Toán 10 [Nhóm tự học] Phương trình. Hệ phương trình

[chaizo1234567]

cau11

4\sqrt[n]{A}(x+2)+\sqrt[n]{A}(22-3x)=x2+8 dk -2\leqx\leq22/3

\Leftrightarrow4(\sqrt[n]{A}(x+2)-2)+\sqrt[n]{A}(22-3x)-4=x2-4
\Leftrightarrow(x-2)(4\sqrt[n]{A}(x+2)+2)+1\sqrt[n]{A}(22-3x)+4)-x-2))=0

nhan thay ve dai luon khac o\Rightarrowx=2

 

[chaizo1234567]

cau 1

$\sqrt{x}+\sqrt{x-5}$=$x^2-5x+7$ dk voi x\geq5
voi x\geq5\RightarrowVT\geq$\sqrt{5}$
VP \geq7
de nhan thay phuong trinh vo nghiem

 

[chaizo1234567]

cau

$\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$=$x^2-6x+11$
dk 2\leqx\leq4
áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương$ \sqrt{x-2} va \sqrt{4-x}$ta có
${\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}}^2$\leq2{x-2+4-x}=4
\Rightarrow VT\leq2
mat khac VP$x^2-6x+11$\leq2
đẳng thưc xảy ra \Leftrightarrowx-2=4-x va x=3
\Leftrightarrow x=3 vay x=3 la 1 nghiệm của phương trình

 

[mitomchuacay_97]

Bài $3.6.\\\\ \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x} = x^2-6x+11$

$\sqrt[2]{x-2}+\sqrt[2]{4-x}=x^2-6x+11$
ĐK: 2\leqx\leq4
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương $\sqrt[2]{x-2}$ và $\sqrt[2]{4-x}$ ta có:
${\sqrt[2]{x-2}+\sqrt[2]{4-x}}^2$\leq$2.{x-2+4-x}=4$
\Rightarrow VT\leq2
Mặt khác $VP=x^2-6x+11$\geq2
Đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow $x-2=4-x$ và $x=3$
\Leftrightarrow $x=3$ vậy $x=3$ là một nghiệm của phương trình.

Chỗ mình bôi xanh mình thấy hình như bạn đã nhầm tên bất đẳng thức mà bạn áp dụng rồi. Đó là bất đẳng thức B.C.S, hay còn gọi là bất đẳng thức Bunhiacopsky, chứ không phải bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân

 

[chaizo1234567]

cau

$2\sqrt{3x+4}+3\sqrt{5x+9}$=$x^2+6x+13$ DK X\geq$\frac{-4}{3}$
\Leftrightarrow$x^2+6x+9-3\sqrt{5x+9}+4-2\sqrt{3x+4}$=0
\Leftrightarrowx.$x(x+6)+3\frac{-x}{\sqrt{5x+9}+3}+2.\frac{-x}{\sqrt{3x+4}+2}$=0
\Leftrightarrow$x.[x+6-\frac{3}{\sqrt{5x+9}+3}-\frac{2}{\sqrt{3x+4}+2}$]=0
dễ nhận thấy với dk đã cho thì x+6\geq$\frac{14}{3}$
$\frac{-2}{\sqrt{3x+4}+2}$\leq-1
$\frac{-3}{\sqrt{5x+9}+3}$\leq-1
\Rightarrow$x+6-\frac{2}{\sqrt{3x+4}+2}-\frac{3}{\sqrt{5x+9}+3}$>0
\Rightarrowx=o la nghiệm cua phương trình

 

[chaizo1234567]

chac cau nham do

to cung ap dung bat dang thuc co si ma chac cau nham roi

 

[nguoianhtinhthan]

to cung ap dung bat dang thuc co si ma chac cau nham roi

Nếu vậy thì bạn phải gọi nó là bđt Cauchy theo đúng tên nhà toán học.
Nếu bạn viết là Côsi không thì mọi người sẽ nhầm là bđt trung bình cộng-trung bình nhân.

 

[vansang02121998]

Bài $1.8.\\\\ x+3(2-3x^2)^2=2$

$x+3(2-3x^2)^2=2$

$\Leftrightarrow 27x^4-36x^2+x+10=0$

$\Leftrightarrow (x+1)(3x-2)(9x^2-3x-5)=0$

 

[vansang02121998]

Bài $1.12.\\\\ \sqrt[4]{18-x}+\sqrt[4]{x-79} = 5$

Đặt $\sqrt[4]{18-x}=a;\sqrt[4]{x-79}=b \Rightarrow a^4+b^4=97$

Ta có

$(a+b)^4-a^4-b^4=5^4-97$

$\Leftrightarrow ab(2a^2+3ab+2b^2)=264$

$\Leftrightarrow ab[2(a+b)^2-ab]=264$

$\Leftrightarrow ab(50-ab)=264$

$\Leftrightarrow ab=6$ hoặc $ab=44$

Từ đây dễ dàng tìm được $a$ và $b$

 

[vansang02121998]

Bài $3.12.\\\\ \sqrt{x+3}+\dfrac{4x}{\sqrt{x+3}} = 4\sqrt{x}$

Từ ĐKXĐ thấy $x \ge 0$

Áp dụng Cauchy

$\sqrt{x+3}+\dfrac{4x}{\sqrt{x+3}} \ge 4\sqrt{x}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x+3=4x$

 

[vansang02121998]

Bài $2.3.\\\\ \dfrac{x-\sqrt{x}}{1-\sqrt{2(x^2-x+1)}} = 1$

$\Leftrightarrow x-\sqrt{x}=1-\sqrt{2x^2-2x+2}$

$\Leftrightarrow 1+\sqrt{x}-x=\sqrt{2x^2-2x+2}$

$\Rightarrow x^2-2x\sqrt{x}-x+2\sqrt{x}+1=2x^2-2x+2$

$\Leftrightarrow x^2+2x\sqrt{x}-x-2\sqrt{x}+1=0$

$\Leftrightarrow (x+\sqrt{x}-1)^2=0$

 

[chaizo1234567]

cua 4.5 ne

Bài $4.5.\\\\ 2\sqrt{x^2+3} - \sqrt{8+2x-x^2} = x$

Đk: $-2 \leq x \leq 4$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2+3}-x-3+3-\sqrt{8+2x-x^2}=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{3x^2-6x+3}{\sqrt{x^2+3}+x+3}+\dfrac{x^2-2x+1}{\sqrt{8+2x-x^2}+3}=0$

$\Leftrightarrow (x^2-2x+1)(\dfrac{3}{\sqrt{x^2+3}+x+3}+\dfrac{1}{\sqrt{8+2x-x^2}+3})=0$

Nhận thấy $x+3>0$

$\Rightarrow \dfrac{3}{\sqrt{x^2+3}+x+3}+\dfrac{1}{\sqrt{8+2x-x^2}+3}>0$

$\Rightarrow x=1$

 

[vansang02121998]

Bài $3.1.\\\\ \sqrt{2x^2+5x+12}+\sqrt{2x^2+3x+2} = x+5$

$\Leftrightarrow \dfrac{2x+10}{\sqrt{2x^2+5x+12}-\sqrt{2x^2+3x+2}}=x+5$

$\left[\begin{matrix} x+5=0\\ \sqrt{2x^2+5x+12}=2+\sqrt{2x^2+3x+2} \end{matrix}\right.$

$\left[\begin{matrix} x=-5\\x=-1\\x=\dfrac{1}{7} \end{matrix}\right.$

 

[vansang02121998]

Bài $3.7.\\\\ 2\sqrt{3x+4}+3\sqrt{5x+9} = x^2+6x+13$

$2\sqrt{3x+4}+3\sqrt{5x+9}=x^2+6x+13$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{3x+4}-4+3\sqrt{5x+9}-9=x^2+6x$

$\Leftrightarrow \dfrac{12x}{2\sqrt{3x+4}+4}+\dfrac{45x}{3\sqrt{5x+9}+9}=x(x+6)$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\\dfrac{12}{2\sqrt{3x+4}+4}+\dfrac{45}{3\sqrt{5x+9}+9}=x+6^{(1)} \end{matrix}\right.$


Giải $(1)$


Nhận thấy $x=-1$ là một nghiệm của phương trình


Do $x+6$ đồng biến trên $R$ và $\dfrac{12}{2\sqrt{3x+4}+4}+\dfrac{45}{3\sqrt{5x+9}+9}$ nghịch biến trên $R$ nên phương trình có nghiệm duy nhất $x=-1$


Vậy, $x=0;-1$

 

[chaizo1234567]

4.2

$x^2-4x-3$=$\sqrt{x+5}$ dk x\geq-5
\Leftrightarrow$x^2-4x-5$=$\sqrt{x+5}-2$
\Leftrightarrow(x+1).(x-5}=$\frac{x+1}{\sqrt{x+5}+2}$
\Leftrightarrow{x+1}{5-x+$\frac{1}{\sqrt{x+5}+2}$}=0
\Leftrightarrow{x+1=0\Leftrightarrowx=1

@vansang02121998: cái $5-x+\dfrac{1}{\sqrt{x+5}+2}=0$ vẫn có nghiệm bạn à, cố gắng giải tiếp nhé

 

[chaizo1234567]

cau 2.10

$\sqrt{5x-1}$+$\sqrt[3]{9-x}$=$2x^2+3x-1$ dk x\geq$\frac{1}{5}$
\Leftrightarrow$\sqrt{5x-1}$-2+$\sqrt[3]{9-x}$-2=$2x^2+3x-5$
nhân liên hợp ta được
$\frac{x-1}{\sqrt{5x-1}+2}$+$\frac{1-x}{\sqrt[3]{1-x}^2+\sqrt[3]{1-x}+4}$={x-1}{2x+5}
\Leftrightarrow{x-1}{2x+5+$\frac{1}{\sqrt[3]{1-x}^2+\sqrt[3]{1-x}+4}$-$\frac{1}{\sqrt{5x-1}+2}$=0
nhận thấy 2x+5-$\frac{1}{\sqrt{5x-1}+2}$>0
\Rightarrow2x+5+$\frac{1}{\sqrt[3]{1-x}^2+\sqrt[3]{1-x}+4}$-$\frac{1}{\sqrt{5x-1}+2}$>0
\Rightarrow x=1 là nghiệm của phương trình

 

[vansang02121998]

Bài $2.8.\\\\ 1+\sqrt{x+1} = 4x^2+\sqrt{3x}$

Đk: $x \ge 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-\sqrt{3x}=4x^2-1$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-\sqrt{3x}=(2x+1)(2x-1)=(2x+1)(\sqrt{3x}-\sqrt{x+1})(\sqrt{x+1}+\sqrt{3x})$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x+1}-\sqrt{3x})[1+(2x+1)(\sqrt{3x}+\sqrt{x+1})]=0$

 

[vansang02121998]

Bài $3.17.\\\\ 2x^2-6x-1 =\sqrt{4x+5}$

Đk: $x \ge \dfrac{3+\sqrt{11}}{2}$ hoặc $x \le \dfrac{3-\sqrt{11}}{2}$

$\Rightarrow (2x^2-6x-1)^2=4x+5$

$\Leftrightarrow x^4-6x^3+8x^2+2x-1=0$

$\Leftrightarrow (x^2-4x+1)(x^2-2x-1)=0$

 

[vansang02121998]

Bài $2.1.\\\\ x+1+\sqrt{x^2-4x+1} = 3\sqrt{x}$

Đk: $x \ge 2+\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow x+1=3\sqrt{x}-\sqrt{x^2-4x+1}$

$\Rightarrow (x+1)^2=(3\sqrt{x}-\sqrt{x^2-4x+1})^2$

$\Leftrightarrow x=2\sqrt{x^3-4x^2+x}$

$\Leftrightarrow x^2=4x^3-16x^2+4x$

$\Leftrightarrow x(4x-1)(x-4)=0$

 

[chaizo1234567]

cau 1.11

$x+\sqrt{13-x^2}+x\sqrt{13-x^2}=11
Đặt $\sqrt{13-x^2}$=a
\RightarrowTa có hệ PT$\left\{\begin{matrix}x+a+xa=11\\$x^2+a^2=13$\end{matrix}\right.$
đến đây chắc là được rồi