[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Bắt đầu từ một đẳng thức đơn giản:
[TEX] \frac{1}{3} = 0,333... \Leftrightarrow \frac{1}{3}.3 = 0,333... . 3 \Leftrightarrow 1 = 0,999... ( ! ) [/TEX]
Vô lý, phải không?
Đây là một trong những nghịch lý toán học nổi tiếng nhất, và cũng gây tranh cãi nhiều nhất: [TEX]0,\left ( 9 \right )[/TEX] có bằng [TEX]1[/TEX] không?
Mình đã từng đem vấn đề này hỏi thầy dạy toán của mình. Và ý kiến của thầy là:
[TEX] \frac{1}{3}\approx 0,333... \Leftrightarrow 1 \approx 0,999... [/TEX]
Mình không công nhận điều đó. Vì chẳng có số thực nào lớn hơn [TEX]0,\left ( 3 \right )[/TEX] mà nhỏ hơn[TEX]\frac{1}{3}[/TEX], cũng như không có số thực nào lớn hơn [TEX]0,\left ( 9 \right )[/TEX] mà nhỏ hơn [TEX]1[/TEX] cả. Mặt khác, giữa hai số thực khác nhau luôn tồn tại một số thực. Do vậy, [TEX]0,333... = \frac{1}{3}[/TEX] và [TEX]0,999... = 1[/TEX]. Mình và thầy đã tranh cãi kịch liệt nhưng cuối cùng vẫn không đồng quan điểm. Nhưng đó không phải là chuyện cần bàn trong topic này.
Sau lần đó, thay vì chứng minh nghịch lý này sai, mình lại tìm cách chứng minh nó đúng ... Và chuyện đó không phải là quá khó.
Liên hệ nó với một nghịch lý cổ điển và cũng nổi tiếng không kém: Nghịch lý lưỡng phân của nhà toán học Zeno
Lấy một ví dụ đơn giản:
Mình muốn đi bộ tới một nơi cách mình 4km, vận tốc 4km/h. Vậy mình cần bao nhiêu thời gian?
Quá đơn giản, đương nhiên là 1 giờ!
Nhưng Zeno không nghĩ thế. Ông lập luận: Muốn tới được nơi đó, mình cần đi được nửa quãng đường tới đó, nghĩa là [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] quãng đường, mất [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] giờ. Sau khi đi được [TEX]\frac{1}{2}[/TEX], mình phải đi tới nửa quãng đường còn lại,nghĩa là phải đi tiếp [TEX]\frac{1}{4}[/TEX] quãng đường, mất tiếp [TEX]\frac{1}{4}[/TEX] giờ, rồi [TEX]\frac{1}{8}[/TEX], rồi [TEX]\frac{1}{16}[/TEX],...
Tổng thời gian mình cần để đi tới nơi đó sẽ là:
[TEX]t=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...[/TEX]
Theo Zeno, dãy trên là tổng của vô hạn các hạng tử hữu hạn, nên tổng sẽ là vô hạn, nghĩa là mình cần vô hạn thời gian để đi tới điểm đó. Mở rộng ra, Zeno cho rằng vì mọi chuyển động không thể thực hiện, nên tất cả các chuyển động chỉ là ảo giác!
Đương nhiên, ông đã sai. Vấn đề trên được giải quyết như sau:
[TEX] t=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+... \Leftrightarrow 2t=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+... \Leftrightarrow 2t-t=1 \Leftrightarrow t=1 [/TEX]
Và mình mất đúng 1 giờ để đi tới nơi đó, như chúng ta dự đoán ban đầu.
Vậy, hai bài toán này giống nhau ở chỗ nào?
Ta có:
[TEX]0,999...=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+...[/TEX]
Vậy liệu ta có thể chứng minh được một biểu thức [TEX]A=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+...[/TEX] bằng [TEX]1[/TEX] không?
Câu trả lời là có, và bằng cách giống hệt như trên:
[TEX] A=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+... \Leftrightarrow 10A=9+\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+... \Leftrightarrow 10A - A=9 \Leftrightarrow 9A= 9 \Leftrightarrow A=1 [/TEX]
Đúng. Ta vừa chứng minh thành công [TEX]0,999... = 1 (!)[/TEX]
Những dãy như [TEX]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...[/TEX] và [TEX]\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+...[/TEX] được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Trong các dãy này, số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với một số không đổi gọi là công bội, kí hiệu [TEX]q[/TEX]. Ví dụ:
Với dãy [TEX]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...[/TEX], công bội là [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]
Với dãy [TEX]\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+...[/TEX], công bội là [TEX]\frac{1}{10}[/TEX]
Công thức tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là:
[TEX]\frac{số hạng đầu tiên}{1-q}[/TEX] với [TEX]\left | q \right |<1[/TEX]
Tổng kết lại, ta có thể dễ dàng chứng minh [TEX]1,5 = 1,4999...[/TEX], [TEX]6,27=6,26999...[/TEX], v.v
Nghĩa là: Ta có nhiều hơn 1 cách để viết một số hữu tỉ. Khó tin nhưng là sự thật.
(Mình không biết nên đăng topic này lên box nào nên để đây. Nếu để sai thì nhờ BQT move sang box đúng, Chân thành cảm ơn)
@realjacker07 @jehinguyen
[TEX] \frac{1}{3} = 0,333... \Leftrightarrow \frac{1}{3}.3 = 0,333... . 3 \Leftrightarrow 1 = 0,999... ( ! ) [/TEX]
Vô lý, phải không?
Đây là một trong những nghịch lý toán học nổi tiếng nhất, và cũng gây tranh cãi nhiều nhất: [TEX]0,\left ( 9 \right )[/TEX] có bằng [TEX]1[/TEX] không?
Mình đã từng đem vấn đề này hỏi thầy dạy toán của mình. Và ý kiến của thầy là:
[TEX] \frac{1}{3}\approx 0,333... \Leftrightarrow 1 \approx 0,999... [/TEX]
Mình không công nhận điều đó. Vì chẳng có số thực nào lớn hơn [TEX]0,\left ( 3 \right )[/TEX] mà nhỏ hơn[TEX]\frac{1}{3}[/TEX], cũng như không có số thực nào lớn hơn [TEX]0,\left ( 9 \right )[/TEX] mà nhỏ hơn [TEX]1[/TEX] cả. Mặt khác, giữa hai số thực khác nhau luôn tồn tại một số thực. Do vậy, [TEX]0,333... = \frac{1}{3}[/TEX] và [TEX]0,999... = 1[/TEX]. Mình và thầy đã tranh cãi kịch liệt nhưng cuối cùng vẫn không đồng quan điểm. Nhưng đó không phải là chuyện cần bàn trong topic này.
Sau lần đó, thay vì chứng minh nghịch lý này sai, mình lại tìm cách chứng minh nó đúng ... Và chuyện đó không phải là quá khó.
Liên hệ nó với một nghịch lý cổ điển và cũng nổi tiếng không kém: Nghịch lý lưỡng phân của nhà toán học Zeno
Lấy một ví dụ đơn giản:
Mình muốn đi bộ tới một nơi cách mình 4km, vận tốc 4km/h. Vậy mình cần bao nhiêu thời gian?
Quá đơn giản, đương nhiên là 1 giờ!
Nhưng Zeno không nghĩ thế. Ông lập luận: Muốn tới được nơi đó, mình cần đi được nửa quãng đường tới đó, nghĩa là [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] quãng đường, mất [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] giờ. Sau khi đi được [TEX]\frac{1}{2}[/TEX], mình phải đi tới nửa quãng đường còn lại,nghĩa là phải đi tiếp [TEX]\frac{1}{4}[/TEX] quãng đường, mất tiếp [TEX]\frac{1}{4}[/TEX] giờ, rồi [TEX]\frac{1}{8}[/TEX], rồi [TEX]\frac{1}{16}[/TEX],...
Tổng thời gian mình cần để đi tới nơi đó sẽ là:
[TEX]t=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...[/TEX]
Theo Zeno, dãy trên là tổng của vô hạn các hạng tử hữu hạn, nên tổng sẽ là vô hạn, nghĩa là mình cần vô hạn thời gian để đi tới điểm đó. Mở rộng ra, Zeno cho rằng vì mọi chuyển động không thể thực hiện, nên tất cả các chuyển động chỉ là ảo giác!
Đương nhiên, ông đã sai. Vấn đề trên được giải quyết như sau:
[TEX] t=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+... \Leftrightarrow 2t=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+... \Leftrightarrow 2t-t=1 \Leftrightarrow t=1 [/TEX]
Và mình mất đúng 1 giờ để đi tới nơi đó, như chúng ta dự đoán ban đầu.
Vậy, hai bài toán này giống nhau ở chỗ nào?
Ta có:
[TEX]0,999...=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+...[/TEX]
Vậy liệu ta có thể chứng minh được một biểu thức [TEX]A=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+...[/TEX] bằng [TEX]1[/TEX] không?
Câu trả lời là có, và bằng cách giống hệt như trên:
[TEX] A=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+... \Leftrightarrow 10A=9+\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+... \Leftrightarrow 10A - A=9 \Leftrightarrow 9A= 9 \Leftrightarrow A=1 [/TEX]
Đúng. Ta vừa chứng minh thành công [TEX]0,999... = 1 (!)[/TEX]
Những dãy như [TEX]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...[/TEX] và [TEX]\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+...[/TEX] được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Trong các dãy này, số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với một số không đổi gọi là công bội, kí hiệu [TEX]q[/TEX]. Ví dụ:
Với dãy [TEX]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...[/TEX], công bội là [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]
Với dãy [TEX]\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+...[/TEX], công bội là [TEX]\frac{1}{10}[/TEX]
Công thức tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là:
[TEX]\frac{số hạng đầu tiên}{1-q}[/TEX] với [TEX]\left | q \right |<1[/TEX]
Tổng kết lại, ta có thể dễ dàng chứng minh [TEX]1,5 = 1,4999...[/TEX], [TEX]6,27=6,26999...[/TEX], v.v
Nghĩa là: Ta có nhiều hơn 1 cách để viết một số hữu tỉ. Khó tin nhưng là sự thật.
(Mình không biết nên đăng topic này lên box nào nên để đây. Nếu để sai thì nhờ BQT move sang box đúng, Chân thành cảm ơn)
@realjacker07 @jehinguyen
Last edited:
