ôn BĐT vào lớp 10

[son_9f_ltv]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

mình thấy hầu hết các kì thi vào lớp 10 dù chuyên hay ko chuyên thì cũng đều có bài BĐT nên mình lập topic này để giúp mọi ng` có phần nào ôn thêm BĐT,mình sẽ cố gắng post 5 bài/lần từ dễ đến khó dần

đầu tiên là 5 bài BĐT áp dụng AM-GM

[TEX]1)a,b,c>0,CM \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}[/TEX]
(khá dễ)^^

[TEX]2)a,b,c,d\ge 0,CM \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge 2[/TEX]

[TEX]3)a,b,c>0,abc=1,CM \frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+ \frac{z^3}{(1+x)(1+y)}\ge \frac{3}{4}[/TEX]

[TEX]4)a,b,c>0,CM \frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}\ge \frac{27}{2(a+b+c)^2}[/TEX]

[TEX]5)x,y,z>0,x^2+y^2+z^2=3,CM\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge 3[/TEX]

mong mọi ng` ủng hộ để topic sôi nổi hơn!!

 

[rua_it]

đầu tiên là 5 bài BĐT áp dụng AM-GM


[TEX]3)a,b,c>0,abc=1,CM \frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+ \frac{z^3}{(1+x)(1+y)}\ge \frac{3}{4}[/TEX]

mong mọi ng` ủng hộ để topic sôi nổi hơn!!

[tex]Am-Gm \Rightarrow \frac{x^3}{(1+y)(1+z)} +\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8} \geq 3.\sqrt[3]{ \frac{x^3}{(1+y)(1+z)}.\frac{1+y}{8}.\frac{1+z}{8}}=\frac{3}{4}.x[/tex]

Xây dựng bài toán tương tự:

[tex]\frac{y^3}{(1+x)(1+z)} +\frac{1+x}{8}+\frac{1+z}{8} \geq 3.\sqrt[3]{ \frac{y^3}{(1+x)(1+z)}.\frac{1+x}{8}.\frac{1+z}{8}}=\frac{3}{4}.y[/tex]

[tex]\frac{z^3}{(1+x)(1+y)} +\frac{1+y}{8}+\frac{1+x}{8} \geq 3.\sqrt[3]{ \frac{x^3}{(1+y)(1+x)}.\frac{1+y}{8}.\frac{1+x}{8}}=\frac{3}{4}.z[/tex]

Cộng theo vế, ta có:

[tex]LHS:=\sum_{cyclic} \frac{y^3}{(1+x)(1+z)} \geq \frac{3}{4}.(x+y+z)-\frac{6+3.(x+y+z)}{8} \geq \frac{3}{4}=RHS[/tex]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]x=y=z=1[/tex]

Góp 1 bài

 

[duynhan1]

mình thấy hầu hết các kì thi vào lớp 10 dù chuyên hay ko chuyên thì cũng đều có bài BĐT nên mình lập topic này để giúp mọi ng` có phần nào ôn thêm BĐT,mình sẽ cố gắng post 5 bài/lần từ dễ đến khó dần

[TEX]2)a,b,c,d\ge 0,CM \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge 2[/TEX]

mong mọi ng` ủng hộ để topic sôi nổi hơn!!

[TEX]S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} [/TEX]

[TEX]M=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b}[/TEX]

[TEX]N=\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow M+N=4[/TEX]

[TEX]M+S =\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+ \frac{d+a}{a+b} \geq 4 [/TEX]

[TEX]N+S= (a+c)(\frac{1}{b+c} +\frac{1}{d+a}) + (b+d)(\frac{1}{c+d} +\frac{1}{a+b}) \geq (a+b+c+d).\frac{4}{a+b+c+d} =4 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow2S\geq4 \Leftrightarrow S\geq2[/TEX]

 

[duynhan1]

mình thấy hầu hết các kì thi vào lớp 10 dù chuyên hay ko chuyên thì cũng đều có bài BĐT nên mình lập topic này để giúp mọi ng` có phần nào ôn thêm BĐT,mình sẽ cố gắng post 5 bài/lần từ dễ đến khó dần

đầu tiên là 5 bài BĐT áp dụng AM-GM

[TEX]5)x,y,z>0,x^2+y^2+z^2=3,CM\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge 3[/TEX]

mong mọi ng` ủng hộ để topic sôi nổi hơn!!

[TEX]5)x,y,z>0,x^2+y^2+z^2=3,CM\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge 3[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2y^2+ y^2z^2+z^2x^2 \geq 3xyz[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3 \sqrt[3]{(xyz)^2} \geq 3 xyz[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow xyz\leq1[/TEX] (luôn đúng do [TEX]x,y,z>0,x^2+y^2+z^2=3 \Rightarrow xyz\leq 1 [/TEX])

 

[rua_it]

[TEX]4)a,b,c>0,CM \frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}\ge \frac{27}{2(a+b+c)^2}[/TEX]

[tex] Note:\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{9}{x+y+z}[/tex]

[tex]\Rightarrow LHS:=\sum_{cyc} \frac{1}{a.(a+b)} \geq \frac{9}{a.(a+b)+b.(b+c)+c.(c+a)}[/tex]

[tex]=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca} \geq \frac{9}{2.(a^2+b^2+c^2)} \geq \frac{27}{2.(a+b+c)^2}(dpcm)[/tex]

Do [tex] (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \geq 3.(ab+bc+ca)[/tex]

Hoặc có thể giải bằng cách AM-GM trực tiếp LHS.

 

[quyenuy0241]

mình thấy hầu hết các kì thi vào lớp 10 dù chuyên hay ko chuyên thì cũng đều có bài BĐT nên mình lập topic này để giúp mọi ng` có phần nào ôn thêm BĐT,mình sẽ cố gắng post 5 bài/lần từ dễ đến khó dần


[TEX]5)x,y,z>0,x^2+y^2+z^2=3,CM\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge 3[/TEX]

mong mọi ng` ủng hộ để topic sôi nổi hơn!!

Áp dụng
[tex](a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ac) = 3 [/tex]

với

[tex]a=\frac{xy}{z},,b=\frac{yz}{x},,c=\frac{xz}{y}[/tex]

 

[duynhan1]

[tex] [tex]=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca} \geq \frac{9}{2.(a^2+b^2+c^2)} \geq \frac{27}{2.(a+b+c)^2}(dpcm)[/tex]

[TEX]3(a^2+b^2+c^c)\geq (a+b+c)^2 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)} \leq \frac{27}{2(a+b+c)^2}[/TEX]

:-/:-/:-/:-/:-/:-/

 

[rua_it]

[TEX]2)a,b,c,d\ge 0,CM \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge 2[/TEX]

Theo bdt schwarz, ta được

[tex]LHS:=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+ \frac{d}{a+b}[/tex]

[tex]=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ca}+\frac{d^2}{da+db}[/tex]

[tex] \geq \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+ac+bc+bd+cd+ca+da+db}[/tex]

Cần chứng minh [tex]2.(\sum_{sym} ab+ac+bd) \leq (a+b+c+d)^2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2.(ab+bc+cd+ac+bd) \geq 2.(\sum_{sym} ab+ac+bd)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (a-c)^2+(b-d)^2 \geq 0[/tex]

[TEX]3(a^2+b^2+c^c)\geq (a+b+c)^2 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)} \leq \frac{27}{2(a+b+c)^2}[/TEX]

Sr.

 

[son_9f_ltv]

cảm ơn mọi ng đã ủng hộ,sau đây mình sẽ post tiếp để mọi người cùng làm và hi vọng topic sẽ hoạt động lâu dài và có ích hơn!
[TEX]1)a,b,c>0,CM \frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le \frac{1}{abc}[/TEX]

[TEX]2)x,y,z>0,xyz=1,CM\frac{xy}{x^5+xy+y^5}+\frac{yz}{y^5+yz+z^5}+\frac{zx}{z^5+zx+x^5}\le 1[/TEX]

[TEX]3)x,y,z>0,CM(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x}\ge 2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}[/TEX]

[TEX]4)a,b,c,d\ge 0,min \frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c}[/TEX]

[TEX]5)a,b,c>0,CM 16(abc+bcd+cda+dab)\le (a+b+c+d)^4[/TEX]

mọng box sẽ có nhiều người ghé thăm và xây dựng hơn!!

 

[rua_it]

[tex]Note:a^5+b^5 \geq a^2b^2.(a+b)[/tex]

[tex]\Rightarrow \sum_{cyc} \frac{ab}{a^5+b^5+ab} \geq \sum_{cyc} \frac{ab}{a^2b^2.(a+b)+ab}[/tex]

[tex]=\sum_{cyc} \frac{ab}{ab.[ab.(a+b)+1]}=\sum_{cyc} \frac{1}{ab.(a+b)+1}[/tex]

[tex]=\sum_{cyc} \frac{abc}{ab.(a+b)+abc}=\sum_{cyc} \frac{c}{a+b+c}=1[/tex]

 

[son_9f_ltv]

chém bài 1

xét mẫu ta có

[TEX]a^3+b^3+abc\ge ab(a+b)+abc=ab(a+b+c)[/TEX]

\Rightarrow[TEX]LHS\le \sum{\frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{1}{a+b+c} \sum{ \frac{1}{ab}=\frac{1}{abc}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]dpcm[/TEX]

 

[minhkhac_94]

Bài 4

[TEX]Dat: \\ P = \sum {\frac{a}{{b + 2c + 3d}}} = \sum {\frac{{a^2 }}{{ab + 2ac + 3ad}}} \\ Ap.dung,Cauch{\rm{y - swcharz co:}} \\ {\rm{P}} \ge \frac{{{\rm{(a + b + c + d)}}^{\rm{2}} }}{{{\rm{4(ab + ac + ad + bc + bd + cd)}}}} \\ ma:3(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ) \ge 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) \\ = > {\rm{(a + b + c + d)}}^{\rm{2}} \ge \frac{8}{3}(ab + ac + ad + bc + bd + cd) \\ = > P \ge \frac{2}{3} \\ Dau = xay,ra:a = b = c = d \\ [/TEX]

 

[son_9f_ltv]

cảm ơn mọi ng đã ủng hộ,sau đây mình sẽ post tiếp để mọi người cùng làm và hi vọng topic sẽ hoạt động lâu dài và có ích hơn!

[TEX]1)x,y,z>0,CM(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x}\ge 2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}[/TEX]

[TEX]2)a,b,c>0,CM 16(abc+bcd+cda+dab)\le (a+b+c+d)^4[/TEX]

(2 bài trên chưa ai làm nên mình vẫn để đấy)

[TEX]3)a,b\ge 1CM \frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge \frac{2}{1+ab}[/TEX]

[TEX]4)min \frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16}{a+b-c}[/TEX]
a,b,c là 3 cạnh của tam giác

[TEX]5)(x,y,z\in R) ,x+y+z+xy+yz+zx=6,CM x^2+y^2+z^2\ge 3[/TEX]

 

[ngojsaoleloj8814974]

3,
[TEX]\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\geq\frac{2}{1+ab}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab} \geq 0[/TEX]
Biến đổi tương đương một hồi sẽ ra:
[TEX]\frac{(ab-1)(a-b)^2}{(1+a^2)(1+b^2)(1+ab)}\geq0[/TEX]
(BĐT này luôn luôn đúng vì a,b\geq1)

 

[ngojsaoleloj8814974]

5,
[TEX](x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)+(z^2-2z+1)\geq0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\geq 2x+2y+2z (1)[/TEX]
[TEX](x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2xz+x^2)\geq0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)\geq 2(xy+yz+zx) (2)[/TEX]
Cộng (1);(2) vế theo vế ta được:
[TEX]3(x^2+y^2+z^2)+3\geq 2(xy+yz+zx+x+y+z)=12[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq3[/TEX]

 

[ngojsaoleloj8814974]

4,
[TEX]A=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}(1)[/TEX]

Đặt b+c-a=2x; a+c-b=2y; a+b-c=2z:
[TEX](1)\Rightarrow A=\frac{4y+4z}{2x}+\frac{9z+9x}{2y}+\frac{16x+16y}{2z}[/TEX]
[TEX]=\frac{2y}{x}+\frac{2z}{x}+\frac{9z}{2y}+\frac{9x}{2y}+\frac{8x}{z}+\frac{8y}{z}[/TEX]
[TEX]=(\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y})+(\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z})+(\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{2z})[/TEX]
\Rightarrow A \geq 6+8+12=26 (Theo BĐT cô si )
Dấu "=" xảy ra khi 3z=4y=6x

 

[quyenuy0241]

cảm ơn mọi ng đã ủng hộ,sau đây mình sẽ post tiếp để mọi người cùng làm và hi vọng topic sẽ hoạt động lâu dài và có ích hơn!

[TEX]1)x,y,z>0,CM(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x}\ge 2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}[/TEX]

1.[tex]\Leftrightarrow \frac{x}{y}+ \frac{y}{z}+ \frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y} \ge \frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}[/tex]

[tex]CM:::\frac{x}{y}+ \frac{y}{z}+\frac{z}{x} \ge \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}[/tex]

Cau -chy: [tex]\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z} \ge 3\sqrt[3]{\frac{x^2}{yz}}=\frac{3x}{\sqrt[3]{xyz}}[/tex]

Các BDT khác tương tự!

CM tương tự [tex]\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x} \ge \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}} [/tex]

Cộng vào [tex]Ok --mem[/tex]

 

[quyenuy0241]

cảm ơn mọi ng đã ủng hộ,sau đây mình sẽ post tiếp để mọi người cùng làm và hi vọng topic sẽ hoạt động lâu dài và có ích hơn!


[TEX]2)a,b,c>0,CM 16(abc+bcd+cda+dab)\le (a+b+c+d)^4[/TEX]

Sai đề !!!!
[tex]VT=16bc(b+d)+16ad(c+b) \le 4(b+c)^2(b+d)+4(a+d)^2(c+d) [/tex]

[tex]\le (b+c)(a+b+c+d)^2+(d+a)(a+b+c+d)^2=(a+b+c+d)^3 [/tex]

Note: sử dụng BDt [tex]4xy \le (x+y)^2 [/tex]

 

[bigbang195]

[tex]a,b,c[/tex] dương. Chứng minh

[tex]\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b} +\frac{8abc}{(a+b)(a+c)(b+c)} \ge 4[/tex]

 

[son_9f_ltv]

lại tiếp tục nha mọi ng`!!có người kêu những bài mình post quá dễ nên mình sẽ nâng cấp hơn(mình nghĩ những bài sau đây là khó)

[TEX]1)a,b,c>0 ,CM \sum{\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}}\ge 2[/TEX]

[TEX]2)a,b,c>0,a+b+c=1 ,CM ,\sum{\frac{ab}{\sqrt{ab+bc}}\ge \frac{1}{\sqrt{2}}[/TEX]

[TEX]3)a,b>0,CM (a+b)^2+(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge 8(1+\sqrt{2})[/TEX]

[TEX]4)a,b>0,CM a^b+b^a>1[/TEX]

[TEX]5)a,b,c>0,CM:a^ab^bc^c\ge (abc)\frac{a+b+c}{3}[/TEX]

để đảm bảo những bài đc đăng lên đc nhìn từ nhiều góc độ,mình hi vọng ai có bài j thì post lên cho mọi người cùng làm,1 phần chia sẻ nhiệm vụ đăng bài với mình,1 phần là để mọi người đc làm nhiều bài hơn. cảm ơn mọi người.