Toán 8 Một số phương pháp hay giải phương trình nghiệm nguyên

[Lê Tự Đông]

[tex]\begin{array}{l} \mathtt{Bài\ 1:Tìm\ các\ nghiệm\ nguyên\ của\ các\ phương\ trình\ sau\ }\\ \mathtt{1) \ 3x^{2} -4y^{2} =13}\\ \mathtt{2) 19x^{2} +28y^{2} =2009}\\ \mathtt{3) x^{2} =2y^{2} -8y+3}\\ \mathtt{Bài\ 2\ :Chứng\ minh\ không\ tồn\ tại\ số\ nguyên\ x,y,z\ thỏa}\\ \mathtt{\ \ \ \ x^{3} +y^{3} +z^{3} =x+y+z+2008}\\ \end{array}[/tex]
Mọi người tham khảo thêm một số bài với lại bạn nào giúp mình bài 2 với,nghĩ cả sáng chưa ra

1) Giả sử tồn tại 2 số nguyên x và y là nghiệm của pt
$3x^{2}-4y^{2} = 13$
=> x lẻ, đặt x=2k+1 ( k thuộc Z)
Phương trình trở thành
$3(2k+1)^{2}-4y^{2} = 13$
$12k^{2} + 12k + 3 - 4y^{2} = 13$
=> $12k^{2} + 12k - 4y^{2} = 10$
$2.(6k^{2} + 6k - 2y^{2}) = 10$
=> $6k^{2} + 6k - 2y^{2} = 5$ (vô lý)
Vậy pt vô nghiệm
2)Giả sử tồn tại 2 số nguyên x và y là nghiệm của pt
$19x^{2}+28y^{2} = 2009$
=> x lẻ , đặt x = 2m+1
=> $19x^{2}+28y^{2} = 19(2m+1)^{2}+28y^{2} = 2009$
$19.4m^{2} + 19.4m + 19 + 28y^{2} = 2009$
=>$19.4m^{2} + 19.4m + 28y^{2} = 1990$
$4.(19m^{2} + 19m + 7y^{2}) = 1990$
Do $(19m^{2} + 19m + 7y^{2})$ thuộc Z
=> $4.(19m^{2} + 19m + 7y^{2})$ chia hết cho 4
=> 1990 chia hết cho 4 (vô lý)
Vậy pt vô nghiệm
3)Giả sử tồn tại 2 số nguyên x và y là nghiệm của pt
$x^{2} = 2y^{2} - 8y + 3$
=> x lẻ, đặt x=2a+1
=> $x^{2} = (2a+1)^{2} = 2y^{2} - 8y + 3$
$4a^{2} + 4a + 1 = 2y^{2} - 8y + 3$
$ 4a^{2} + 4a -2 = 2y^{2} - 8y$
=> $ 2a^{2} + 2a - 1 = y^{2} - 4y$
=> $2a(a+1) + 4y = y^{2} + 1$
Do a(a+1) chia hết cho 2 nên 2a(a+1) chia hết cho 4
=> 2a(a+1) + 4y chia hết cho 4
=> $y^{2} + 1$ chia hết cho 4 (vô lý vì $y^{2}$ chia 4 dư 1 hoặc 0)
Vậy pt vô nghiệm
Bài 2:
$x^{3} + y^{3} + z^{3} = x + y + z + 2008$
=> $x^{3} + y^{3} + z^{3} - x - y - z = 2008$
$(x^{3} -x) + (y^{3} - y) + (z^{3} - z) = 2008$
Ta có $x^{3} - x = x(x^{2}-1) = x(x+1)(x-1)$ chia hết cho 6
Tương tự ta được (y^{3} - y) và (z^{3} - z) chia hết cho 6
=> $(x^{3} -x) + (y^{3} - y) + (z^{3} - z)$ chia hết cho 6
=> 2008 chia hết cho 6(vô lý)
Vậy pt vô nghiệm

 

[Hồng Vânn]

Em góp vui được không ạ ? ^^
Mấy bài này là em lấy trong sách thấy khá hay, mọi người có thể tham khảo ạ!
Bài 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên m, n với m,n lớn hơn hoặc bằng ba để tồn tại vô hạn các số nguyên dương x sao cho là ( x^m +x - 1) / ( x^n + x^2 -1) một số nguyên dương.
P/s: Bài này người ta giải mà em đọc mãi không hiểu QvQ, mọi người có thể giải giúp em ạ :<
Bài 2: Tìm một số sao cho khi cộng số đó với ( n^2 -1)^p .(n-1)^(p+1) thì được một số chia hết cho n.
@K.o.w , @Lê Tự Đông , @Quân (Chắc Chắn Thế) , @Lena1315

 

[K.o.w]

\begin{array}{l} \mathtt{{\textstyle Một\ vài\ bài\ sưu\ tầm\ khác\ của\ mình\ }}\\ {\textstyle \mathtt{1) \ Tìm\ tất\ cả\ bộ\ ba\ số\ ( x,y,p) \ sao\ cho\ x,y\ nguyên\ dương\ và\ p\ nguyên\ tố\ thỏa\ mãn\ phương\ trình}}\\ {\textstyle \mathtt{x^{5} +x^{4} +1=p^{y}}}\\ {\textstyle \mathtt{2) \ Tìm\ bộ\ số\ ( x,y,z) \ thỏa\ mãn\ đồng\ thời\ x^{y} +y^{x} =z^{y} \ và\ x^{y} +2012=y^{z} +1}}\\ {\textstyle \mathtt{3) Tìm\ bộ\ ba\ số\ nguyên\ dương\ thỏa\ 2^{x} +2009=3^{y} 5^{z}}} \end{array}