẹp, thì ta có thể nghĩ đến bình phương A lên để rút gọn.
3. Rút gon: [tex]A=\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}[/tex]
Biểu thức chứa x cần đặt ĐKXĐ:
[tex]\left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ x+2+2\sqrt{x+1}\geq 0\\ x+2-2\sqrt{x+1}\geq 0 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ (\sqrt{x+1}+1)^2\geq 0\\ (\sqrt{x+1}-1)^2\geq 0 \end{matrix}\right. <=>x\geq -1[/tex]
Như vậy ta có:
[tex]A=\sqrt{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x+1}-1)^2}=\sqrt{x+1}+1+|\sqrt{x+1}-1|[/tex]
Để phá được trị tuyệt đối ta phải xét 2 trường hợp:
1. [tex]\sqrt{x+1}-1\geq 0<=>x\geq 0[/tex] thì A=[TEX]\sqrt{x+1}+1+\sqrt{x+1}-1=2\sqrt{x+1}[/TEX]
2. [tex]\sqrt{x+1}-1<0<=>-1\leq x<0[/tex] thì A= [TEX]\sqrt{x+1}+1-\sqrt{x+1}+1=2[/TEX]
Vậy kết luận [tex]A=\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x+1}(x\geq 0)\\ 2(-1\leq x<0) \end{matrix}\right.[/tex]
Ở bài này các bạn cũng có thể nghĩ đến cách tính [TEX]A^2[/TEX] như bài tập 2, hãy thử xem sao!
1. [tex]\sqrt{A}[/tex] có nghĩa khi [tex]A\geq 0[/tex]. Do vậy với các bài toán biến đổi biểu thức có chứa biến ( thường là biến x) thì ta phải đặt điều kiện để biểu thức căn có nghĩa, trước khi làm.
2. Phép khiai phương của một tích, thương:
[tex]\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}(A,B\geq 0)[/tex]
Chúng ta cần phải đặt điều kiện vì nếu A<0, B<0, ta vẫn có A.B>0, tức [TEX]\sqrt{A.B}[/TEX] tồn tại, tuy nhiên [TEX]\sqrt{A},\sqrt{B}[/TEX] lại không tồn tại vì A,B <0.
Tương tự với khai phương của một thương:
[tex]\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}(A\geq 0,B> 0)[/tex]
B không bằng 0 vì mẫu số thì không thể bằng 0.
3. Để có thể khai căn được biểu thức nằm dưới dấu căn, ta phải sử dụng đẳng thức sau:
[tex]\sqrt{A^2}=|A|=\left\{\begin{matrix} A(A\geq 0)\\ -A(A< 0) \end{matrix}\right.[/tex]
Do vậy, mục tiêu là phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn thành một bình phương để khai căn được. 2 hằng đẳng thức rất quen thuộc để biến đổi:
[TEX]a^2+2ab+b^2=(a+b)^2[/TEX]
[TEX]a^2-2ab+b^2=(a-b)^2[/TEX]
Đây là dạng cơ bản, chúng ta biến đổi phù hợp với từng bài toán, chứ không phải lúc nào nó cũng tường minh dễ nhìn như vậy. Ví dụ như: [tex]a+2\sqrt{a}.\sqrt{b}+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 (a,b\geq 0)[/tex]
Vân dụng:
1. Rút gọn: [tex]A=\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{13+4\sqrt{3}}[/tex]
Ta phải đưa các biểu thức dưới căn về các bình phương:
[tex]\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}^2-2.\sqrt{3}.1+1^2)}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=|\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1[/tex]
Để so sánh [TEX]\sqrt{3}[/TEX] và 1 thì có thể bấm máy tính. Hoặc sử dụng : [tex]A\geq B\geq 0<=>\sqrt{A}\geq \sqrt{B}[/tex]
Với [tex]\sqrt{13+4\sqrt{3}}[/tex], nếu ta nhìn theo hướng: [tex]13+2.2.\sqrt{3}=2^2+2.2.\sqrt{3}+3+6=(\sqrt{3}+2)^2+6[/tex] thì rõ ràng lẻ ra số 6 không thể biến đổi để rút gọn được tiếp. Tuy nhiên nếu nhìn theo 1 hướng khác:
[tex]\sqrt{13+4\sqrt{3}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2.2\sqrt{3}.1+1}=\sqrt{(2\sqrt{3}+1)^2}=2\sqrt{3}+1[/tex]
Như vậy, ngoài thuộc HĐT thì chúng ta cần phải biến đổi linh hoạt, nếu cách biến đổi này không được thì thử chọn cách khác. Sau một thời gian làm bài tập các bạn sẽ quen dần với kĩ năng biến đổi.
Vậy A=[tex]\sqrt{3}-1+2\sqrt{3}+1=3\sqrt{3}[/tex]
2. Rút gọn : [tex]A=\sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{5-2\sqrt{6}}[/tex]
Cách 1: Vẫn biến đổi thông thường như câu trên, ta có:
[tex]A=\sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{\sqrt{3}^2+2.\sqrt{3}.\sqrt{2}+\sqrt{2}^2}-\sqrt{\sqrt{3}^2-2.\sqrt{3}.\sqrt{2}+\sqrt{2}^2}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=\sqrt{3}+\sqrt{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{2}[/tex]
Cách 2: Ta có:
[tex]A^2=5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}-2.\sqrt{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}=10-2\sqrt{25-24}=8[/tex]
Ở đây đã sử dụng hằng đẳng thức: [TEX](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/TEX]
=>[tex]A=\sqrt{8}=2\sqrt{2}[/tex] ( bởi vì A>0 do [tex]\sqrt{5+2\sqrt{6}}>\sqrt{5-2\sqrt{6}}[/tex]) , trường hợp ta thấy A<0 thì kết quả sẽ là A = [TEX]-2\sqrt{2}[/TEX]
Như vậy ta có thể thêm một hướng suy nghĩ. Khi thấy 2 biểu thức căn nhân vào với nhau ra dạng hằng đẳng thức [TEX](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/TEX]. Và [TEX]a^2-b^2[/TEX] khai căn đẹp, thì ta có thể nghĩ đến bình phương A lên để rút gọn.
3. Rút gon: [tex]A=\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}[/tex]
Biểu thức chứa x cần đặt ĐKXĐ:
[tex]\left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ x+2+2\sqrt{x+1}\geq 0\\ x+2-2\sqrt{x+1}\geq 0 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ (\sqrt{x+1}+1)^2\geq 0\\ (\sqrt{x+1}-1)^2\geq 0 \end{matrix}\right. <=>x\geq -1[/tex]
Như vậy ta có:
[tex]A=\sqrt{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x+1}-1)^2}=\sqrt{x+1}+1+|\sqrt{x+1}-1|[/tex]
Để phá được trị tuyệt đối ta phải xét 2 trường hợp:
1. [tex]\sqrt{x+1}-1\geq 0<=>x\geq 0[/tex] thì A=[TEX]\sqrt{x+1}+1+\sqrt{x+1}-1=2\sqrt{x+1}[/TEX]
2. [tex]\sqrt{x+1}-1<0<=>-1\leq x<0[/tex] thì A= [TEX]\sqrt{x+1}+1-\sqrt{x+1}+1=2[/TEX]
Vậy kết luận [tex]A=\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x+1}(x\geq 0)\\ 2(-1\leq x<0) \end{matrix}\right.[/tex]
Ở bài này các bạn cũng có thể nghĩ đến cách tính [TEX]A^2[/TEX] như bài tập 2, hãy thử xem sao!
