Toán 9 Một vấn đề đơn giản: 0,999... = 1

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi Lê Duy Vũ, 20 Tháng ba 2020.

Lượt xem: 162

  1. Lê Duy Vũ

    Lê Duy Vũ Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    379
    Điểm thành tích:
    139
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Bắt đầu từ một đẳng thức đơn giản:
    [TEX]
    \frac{1}{3} = 0,333...
    \Leftrightarrow \frac{1}{3}.3 = 0,333... . 3
    \Leftrightarrow 1 = 0,999... ( ! )
    [/TEX]
    Vô lý, phải không?
    Đây là một trong những nghịch lý toán học nổi tiếng nhất, và cũng gây tranh cãi nhiều nhất: [TEX]0,\left ( 9 \right )[/TEX] có bằng [TEX]1[/TEX] không?
    Mình đã từng đem vấn đề này hỏi thầy dạy toán của mình. Và ý kiến của thầy là:
    [TEX]
    \frac{1}{3}\approx 0,333...
    \Leftrightarrow 1 \approx 0,999...
    [/TEX]
    Mình không công nhận điều đó. Vì chẳng có số thực nào lớn hơn [TEX]0,\left ( 3 \right )[/TEX] mà nhỏ hơn[TEX]\frac{1}{3}[/TEX], cũng như không có số thực nào lớn hơn [TEX]0,\left ( 9 \right )[/TEX] mà nhỏ hơn [TEX]1[/TEX] cả. Mặt khác, giữa hai số thực khác nhau luôn tồn tại một số thực. Do vậy, [TEX]0,333... = \frac{1}{3}[/TEX] và [TEX]0,999... = 1[/TEX]. Mình và thầy đã tranh cãi kịch liệt nhưng cuối cùng vẫn không đồng quan điểm. Nhưng đó không phải là chuyện cần bàn trong topic này.
    Sau lần đó, thay vì chứng minh nghịch lý này sai, mình lại tìm cách chứng minh nó đúng ... Và chuyện đó không phải là quá khó.
    Liên hệ nó với một nghịch lý cổ điển và cũng nổi tiếng không kém: Nghịch lý lưỡng phân của nhà toán học Zeno
    Lấy một ví dụ đơn giản:
    Mình muốn đi bộ tới một nơi cách mình 4km, vận tốc 4km/h. Vậy mình cần bao nhiêu thời gian?
    Quá đơn giản, đương nhiên là 1 giờ!
    Nhưng Zeno không nghĩ thế. Ông lập luận: Muốn tới được nơi đó, mình cần đi được nửa quãng đường tới đó, nghĩa là [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] quãng đường, mất [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] giờ. Sau khi đi được [TEX]\frac{1}{2}[/TEX], mình phải đi tới nửa quãng đường còn lại,nghĩa là phải đi tiếp [TEX]\frac{1}{4}[/TEX] quãng đường, mất tiếp [TEX]\frac{1}{4}[/TEX] giờ, rồi [TEX]\frac{1}{8}[/TEX], rồi [TEX]\frac{1}{16}[/TEX],...
    Tổng thời gian mình cần để đi tới nơi đó sẽ là:
    [TEX]t=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...[/TEX]
    Theo Zeno, dãy trên là tổng của vô hạn các hạng tử hữu hạn, nên tổng sẽ là vô hạn, nghĩa là mình cần vô hạn thời gian để đi tới điểm đó. Mở rộng ra, Zeno cho rằng vì mọi chuyển động không thể thực hiện, nên tất cả các chuyển động chỉ là ảo giác!
    Đương nhiên, ông đã sai. Vấn đề trên được giải quyết như sau:
    [TEX]
    t=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...
    \Leftrightarrow 2t=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...
    \Leftrightarrow 2t-t=1
    \Leftrightarrow t=1
    [/TEX]
    Và mình mất đúng 1 giờ để đi tới nơi đó, như chúng ta dự đoán ban đầu.

    Vậy, hai bài toán này giống nhau ở chỗ nào?
    Ta có:
    [TEX]0,999...=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+...[/TEX]
    Vậy liệu ta có thể chứng minh được một biểu thức [TEX]A=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+...[/TEX] bằng [TEX]1[/TEX] không?
    Câu trả lời là có, và bằng cách giống hệt như trên:
    [TEX]
    A=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+...
    \Leftrightarrow 10A=9+\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+...
    \Leftrightarrow 10A - A=9
    \Leftrightarrow 9A= 9
    \Leftrightarrow A=1
    [/TEX]
    Đúng. Ta vừa chứng minh thành công [TEX]0,999... = 1 (!)[/TEX]
    Những dãy như [TEX]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...[/TEX] và [TEX]\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+...[/TEX] được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Trong các dãy này, số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với một số không đổi gọi là công bội, kí hiệu [TEX]q[/TEX]. Ví dụ:
    Với dãy [TEX]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...[/TEX], công bội là [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]
    Với dãy [TEX]\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+...[/TEX], công bội là [TEX]\frac{1}{10}[/TEX]
    Công thức tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là:
    [TEX]\frac{số hạng đầu tiên}{1-q}[/TEX] với [TEX]\left | q \right |<1[/TEX]

    Tổng kết lại, ta có thể dễ dàng chứng minh [TEX]1,5 = 1,4999...[/TEX], [TEX]6,27=6,26999...[/TEX], v.v
    Nghĩa là: Ta có nhiều hơn 1 cách để viết một số hữu tỉ. Khó tin nhưng là sự thật.

    (Mình không biết nên đăng topic này lên box nào nên để đây. Nếu để sai thì nhờ BQT move sang box đúng, Chân thành cảm ơn)

    @realjacker07 @jehinguyen
     
    Last edited: 20 Tháng ba 2020
  2. Matsu Loiiko

    Matsu Loiiko Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    810
    Điểm thành tích:
    236
    Nơi ở:
    Lào Cai
    Trường học/Cơ quan:
    Phường đen GHA

    E mặc dù ko hiểu lắm về toán học nhưng đây là cách làm tròn để giúp cho các con số đơn giản, dễ hiểu và dễ tính toán thôi mà. Cũng giống như số Pi ý, nếu mà để tính một cách chính xác thì ra một con số khá loằng ngoằng nhưng nêu làm tròn thì kq sẽ ngắn gọn và dễ tính hớn mà
     
    ~ Su Nấm ~Bắpie Kute thích bài này.
  3. hoangquan2311

    hoangquan2311 Học sinh mới Thành viên

    Bài viết:
    1
    Điểm thành tích:
    1
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    1

    bạn xem thử video về supertasks của Vsauce đi, mình thấy khái niệm đó khá giống với bài toán này
     
  4. realjacker07

    realjacker07 Học sinh gương mẫu Thành viên

    Bài viết:
    1,917
    Điểm thành tích:
    401
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Trường Đời

    Ờ mình cũng có lần đọc về cái vụ kiểu đi 1/2 quãng đường các kiểu kéo dài đến vô tận, rốt cục sẽ không bao giờ đi đến được điểm cuối quãng đường. Thú dzị phết nhưng mà mình ngu toán :(

    Mình nghe ở đâu là người ta chỉ dùng đến 3.1415926 hoặc ít hơn để diễn tả pi trong thực tế với độ chính xác cao nhất có thể, ví dụ như trong việc điều hướng tàu vũ trụ của NASA nè. Những số thập phân sau không cần thiết thì phải.
     
    Lê Duy Vũ thích bài này.
  5. Quân (Chắc Chắn Thế)

    Quân (Chắc Chắn Thế) Trùm vi phạm Thành viên

    Bài viết:
    1,265
    Điểm thành tích:
    261
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Trường Mần Non

    Đây đâu phải làm tròn
    VD: [tex]7,2557858\approx 7,26[/tex]
    Nhưng đây nó CM hẳn [tex]0,(9)=1[/tex] luôn mà

    Nó thành nghịch lí hẳn rồi còn đâu
     
    Lê Duy Vũ, realjacker07Matsu Loiiko thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->