Nhị thức niu-tơn

[danguyen15]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Biết rằng trong khai triển nhị thức: [TEX](x+\frac{1}{x})^{n}[/TEX] tổng các hệ số của hai số hạng đầu tiên bằng 24, tính tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x và chứng tỏ rằng tổng này là số chính phương.

 

[trantien.hocmai]

$\text{Giải} \\$
$\text{tổng hai số hạng đầu tiên là}$
$$C_n^0+C_n^1=24 \leftrightarrow \frac{n!}{(n-1)!}=23 \rightarrow n=23 \\$$
$\text{ta có số hạng tổng quát là}$
$$C_{23}^k.x^{23-k}.x^{-k}=C_{23}^k .x^{23-2k}$$
$\text{theo yêu cầu bài toán thì } \\$
$$23-2k \ge 0 \leftrightarrow k \le 11,5$$
$\text{tổng các hệ số là} $
$$C_{23}^0+C_{23}^1+C_{23}^2+...+C_{23}^{10}+C_{23}^{11}=4194304=2^{22}$$
$\text{điều chứng minh}$