ôn BĐT vào lớp 10

[vansang95]

[tex]a,b,c[/tex] dương. Chứng minh

[tex]\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b} +\frac{8abc}{(a+b)(a+c)(b+c)} \ge 4[/tex]

Hình như nó là thế này:
[tex]\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b} +\frac{(a+b)(a+c)(b+c}{8abc} \ge 4[/tex]

Chơi thẳng AM-MG ta có:
[tex]\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b} +\frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{8abc} \ge 4.\sqrt[4]{\frac{(a+b)(a+c)(c+b)}{8abc}} = 4 [/tex]
Vì (a+b)(b+a)(c+b)\geq8abc

 

[rua_it]

lại tiếp tục nha mọi ng`!!có người kêu những bài mình post quá dễ nên mình sẽ nâng cấp hơn(mình nghĩ những bài sau đây là khó)

[TEX]1)a,b,c>0 ,CM \sum{\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}}\ge 2[/TEX]

để đảm bảo những bài đc đăng lên đc nhìn từ nhiều góc độ,mình hi vọng ai có bài j thì post lên cho mọi người cùng làm,1 phần chia sẻ nhiệm vụ đăng bài với mình,1 phần là để mọi người đc làm nhiều bài hơn. cảm ơn mọi người.

[tex] 2.\sqrt{\frac{a^2+bc}{a.(b+c)}} \leq \frac{a^2+bc}{a.(b+c)}+1(AM-GM)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 2.\sqrt{\frac{a^2+bc}{a.(b+c)}} \leq \frac{a^2+bc+a(b+c)}{a.(b+c)}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a^2+bc}{a.(b+c)}} \leq \frac{(a+b)(a+c)}{2.a.(b+c)}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}} \geq \frac{2a.(b+c)}{(a+b)(a+c)}[/tex]

Xây dựng các bdt khác hoàn toàn tương tự, cộng lại:

[tex]\Rightarrow \sum_{cyc} \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}} \geq \sum_{cyc}\frac{2.(b+c)}{(a+b)(a+c)} \geq 2[/tex]

 

[bigbang195]

[tex]\Rightarrow \sum_{cyc} \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}} \geq \sum_{cyc}\frac{2.(b+c)}{(a+b)(a+c)} \geq 2[/tex]

Chỗ này anh ghi thiếu

[TEX]=\sum_{cyc}\frac{2.a(b+c)}{(a+b)(a+c)}=\frac{\sum 2a(b+c)^2}{\prod (a+b)}=2+\frac{4abc}{\prod (a+b)} \ge 2[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

Ôn thi vào lớp 10 mà đứa mấy bài đi thi thế giới là chết rồi bài vừa giải ở trên là của Vasile..

Del nó và lập cái mới đơn giản và nhẹ hơp đi , hợp lí

Ở đây tôi cần tính cộng đồng , nếu muốn cho khó thì cứ đưa vào Namtuocvva
__________________

đáp ứng yêu cầu của anh vodichhocmai,e sẽ sửa post lại 5 bài cho mọi ng` cùng làm

[TEX]1)a,b>0,ab+b+a=3;CM.......\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+}+\frac{ab}{a+b}\le a^2+b^2+\frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]2)a,b,c>0,CM a^2+b^2+c^2+abc+4\ge 2(ab+bc+ca)[/TEX]

[TEX]3)a,b,c,d>0,CM.....\sum{\frac{1}{11+a^2}}\le \frac{1}{3}[/TEX]

[TEX]4)a,b,c>0,a^2+b^2+c^2=3,CM.....9\ge a^3+b^3+c^3+2(ab+bc+ca)[/TEX]

[TEX]5)a,b,c>0,abc=1,CM........\sum{\frac{a}{b}}\ge \sum{a}[/TEX]

P/S mấy bài trên kia,ai làm đc thì cứ làm.
Tuần này mình bận thi nên sẽ ít quan tâm tới topic đc,mong mọi ng` thông cảm,sau tuần này,mọi việc sẽ đc trở lại như bt

 

[dandoh221]

2. giả sử [tex](b-2)(c-2) \ge 0[/tex]
[tex]VT - VP = (a-2)^2 +a(b-2)(c-2) + (b-c)^2 \ge 0[/tex]

 

[quyenuy0241]

đáp ứng yêu cầu của anh vodichhocmai,e sẽ sửa post lại 5 bài cho mọi ng` cùng làm

[

[TEX]5)a,b,c>0,abc=1,CM........\sum{\frac{a}{b}}\ge \sum{a}[/TEX]

[tex]\sum{\frac{a}{b} \ge \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=a+b+c[/tex]

 

[bigbang195]

đáp ứng yêu cầu của anh vodichhocmai,e sẽ sửa post lại 5 bài cho mọi ng` cùng làm

[TEX]1)a,b>0,ab+b+a=3;CM.......\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+}+\frac{ab}{a+b}\le a^2+b^2+\frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]2)a,b,c>0,CM a^2+b^2+c^2+abc+4\ge 2(ab+bc+ca)[/TEX]

[TEX]3)a,b,c,d>0,CM.....\sum{\frac{1}{11+a^2}}\le \frac{1}{3}[/TEX]

[TEX]4)a,b,c>0,a^2+b^2+c^2=3,CM.....9\ge a^3+b^3+c^3+2(ab+bc+ca)[/TEX]

[TEX]5)a,b,c>0,abc=1,CM........\sum{\frac{a}{b}}\ge \sum{a}[/TEX]

P/S mấy bài trên kia,ai làm đc thì cứ làm.
Tuần này mình bận thi nên sẽ ít quan tâm tới topic đc,mong mọi ng` thông cảm,sau tuần này,mọi việc sẽ đc trở lại như bt

Bài 1 : xem ở đây http://ddbdt.tk/forum/ba-t-ae-ng-tha-c-chae-ca-la-oei-gia-i-thcs/170-gia-p-em-ma-y-ba-i-na-y.html
Bài 2 http://ddbdt.tk/forum/ba-t-ae-ng-tha-c-sa-ng-ta-o-thcs/353-easy.html

bài 3 . Nhìn là biết sai

cho [TEX]a,b,c,d \to 0 [/TEX]thì

[TEX]VT \to \frac{4}{11} \ge \frac{1}{3}[/TEX]

Bài 4 :

[TEX]18=(a^2+b^2+c^2)^2+a^2+b^2+c^2+6 \ge 2(a^3+b^3+c^3)+4(ab+bc+ac)[/TEX]

đúng theo AM-GM

 

[kukumalu_2010]

mi`k có mấy pài BĐT ni nèk..........
1.Cho [TEX]n\in Z*[/TEX] ,[TEX]a \geq -1[/TEX].CMR:[TEX](1+a)^n \geq 1+na[/TEX]
2.Cho [TEX]n\in N*[/TEX] .CMR : [TEX](1+\frac{1}{n+1})^{n+1}[/TEX] > [TEX](1+\frac{1}{n})^n[/TEX]
3.Cho các số nguyên dương a,b,c.CMR:
[TEX]a^{\frac{a}{a+b+c}} [/TEX].[TEX]b^{\frac{b}{a+b+c} }[/TEX].[TEX] c^{\frac{c}{a+b+c}} [/TEX] \geq [TEX]\frac{a+b+c}{3}[/TEX]
4.Cho a,b,c,d>0 và [TEX] \frac{1}{a+1}[/TEX] +[TEX] \frac{1}{b+1}[/TEX] +[TEX] \frac{1}{c+1}[/TEX] +[TEX] \frac{1}{d+1}[/TEX] \geq 3. CMR: [TEX]abcd \leq \frac{1}{81}[/TEX]

 

[bigbang195]

mi`k có mấy pài BĐT ni nèk..........
1.Cho [TEX]n\in Z*[/TEX] ,[TEX]a \geq -1[/TEX].CMR:[TEX](1+a)^n \geq 1+na[/TEX]
2.Cho [TEX]n\in N*[/TEX] .CMR : [TEX](1+\frac{1}{n+1})^{n+1}[/TEX] > [TEX](1+\frac{1}{n})^n[/TEX]
3.Cho các số nguyên dương a,b,c.CMR:
[TEX]a^{\frac{a}{a+b+c}} [/TEX].[TEX]b^{\frac{b}{a+b+c} }[/TEX].[TEX] c^{\frac{c}{a+b+c}} [/TEX] \geq [TEX]\frac{a+b+c}{3}[/TEX]
4.Cho a,b,c,d>0 và [TEX] \frac{1}{a+1}[/TEX] +[TEX] \frac{1}{b+1}[/TEX] +[TEX] \frac{1}{c+1}[/TEX] +[TEX] \frac{1}{d+1}[/TEX] \geq 3. CMR: [TEX]abcd \leq \frac{1}{81}[/TEX]

http://vi.wikipedia.org/wiki/Bất_đẳng_thức_Bernoulli 1 cách chứng minh bằng quy nạp khá hay

 

[son_9f_ltv]

4.Cho a,b,c,d>0 và [TEX] \frac{1}{a+1}[/TEX] +[TEX] \frac{1}{b+1}[/TEX] +[TEX] \frac{1}{c+1}[/TEX] +[TEX] \frac{1}{d+1}[/TEX] \geq 3. CMR: [TEX]abcd \leq \frac{1}{81}[/TEX]

có
[TEX]VT\ge \frac{16}{a+b+c+d+4}\ge 3[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\frac{4}{3}\ge 4\sqrt[4]{abcd}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\frac{1}{81}\ge abcd[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

3.Cho các số nguyên dương a,b,c.CMR:
[TEX]a^{\frac{a}{a+b+c}} [/TEX].[TEX]b^{\frac{b}{a+b+c} }[/TEX].[TEX] c^{\frac{c}{a+b+c}} [/TEX] \geq [TEX]\frac{a+b+c}{3}[/TEX]

nếu bài 3 theo bạn là đúng thì bạn thử vs a=1,b=2,c=3 nha

 

[kukumalu_2010]

nếu bài 3 theo bạn là đúng thì bạn thử vs a=1,b=2,c=3 nha

vs a=1,b=2,c=3 như bn nói thì VT=2.182247272...........Mà VP =6/3=2
\RightarrowVt >= Vp

 

[son_9f_ltv]

vs a=1,b=2,c=3 như bn nói thì VT=2.182247272...........Mà VP =6/3=2
\RightarrowVt >= Vp

bạn viết lại đề đi,khó nhìn quá.chắc mình nhìn sai đề oy!

 

[bigbang195]

Đề là [TEX]a[/TEX] mũ [TEX](\frac{a}{a+b+c}) [/TEX].b mũ....
khó ghê

 

[kukumalu_2010]

pài 3 nì :áp dụng AM-GM ta có VT \geq [tex] \sqrt[a+b+c]{a^a.b^b.c^c}[/tex](1)
Lại có : 3= [tex]\frac{1}{a}[/tex]+ [tex]\frac{1}{a}[/tex]+... +[tex]\frac{1}{a}[/tex]+ [tex]\frac{1}{b}[/tex]+ [tex]\frac{1}{b}[/tex]+.....+ [tex]\frac{1}{b}[/tex]+ [tex]\frac{1}{c}[/tex]+ [tex]\frac{1}{c}[/tex]+...+ [tex]\frac{1}{c}[/tex]\geq (a+b+c).[tex] \sqrt[a+b+c]{\frac{1}{a^a.b^b.c^c}}[/tex]
\Leftrightarrow [tex]\frac{3}{a+b+c}[/tex] \geq [tex] \sqrt[a+b+c]{\frac{1}{a^a.b^b.c^c}}[/tex]
\Leftrightarrow [tex]\frac{a+b+c}{3}[/tex]\leq[tex] \sqrt[a+b+c]{a^a.b^b.c^c}[/tex](2)
Từ (1) và(2) suy ra đfcm
Đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow a=b=c=1
có đúng k nhỉ............mong các bn góp ý.........^^..........

 

[ngojsaoleloj8814974]

2.Cho [TEX]n\in N*[/TEX] .CMR :
[TEX](1+\frac{1}{n+1})^{n+1}>(1+\frac{1}{n})^n[/TEX]

Áp dụng BĐT cosi ta được:
[TEX]1+(1+\frac{1}{n})+(1+\frac{1}{n})+.....+(1+\frac{1}{n}) >( n+1) \sqrt[n+1]{(1+\frac{1}{n})^n}[/TEX]
( ở vế trái có tất cả [TEX]1+\frac{1}{n}[/TEX] hạng tử và dấu đẳng thức ko xảy ra)
[TEX]\Rightarrow n+2>(n+1) \sqrt[n+1]{(1+\frac{1}{n})^n}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 1+\frac{1}{n+1} > \sqrt[n+1]{(1+\frac{1}{n})^n}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} > (1+\frac{1}{n})^n[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

hjx!!sau 1 tuần bận thi cử nên mình chưa có time để post bài,h mình sẽ post tiếp!!

[TEX]1)x,y,z>0...x+y+z=1...CM.......\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}>14[/TEX]

[TEX]2)x\ge 1....y\ge 1.....CM......\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \ge \frac{2}{1+xy}[/TEX]

[TEX]3)min......\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}[/TEX]
với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác!

[TEX]4)x\in R ,x^2+(3-x)^2\ge 5[/TEX]

[TEX]min........... P=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2[/TEX]

[TEX]5)min..Q=\frac{1}{2}(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2})+\frac{1}{4}(x^{16}+y^{16})-(1+x^2y^2)^2[/TEX] (đề thi tuyển vào lớp 10 chuyên toán ĐHKHTN,ĐHQG Hà Nội năm 2004-2005,vòng 1

P/S ai có bài nào post lên cho mọi ng` cùng làm nha!!!thank!

 

[ngojsaoleloj8814974]

hjx!!sau 1 tuần bận thi cử nên mình chưa có time để post bài,h mình sẽ post tiếp!!
[TEX]1)x,y,z>0......CM.......\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}>14[/TEX]
[TEX]3)min......\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}[/TEX]
với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác!
P/S ai có bài nào post lên cho mọi ng` cùng làm nha!!!thank!

Cái bài 1 hình như bn ghi thiếu ĐK rồi

bài 3,
[TEX]A=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}(1)[/TEX]

Đặt b+c-a=2x; a+c-b=2y; a+b-c=2z:
[TEX](1)\Rightarrow A=\frac{4y+4z}{2x}+\frac{9z+9x}{2y}+\frac{16x+16y}{2z}[/TEX]
[TEX]=\frac{2y}{x}+\frac{2z}{x}+\frac{9z}{2y}+\frac{9x}{2y}+\frac{8x}{z}+\frac{8y}{z}[/TEX]
[TEX]=(\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y})+(\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z})+(\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{2z})[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A \geq 6+8+12=26[/TEX] (Theo BĐT cô si )
Dấu "=" xảy ra khi 3z=4y=6x

 

[quyenuy0241]

Bài này có lẽ phù hợp với các bạn !!!
Với a,b,c>0

[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{9b}{a+c}+\frac{25c}{a+c} \ge \frac{11}{2}[/tex]

 

[son_9f_ltv]

Bài này có lẽ phù hợp với các bạn !!!
Với a,b,c>0

[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{9b}{a+c}+\frac{25c}{a+c} \ge \frac{11}{2}[/tex]

\Leftrightarrow [TEX]\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{9(a+b+c)}{a+c}+\frac{25(a+b+c)}{a+b}\ge \frac{81}{2}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{9}{a+c}+\frac{25}{a+b})\ge \frac{81}{2}[/TEX]

[TEX]VT \ge (a+b+c)\frac{(1+3+5)^2}{2(a+b+c)} = \frac{81}{2}.........dpcm[/TEX]