[Ôn ĐH-Toán] Giải hệ đối xứng

[petun12a2lg3]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[sam_chuoi]

Umbala

Đk:x,y>2. Lấy pt(1)-pt(2). Trong trường hợp x=y mình tìm được x=y=3(tm). Trường hợp còn lại đang thử đánh giá nó vô nghiệm, nếu không thấy hồi âm thì lĩnh giáo cao thủ khác nhá.

 

[conga222222]

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
3\sqrt {x - 2} + \sqrt[3]{{2y + 2}} = 5\;\;(1)\\
3\sqrt {y - 2} + \sqrt[3]{{2x + 2}} = 5\;\;(2)
\end{array} \right.\\
dk:\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
y \ge 2
\end{array} \right.\\
(1) - (2) = 3\left( {\sqrt {x - 2} - \sqrt {y - 2} } \right) + \sqrt[3]{{2y + 2}} - \sqrt[3]{{2x + 2}} = 0\\
\leftrightarrow \frac{{3x - 6 - 3y + 6}}{{\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 2} }} + \frac{{2y + 2 - 2x - 2}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {2y + 2} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {2y + 2} \right)\left( {2x + 2} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {2x + 2} \right)}^2}}}}} = 0\\
\leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {\frac{3}{{\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 2} }} - \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{\left( {2y + 2} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {2y + 2} \right)\left( {2x + 2} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {2x + 2} \right)}^2}}}}}} \right) = 0\\
\leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\;\;(*)\\
S = 3\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {2y + 2} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {2y + 2} \right)\left( {2x + 2} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {2x + 2} \right)}^2}}}} \right) - 2\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 2} } \right) = 0\;\;(**)
\end{array} \right.\\
do:\;x \ge 2\;y \ge 2\\
\to 3\sqrt[3]{{\left( {2y + 2} \right)\left( {2x + 2} \right)}} \ge 3\sqrt[3]{{36}} > 6\\
\cos i:\\
3\sqrt[3]{{{{\left( {2y + 2} \right)}^2}}} + 1 = \sqrt[3]{{{{\left( {2y + 2} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {2y + 2} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {2y + 2} \right)}^2}}} + 1 \ge 4\sqrt[4]{{{{\left( {2y + 2} \right)}^2}}} = 4\sqrt {2y + 2} > 4\sqrt {y + 2} \\
3\sqrt[3]{{{{\left( {2x + 2} \right)}^2}}} + 1 > 4\sqrt {x + 2} \\
\to S = 3\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {2y + 2} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {2y + 2} \right)\left( {2x + 2} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {2x + 2} \right)}^2}}}} \right) - 2\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 2} } \right) > 4 + 4\sqrt {y + 2} + 4\sqrt {x + 2} - 2\sqrt {x - 2} - 2\sqrt {y - 2} \\
neu:\left\{ \begin{array}{l}
2 \le x \le 3\\
2 \le y \le 3
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
- \sqrt {x - 2} \ge - 1\\
- \sqrt {y - 2} \ge - 1
\end{array} \right. \to S > 0\\
neu:\left\{ \begin{array}{l}
x > 3 \to x + 2 > x - 2 > 1 \to \sqrt {x + 2} > \sqrt {x - 2} \\
y > 3 \to y + 2 > y - 2 > 1 \to \sqrt {y + 2} > \sqrt {y - 2}
\end{array} \right. \to S > 0\\
con\;hai\;truong\;hop\;nua\;tuong\;tu\; \to S > 0\\
\to phuong\;trinh\;vo\;nghiem\\
(*)x = y\\
\leftrightarrow ....
\end{array}$
sao không gõ công thức toán cho dễ mà phải chụp ảnh up lên thế

 

[phucanh1995]

DK: x\geq2 y\geq2
Tru ve voi ve [TEX] \Leftrightarrow 3sqrt{x-2} - \sqrt[3]{2x+2}=3sqrt{y-2} - \sqrt[3]{2y+2}[/TEX]
Xét hàm [TEX]F(t)= 3sqrt{t-2} - \sqrt[3]{2t+2},t\geq2[/TEX]
[TEX]F'(t)=\frac{3}{2sqrt{t-2}}-\frac{2}{3 \sqrt[3]{(2t+2)^2}}[/TEX]
Giả sử:
[TEX]\frac{3}{2sqrt{t-2}}>\frac{2}{3 \sqrt[3]{(2t+2)^2}} \Leftrightarrow 9\sqrt[3]{(2t+2)^2}>4sqrt{t-2}\Leftrightarrow 9^6(2t+2)^4>4^6.(t-2)^3 [/tex] điều này luôn đúng với mọi t>2
\Rightarrow F'(t) > 0 \Rightarrow F(t) đồng biến \Rightarrow F(x)=F(y)\Leftrightarrow x=y
_x=y PT \Leftrightarrow [TEX] 3sqrt{x-2} + \sqrt[3]{2x+2}=5[/TEX]

[TEX]+x=3 [/TEX]
\Leftrightarrow 3+2=5 \Rightarrow x=3 la nghiem cua pt

[TEX]+x>3 \Rightarrow \left{\begin{3sqrt{x-2}>3}\\{\sqrt[3]{2x+2}>2} \Rightarrow VT>5[/TEX]
vô nghiệm

[TEX]+ 2 \leq x<3 \Rightarrow \left{\begin{3sqrt{x-2}<3}\\{\sqrt[3]{2x+2}<2} \Rightarrow VT<5[/TEX]
vô nghiệm

\Rightarrow x=y=3 là nghiệm của hpt