Ý bạn là dãy trên tính ra được là [imath]k+1-\dfrac{1}{k+1}[/imath] thì làm sau xuất hiện [imath]k+1[/imath] đúng không ?
Nếu vậy thì xuất hiện tới 2 chỗ [imath]k+1[/imath] lận (chắc đề bạn ghi sai, trong đáp án bạn ghi ở trên có cả [imath]k-1[/imath] luôn ?) nên mình sẽ tính tổng này chi tiết hơn:
Tổng:
[imath]\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}}[/imath]
Công thức:
[imath]\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}}=1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}[/imath]
Áp dụng cho mỗi số hạng:
[math]\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}=1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}[/math][math]\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}[/math][math]....[/math][math]\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}}=1+\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}[/math]Nên:
[imath]\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}}[/imath](*)
[imath]=1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+1+\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}[/imath](**)
[imath]=k+1-\dfrac{1}{k+1}[/imath] (kết quả)
Giải thích:
Các số hạng của tổng cần tính (*) chính là
[imath]\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}},\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}},...,\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}}[/imath]
Bạn sẽ thấy có [imath]k[/imath] số hạng ví dụ như [imath]\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}[/imath] có số 1 dưới mẫu của [imath]\dfrac{1}{1^2}[/imath] sẽ là số hạng thứ nhất, [imath]\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}[/imath] có số 2 ở dưới mẫu của [imath]\dfrac{1}{2^2}[/imath] sẽ số hạng thứ 2 tương tự ,[imath]\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}}[/imath] sẽ là số hạng thứ [imath]k[/imath] bởi vì có chữ [imath]k[/imath] trong mẫu của [imath]\dfrac{1}{k^2}[/imath] đây là quy luật của tổng này tổng khác thì cần cách nghĩ khác
Vì vậy tổng này có [imath]k[/imath] số hạng
Áp dụng công thức thì các số hạng trở thành:
[imath]1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2},1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3},....,1+\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}[/imath] như (**)
Bây giờ xét (**)
Bỏ qua số 1 đầu tiên của (**). khi đó mỗi một số hạng đều có một số [imath]1[/imath] nên [imath]k[/imath] số hạng sẽ có [imath]k[/imath] số [imath]1[/imath], đây là một tổng nên [imath]k[/imath] số 1 này được cộng với nhau nên sẽ xuất hiện chữ [imath]k[/imath] trong kết quả còn số 1 kế bên là số 1 ta vừa bỏ qua ở trên
Trong (**) bạn sẽ thấy [imath]\dfrac{1}{2}[/imath] với triệt tiêu với [imath]-\dfrac{1}{2}[/imath] sau đó tương tự [imath]\dfrac{1}{3}[/imath] sẽ triệt tiêu với [imath]-\dfrac{1}{3}[/imath] phía sau (cần khai triển tổng này nhiều hơn để thấy số [imath]\dfrac{1}{3}[/imath]) tương tự [imath]\dfrac{1}{k}[/imath] sẽ triệt tiêu với [imath]-\dfrac{1}{k}[/imath]
Để nắm rõ hơn mình sẽ khai triển thêm tổng này:
[imath]=1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+1+\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}[/imath]
[imath]=1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+1+\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k-1+1}+1+\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}[/imath]
(lưu ý là số hạng trước [imath]1+\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}[/imath] là [imath]1+\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k-1+1}[/imath] nhe vì [imath]1+\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}[/imath] là số hạng thứ [imath]k[/imath] vì đây là số hạng đã được tính toán của số hạng thứ [imath]k[/imath] là [imath]\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}}[/imath] nên trước nó là số hạng thứ [imath]k-1[/imath] và ta chỉ cần đổi [imath]k[/imath] thành [imath]k-1[/imath] thôi là được số hạng thứ [imath]k-1[/imath] là
[imath]1+\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k-1+1}[/imath])
[imath]=1+ \underbrace{1+1+...+1}_{\textrm{k lần}}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k-1}+\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k-1+1}-\dfrac{1}{k+1}[/imath]
(lưu ý trước [imath]\dfrac{1}{k-1}[/imath] sẽ có [imath]-\dfrac{1}{k-1}[/imath] (như trước [imath]\dfrac{1}{3}[/imath] sẽ có [imath]-\dfrac{1}{3}[/imath] vậy đó) nên ta sẽ đem ra để dễ sự triệt tiêu của [imath]\dfrac{1}{k-1}[/imath])
=[imath]k+1-\dfrac{1}{k+1}[/imath] (lưu ý là không có số [imath]\dfrac{1}{k+1}[/imath] trong tổng nên [imath]-\dfrac{1}{k+1}[/imath] sẽ không bị triệt tiêu)
Xong rồi vì nó hơi dài mong bạn thông cảm !!!! Chúc bạn học tốt !!!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
