Toán 8 Một số phương pháp hay giải phương trình nghiệm nguyên

[K.o.w]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình tạo topic này để mọi người cùng nhau vào đây thảo luận về phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên.Vì đây là một chủ đề khó và không có phương pháp nhất định nên nhiều bạn vẫn còn gặp bối rối và khó khăn trong việc giải quyết các bài toán.Bạn nào có phương pháp gì hay chia sẻ với để mọi người cùng thảo luận nhé

 

[Linh_Alison_Nguyễn]

Mình tạo topic này để mọi người cùng nhau vào đây thảo luận về phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên.Vì đây là một chủ đề khó và không có phương pháp nhất định nên nhiều bạn vẫn còn gặp bối rối và khó khăn trong việc giải quyết các bài toán.Bạn nào có phương pháp gì hay chia sẻ với để mọi người cùng thảo luận nhé

Mấy câu có lũy thừa cao thì bạn lấy ước của hệ số tự do (coi nó là x) thay vào PT => Cái nào thỏa mãn thì tách ra sao cho nghiệm đó

 

[K.o.w]

[tex]$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \mathsf{Phương\ pháp\ 1\ :\ Phương\ pháp\ cực\ hạn}\\ \mathsf{-Phương\ pháp\ này\ thường\ được\ ứng\ dụng\ để\ giải\ các\ dạng\ phương\ trình\ có\ tính\ đối\ xứng}\\ \mathsf{VD\ :x+y=xy}\\ \mathsf{Thông\ thường\ trong\ 1\ phương\ trình\ đối\ xứng\ thì\ vai\ trò\ của\ các\ ẩn\ số\ là\ như\ nhau.Do\ đó\ ta\ có\ thể\ giả}\\ \mathsf{sử\ giá\ trị\ của\ các\ biến\ số\ là\ tăng\ dần\ rồi\ từ\ đó\ đi\ tìm\ điều\ kiện\ của\ các\ nghiệm\ số.Việc\ làm\ trên\ giúp\ làm\ }\\ \mathsf{đơn\ giản\ hóa\ quá\ trình\ đi\ tìm\ nghiệm\ vì\ điều\ kiện\ của\ các\ ẩn\ số\ đã\ được\ thu\ gọn\ lại.}\\ \mathsf{( *) Tập\ nghiệm\ tìm\ được\ là\ các\ hoán\ vị\ của\ bộ\ nghiệm\ ban\ đầu}\\ \mathsf{Ta\ có\ các\ ví\ dụ\ sau}\\ \mathsf{VD\ 1\ :}\\ \mathsf{Tìm\ nghiệm\ nguyên\ dương\ của\ phương\ trình\ x+y+z=xyz}\\ \mathsf{Giải:}\\ \mathsf{Trước\ hết\ đây\ là\ phương\ trình\ đối\ xứng\ nên\ ta\ có\ thể\ giả\ sử\ x\leqslant y\leqslant z}\\ \mathsf{Khi\ đó\ ta\ có}\\ \mathsf{\frac{1}{xy} +\frac{1}{yz} +\frac{1}{xz} =\frac{x+y+z}{xyz} =1\ mà\ \frac{1}{xy} +\frac{1}{yz} +\frac{1}{xz} \leqslant \frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{x^{2}} \ vì\ x\leqslant y\leqslant z}\\ \mathsf{\Longrightarrow 1\leqslant \frac{3}{x^{2}} \Longrightarrow x^{2} \leqslant 3.\ Vì\ x\in Z^{+} \ nên\ x=1}\\ \mathsf{Thay\ x=1\ vào\ phương\ trình\ ban\ đầu\ ta\ được}\\ \mathsf{y+z+1=yz}\\ \mathsf{\Longrightarrow yz-y-z=1}\\ \mathsf{\Longrightarrow yz-y-z+1=2}\\ \mathsf{\Longrightarrow y( z-1) -( z-1) =( y-1)( z-1) =2}\\ \mathsf{Vì\ 0\leqslant y-1\leqslant z-1\ nên\ }\\ \mathsf{y-1=1\Longrightarrow y=2}\\ \mathsf{z-1=2\Longrightarrow z=3}\\ \mathsf{Vậy\ nghiệm\ của\ phương\ trình\ là\ ( x,y,z) =( 1,2,3) \ và\ các\ hoán\ vị\ }\\ \mathsf{VD2:\ Tìm\ nghiệm\ nguyên\ dương\ của\ phương\ trình\ }\\ \mathsf{a+b+c+d=abcd}\\ \mathsf{Giải\ :}\\ \mathsf{Giả\ sử\ a\leqslant b\leqslant c\leqslant d\ .\ Khi\ đó}\\ \mathsf{a+b+c+d=abcd\leqslant 4d\ }\\ \mathsf{\Longrightarrow abc\leqslant 4}\\ \mathsf{Vì\ a,b,c\ \in Z^{+} \ nên\ abc\ =\ \{1,2,3\}}\\ \mathsf{Xét\ TH\ 1\ :\ abc=1\ thì\ a=b=c=1}\\ \mathsf{Khi\ đó\ 3+d=d\ ( loại)}\\ \mathsf{TH2\ :\ abc=2\ \Longrightarrow \ a=1,b=1,c=2\ vì\ a\leqslant b\leqslant c}\\ \mathsf{Khi\ đó\ 4+d=2d}\\ \mathsf{\Longrightarrow d=4( nhận\ )}\\ \mathsf{TH3\ :\ abc=3\Longrightarrow a=1,b=1,c=3}\\ \mathsf{\Longrightarrow 5+d=3d\ ( loại)}\\ \mathsf{Mọi\ người\ làm\ tương\ tự\ với\ trường\ hợp\ abc=4\ thì\ phương\ trình\ vô\ nghiệm\ }\\ \mathsf{Khi\ đó\ bộ\ nghiệm\ là\ ( a,b,c,d) =( 1,1,2,4) \ và\ các\ hoán\ vị\ }\\ \\ \end{array}$[/tex]

 

[Linh_Alison_Nguyễn]

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Phương\ pháp\ 1\ :\ Phương\ pháp\ cực\ hạn\\ -Phương\ pháp\ này\ thường\ được\ ứng\ dụng\ để\ giải\ các\ dạng\ phương\ trình\ có\ tính\ đối\ xứng\\ VD\ :x+y=xy\\ Thông\ thường\ trong\ 1\ phương\ trình\ đối\ xứng\ thì\ vai\ trò\ của\ các\ ẩn\ số\ là\ như\ nhau.Do\ đó\ ta\ có\ thể\ giả\\ sử\ giá\ trị\ của\ các\ biến\ số\ là\ tăng\ dần\ rồi\ từ\ đó\ đi\ tìm\ điều\ kiện\ của\ các\ nghiệm\ số.Việc\ làm\ trên\ giúp\ làm\ \\ đơn\ giản\ hóa\ quá\ trình\ đi\ tìm\ nghiệm\ vì\ điều\ kiện\ của\ các\ ẩn\ số\ đã\ được\ thu\ gọn\ lại.\\ ( *) Tập\ nghiệm\ tìm\ được\ là\ các\ hoán\ vị\ của\ bộ\ nghiệm\ ban\ đầu\\ Ta\ có\ các\ ví\ dụ\ sau\\ VD\ 1\ :\\ Tìm\ nghiệm\ nguyên\ dương\ của\ phương\ trình\ x+y+z=xyz\\ Giải:\\ Trước\ hết\ đây\ là\ phương\ trình\ đối\ xứng\ nên\ ta\ có\ thể\ giả\ sử\ x\leqslant y\leqslant z\\ Khi\ đó\ ta\ có\\ \frac{1}{xy} +\frac{1}{yz} +\frac{1}{xz} =\frac{x+y+z}{xyz} =1\ mà\ \frac{1}{xy} +\frac{1}{yz} +\frac{1}{xz} \leqslant \frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{x^{2}} \ vì\ x\leqslant y\leqslant z\\ \Longrightarrow 1\leqslant \frac{3}{x^{2}} \Longrightarrow x^{2} \leqslant 3.\ Vì\ x\in Z^{+} \ nên\ x=1\\ Thay\ x=1\ vào\ phương\ trình\ ban\ đầu\ ta\ được\\ y+z+1=yz\\ \Longrightarrow yz-y-z=1\\ \Longrightarrow yz-y-z+1=2\\ \Longrightarrow y( z-1) -( z-1) =( y-1)( z-1) =2\\ Vì\ 0\leqslant y-1\leqslant z-1\ nên\ \\ y-1=1\Longrightarrow y=2\\ z-1=2\Longrightarrow z=3\\ Vậy\ nghiệm\ của\ phương\ trình\ là\ ( x,y,z) =( 1,2,3) \ và\ các\ hoán\ vị\ \\ VD2:\ Tìm\ nghiệm\ nguyên\ dương\ của\ phương\ trình\ \\ a+b+c+d=abcd\\ Giải\ :\\ Giả\ sử\ a\leqslant b\leqslant c\leqslant d\ .\ Khi\ đó\\ a+b+c+d=abcd\leqslant 4d\ \\ \Longrightarrow abc\leqslant 4\\ Vì\ a,b,c\ \in Z^{+} \ nên\ abc\ =\ \{1,2,3\}\\ Xét\ TH\ 1\ :\ abc=1\ thì\ a=b=c=1\\ Khi\ đó\ 3+d=d\ ( loại)\\ TH2\ :\ abc=2\ \Longrightarrow \ a=1,b=1,c=2\ vì\ a\leqslant b\leqslant c\\ Khi\ đó\ 4+d=2d\\ \Longrightarrow d=4( nhận\ )\\ TH3\ :\ abc=3\Longrightarrow a=1,b=1,c=3\\ \Longrightarrow 5+d=3d\ ( loại)\\ Mọi\ người\ làm\ tương\ tự\ với\ trường\ hợp\ abc=4\ thì\ phương\ trình\ vô\ nghiệm\ \\ Khi\ đó\ bộ\ nghiệm\ là\ ( a,b,c,d) =( 1,1,2,4) \ và\ các\ hoán\ vị\ \\ \\ \end{array}$

Bạn chỉnh lại phông chữ đi
Khó đọc quá

 

[TranPhuong27]

Trân trọng! Góp vài bài vui vui.

• Bài 1: Tìm số nguyên [TEX]x, y[/TEX] thỏa mãn [TEX]3x^2+5y^2=255[/TEX]
• Bài 2: Tìm cặp số tự nhiên [TEX](x;y)[/TEX] thỏa mãn [TEX]3\sqrt{x}+11\sqrt{y}=\sqrt{2000}[/TEX]
• Bài 3: Tìm các số nguyên tố [TEX]x,y,z[/TEX] thỏa mãn: [TEX]x^y+1=z^2[/TEX]
• Bài 4: ( Phương trình Pytago ) Giải phương trình nghiệm nguyên dương [TEX]x^2+y^2=z^2[/TEX]
• Bài 5: Tìm các số nguyên [TEX]x,y,z[/TEX] biết [TEX]x^2+y^2+z^2<xy+3y+2z-3[/TEX]

 

[K.o.w]

Bạn chỉnh lại phông chữ đi
Khó đọc quá

uk ok để mình chỉnh

 

[K.o.w]

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\mathsf{Một\ số\ bài\ phương\ pháp\ cực\ hạn\ mọi\ người\ tham\ khảo\ thử}\\
\mathsf{Tìm\ nghiệm\ nguyên\ dương\ của\ các\ phương\ trình\ sau\ }\\
\mathsf{1) \ x+y+z+9=xyz}\\
\mathsf{2) \ xy+yz+xz=xyz+2}\\
\mathsf{3) \ \frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} =2}\\
\mathsf{4) \ 5( a+b+c+d) +7=abcd}\\
\mathsf{5) \ 2( x+y+z) +9=3xyz}
\end{array}$

 

[K.o.w]

[tex]\begin{array}{l} \mathtt{Đề\ bài\ :}\\ \mathtt{Tìm\ các\ cặp\ số\ nguyên\ tố\ x,y,z\ thỏa\ x^{y} +1=z^{2}}\\ \mathtt{Bài\ làm\ :\ }\\ \mathtt{Xét\ x\ lẻ\ :}\\ \mathtt{\Longrightarrow \ x^{y} +1\ chẵn\ do\ đó\ z^{2} \ chẵn}\\ \mathtt{\Longrightarrow z=2\ ( z\ nguyên\ tố)}\\ \mathtt{Thế\ z=2\ khi\ đó\ VT\ trở\ thành\ }\\ \mathtt{x^{y} +1=4}\\ \mathtt{\Longrightarrow x^{y} =3}\\ \mathtt{Do\ x\ và\ y\ là\ số\ nguyên\ tố\ nên\ ta\ xét\ x=2\ hoặc\ y=2}\\ \mathtt{\Longrightarrow \ Không\ có\ nghiệm\ thỏa}\\ \mathtt{Xét\ x >2,y >2\ khi\ đó\ x^{y} >3\ \Longrightarrow \ Vô\ nghiệm\ }\\ \mathtt{Vậy\ x\ chẵn\ hay\ x=2}\\ \mathtt{Ta\ có\ }\\ \mathtt{2^{y} +1=z^{2}}\\ \mathtt{\Longrightarrow 2^{y} =z^{2} -1=( z-1)( z+1)}\\ \mathtt{Do\ đó\ ( z-1)( z+1) \ phải\ chẵn\Longrightarrow \ z\ lẻ\ }\\ \mathtt{Xét\ z=3\ }\\ \mathtt{Khi\ đó\ phương\ trình\ trở\ thành\ }\\ \mathtt{2^{y} +1=9\Longrightarrow y=2}\\ \mathtt{Xét\ z=3k+1\ hoặc\ 3k+2}\\ \mathtt{Khi\ đó\ ( z-1)( z+1) =( 3k+1)( 3k+3) \ \vdots 3\ ( vô\ lý)}\\ \mathtt{Và\ ( z-1)( z+1) =3k( 3k+2) \ \vdots 3\ ( vô\ lý\ )}\\ \mathtt{Do\ vậy\ phương\ trình\ có\ bộ\ nghiệm\ duy\ nhất\ là\ ( x,y,z) =( 2,3,3)} \end{array}[/tex]

Trân trọng! Góp vài bài vui vui.

• Bài 1: Tìm số nguyên [TEX]x, y[/TEX] thỏa mãn [TEX]3x^2+5y^2=255[/TEX]
• Bài 2: Tìm cặp số tự nhiên [TEX](x;y)[/TEX] thỏa mãn [TEX]3\sqrt{x}+11\sqrt{11}=\sqrt{2000}[/TEX]
• Bài 3: Tìm các số nguyên tố [TEX]x,y,z[/TEX] thỏa mãn: [TEX]x^y+1=z^2[/TEX]
• Bài 4: ( Phương trình Pytago ) Giải phương trình nghiệm nguyên dương [TEX]x^2+y^2=z^2[/TEX]
• Bài 5: Tìm các số nguyên [TEX]x,y,z[/TEX] biết [TEX]x^2+y^2+z^2<xy+3y+2z-3[/TEX]

 

[K.o.w]

Trân trọng! Góp vài bài vui vui.

• Bài 1: Tìm số nguyên [TEX]x, y[/TEX] thỏa mãn [TEX]3x^2+5y^2=255[/TEX]
• Bài 2: Tìm cặp số tự nhiên [TEX](x;y)[/TEX] thỏa mãn [TEX]3\sqrt{x}+11\sqrt{11}=\sqrt{2000}[/TEX]
• Bài 3: Tìm các số nguyên tố [TEX]x,y,z[/TEX] thỏa mãn: [TEX]x^y+1=z^2[/TEX]
• Bài 4: ( Phương trình Pytago ) Giải phương trình nghiệm nguyên dương [TEX]x^2+y^2=z^2[/TEX]
• Bài 5: Tìm các số nguyên [TEX]x,y,z[/TEX] biết [TEX]x^2+y^2+z^2<xy+3y+2z-3[/TEX]

[tex]\begin{array}{l} \mathtt{Đề\ bài\ :}\\ \mathtt{Tìm\ số\ nguyên\ x,y\ thỏa\ 3x^{2} +5y^{2} =255}\\ \mathtt{Bài\ làm:}\\ \mathtt{Xét\ 3x^{2} =255-5y^{2}}\\ \mathtt{Vì\ VP\ \vdots 5\ nên\ 3x^{2} \vdots 5\ mà\ ( 5,3) =1\ nên\ x^{2} \vdots 5}\\ \mathtt{\Longrightarrow x\vdots 5}\\ \mathtt{Ta\ đặt\ x=5x_{0} \ thì\ khi\ đó\ phương\ trình\ trở\ thành\ }\\ \mathtt{75x^{2}_{0} +5y^{2} =255}\\ \mathtt{\Longrightarrow 15x^{2}_{0} +y^{2} =51}\\ \mathtt{Vì\ 51\vdots 3\ và\ 15x_{0} \vdots 3\ nên\ y^{2} \vdots 3.Vậy\ ta\ đặt\ y=3y_{0}}\\ \mathtt{Ta\ lại\ có}\\ \mathtt{15x^{2}_{0} +9y^{2}_{0} =51}\\ \mathtt{\Longrightarrow 5x^{2}_{0} +3y^{2}_{0} =17( nhận\ thấy\ chỉ\ có\ cặp\ số\ 5\ và\ 12\ thỏa\ ĐK\ bài\ toán\ nên\ )}\\ \mathtt{Vậy\ 5x^{2}_{0} =5\ hay\ x^{2}_{0} =1\ \Longrightarrow \ x_{0} =\{\pm 1\}}\\ \mathtt{Tương\ tự\ 3y^{2}_{0} =12\ \Longrightarrow \ y^{2}_{0} =4\Longrightarrow y_{0} =\{\pm 2\}}\\ \mathtt{Khi\ đó\ ta\ được\ ( x,y) =( \pm 5,\pm 6) \ thỏa} \end{array}[/tex]

 

[K.o.w]

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\mathsf{Một\ số\ bài\ phương\ pháp\ cực\ hạn\ mọi\ người\ tham\ khảo\ thử}\\
\mathsf{Tìm\ nghiệm\ nguyên\ dương\ của\ các\ phương\ trình\ sau\ }\\
\mathsf{1) \ x+y+z+9=xyz}\\
\mathsf{2) \ xy+yz+xz=xyz+2}\\
\mathsf{3) \ \frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} =2}\\
\mathsf{4) \ 5( a+b+c+d) +7=abcd}\\
\mathsf{5) \ 2( x+y+z) +9=3xyz}
\end{array}$

[tex]\begin{array}{l} \mathtt{1) x+y+z+9=xyz}\\ \mathtt{Bài\ làm}\\ \mathtt{Không\ mất\ tính\ tổng\ quát,giả\ sử\ x\leqslant y\leqslant z.Ta\ có}\\ \mathtt{\frac{1}{xy} +\frac{1}{yz} +\frac{1}{xz} +\frac{9}{xyz} =\frac{x+y+z+9}{xyz} =1}\\ \mathtt{Ngoài\ ra}\\ \mathtt{\frac{1}{xy} +\frac{1}{yz} +\frac{1}{xz} +\frac{9}{xyz} \leqslant \frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{x^{2}} +\frac{9}{x^{2}} =\frac{12}{x^{2}}}\\ \mathtt{\Longrightarrow 1\leqslant \frac{12}{x^{2}} \Longrightarrow x^{2} \leqslant 12.Vậy\ x=\{1,2,3\}}\\ \mathtt{Xét\ x=1.Phương\ trình\ trở\ thành}\\ \mathtt{y+z+10=yz}\\ \mathtt{\Longrightarrow yz-y-z=10}\\ \mathtt{\Longrightarrow y( z-1) -( z-1) =11}\\ \mathtt{\Longrightarrow ( y-1)( z-1) =11}\\ \mathtt{Vì\ y-1\leqslant z-1\ nên\ y-1=1\ và\ z-1=11}\\ \mathtt{\Longrightarrow ( y,z) =( 2,12)}\\ \mathtt{Vậy\ ta\ có\ bộ\ nghiệm\ của\ phương\ trình\ là\ ( x,y,z) =( 1,2,12) \ và\ các\ hoán\ vị\ của\ nó}\\ \mathtt{( Nhận\ xét\ :\ Ta\ không\ cần\ xét\ x=2\ vì\ ta\ cũng\ có\ 1\ bộ\ nghiệm\ hoán\ vị\ của\ bộ\ ban\ đầu\ với\ }\\ \mathtt{( x,y,z) =( 2,1,12) \ )}\\ \mathtt{Xét\ x=3\ khi\ đó\ ta\ được}\\ \mathtt{y+z+12=3yz}\\ \mathtt{\Longrightarrow 3yz-y=z+12}\\ \mathtt{\Longrightarrow y( 3z-1) =z+12}\\ \mathtt{\Longrightarrow y=\frac{z+12}{3z-1} .Vì\ y\ nguyên\ nên\ z+12\vdots 3z-1}\\ \mathtt{Ta\ có:}\\ \mathtt{z+12\vdots 3z-1}\\ \mathtt{\Longrightarrow 3z+36\vdots 3z-1}\\ \mathtt{\Longrightarrow 3z-1+37\vdots 3z-1}\\ \mathtt{\Longrightarrow 37\vdots 3z-1}\\ \mathtt{Vì\ z\geqslant 1\ nên\ 3z-1\geqslant 2}\\ \mathtt{Do\ đó\ 3z-1=37}\\ \mathtt{\Longrightarrow 3z=38\ ( loại\ )}\\ \mathtt{Vậy\ hệ\ có\ nghiệm\ duy\ nhất\ là\ ( x,y,z) =( 1,2,12) \ và\ các\ hoán\ vị\ } \end{array}[/tex]

 

[K.o.w]

[tex]\begin{array}{l} \mathtt{Đề\ bài\ :}\\ \mathtt{Tìm\ số\ nguyên\ x,y\ thỏa\ 3x^{2} +5y^{2} =255}\\ \mathtt{Bài\ làm:}\\ \mathtt{Xét\ 3x^{2} =255-5y^{2}}\\ \mathtt{Vì\ VP\ \vdots 5\ nên\ 3x^{2} \vdots 5\ mà\ ( 5,3) =1\ nên\ x^{2} \vdots 5}\\ \mathtt{\Longrightarrow x\vdots 5}\\ \mathtt{Ta\ đặt\ x=5x_{0} \ thì\ khi\ đó\ phương\ trình\ trở\ thành\ }\\ \mathtt{75x^{2}_{0} +5y^{2} =255}\\ \mathtt{\Longrightarrow 15x^{2}_{0} +y^{2} =51}\\ \mathtt{Vì\ 51\vdots 3\ và\ 15x_{0} \vdots 3\ nên\ y^{2} \vdots 3.Vậy\ ta\ đặt\ y=3y_{0}}\\ \mathtt{Ta\ lại\ có}\\ \mathtt{15x^{2}_{0} +9y^{2}_{0} =51}\\ \mathtt{\Longrightarrow 5x^{2}_{0} +3y^{2}_{0} =17( nhận\ thấy\ chỉ\ có\ cặp\ số\ 5\ và\ 12\ thỏa\ ĐK\ bài\ toán\ nên\ )}\\ \mathtt{Vậy\ 5x^{2}_{0} =5\ hay\ x^{2}_{0} =1\ \Longrightarrow \ x_{0} =\{\pm 1\}}\\ \mathtt{Tương\ tự\ 3y^{2}_{0} =12\ \Longrightarrow \ y^{2}_{0} =4\Longrightarrow y_{0} =\{\pm 2\}}\\ \mathtt{Khi\ đó\ ta\ được\ ( x,y) =( \pm 5,\pm 6) \ thỏa} \end{array}[/tex]

 

[K.o.w]

Ủa thi nhau ra đề hả .-.

Chủ topic làm thử vài bài này đi

Còn 2 bài nữa khá khó với lại hình như bài 2 của bạn thiếu đề phải ko ạ ?
\begin{array}{l} \mathtt{Bài\ 5\ :x^{2} +y^{2} +z^{2} < xy+3y+2z-3}\\ \mathtt{Bài\ làm:}\\ \mathtt{BĐT\ trên\ tương\ đương\ với\ }\\ \mathtt{x^{2} +y^{2} +z^{2} -xy-3y-2z+3< 0}\\ \mathtt{Vì\ x,y,z\ dương\ nên\ }\\ \mathtt{x^{2} +y^{2} +z^{2} -xy-3y-2z+3\leqslant -1}\\ \mathtt{\Longrightarrow x^{2} -xy+\frac{y^{2}}{4} +3\left(\frac{y^{2}}{4} -y+1\right) +z^{2} -2z+1\leqslant 0}\\ \mathtt{\Longrightarrow \left( x-\frac{y}{2}\right)^{2} +3\left(\frac{y}{2} -1\right)^{2} +( z-1)^{2} \leqslant 0}\\ \mathtt{Vì\ VT\ \geqslant 0\ nên\ 0\leqslant VT\leqslant 0}\\ \mathtt{\Longrightarrow \ VT=0}\\ \mathtt{Hay\ \left( x-\frac{y}{2}\right)^{2} =\left(\frac{y}{2} -1\right)^{2} =( z-1)^{2} =0}\\ \mathtt{Ta\ có\ :}\\ \mathtt{x-\frac{y}{2} =0\Longrightarrow 2x-y=0( 1)}\\ \mathtt{\frac{y}{2} -1=0\Longrightarrow y-2=0\Longrightarrow y=2}\\ \mathtt{Thế\ vào\ ( 1) \ ta\ được\ 2x-2=0\Longrightarrow x=1}\\ \mathtt{Tương\ tự\ ta\ được\ z=1}\\ \mathtt{\Longrightarrow ( x,y,z) =( 1,2,1)} \end{array}

 

[TranPhuong27]

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\mathsf{Một\ số\ bài\ phương\ pháp\ cực\ hạn\ mọi\ người\ tham\ khảo\ thử}\\
\mathsf{Tìm\ nghiệm\ nguyên\ dương\ của\ các\ phương\ trình\ sau\ }\\
\mathsf{1) \ x+y+z+9=xyz}\\
\mathsf{2) \ xy+yz+xz=xyz+2}\\
\mathsf{3) \ \frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} =2}\\
\mathsf{4) \ 5( a+b+c+d) +7=abcd}\\
\mathsf{5) \ 2( x+y+z) +9=3xyz}
\end{array}$

3) [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2[/tex]
Không mất tính tổng quát, giả sử [tex]x\geq y\geq z > 0[/tex]
Ta có: [tex]2=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{3}{z}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow z \leq 1,5 \Leftrightarrow z=1[/tex]
Khi đó ta có [tex]1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \leq \frac{2}{y} \Leftrightarrow y\leq 2 \Leftrightarrow y=(1;2)[/tex]
TH1: [TEX]y=1 \rightarrow \frac{1}{x}=0[/TEX] ( loại )
TH2: [TEX]y=2 \rightarrow x=2[/TEX] ( chọn )
Vậy tập nghiệm nguyên dương của hệ là [TEX](x;y;z)=(2;2;1)[/TEX] và các hoán vị tương ứng.
____
p/s: mình sửa đề lại rồi ạ, đánh nhầm tí

 

[K.o.w]

Ủa thi nhau ra đề hả .-.

Chủ topic làm thử vài bài này đi

[tex]\begin{array}{l} \mathtt{Bài\ 2\ :Tìm\ cặp\ số\ tự\ nhiên\ ( x,y) \ thỏa}\\ \mathtt{3\sqrt{x} +11\sqrt{y} =\sqrt{2000}}\\ \mathtt{Bài\ làm\ :}\\ \mathtt{Ta\ có}\\ \mathtt{3\sqrt{x} +11\sqrt{y} =20\sqrt{5}}\\ \mathtt{\Longrightarrow 3\sqrt{x} +11\sqrt{y} =9\sqrt{5} +11\sqrt{5} =3\sqrt{45} +11\sqrt{5}}\\ \mathtt{\Longrightarrow \ ( x,y) =( 45,5)} \end{array}[/tex]

 

[Lê Tự Đông]

Bài 2: Tìm cặp số tự nhiên (x;y)(x;y)(x;y) thỏa mãn 3x−−√+11y√=2000−−−−√

Ta có:
$3\sqrt{x} = \sqrt{2000} - 11\sqrt{y}$
=> $3x = 2000 + 11y - 22.\sqrt{2000.y} = 2000 + 11y - 22.20.\sqrt{5y}$
Do x,y là số tự nhiên nên $40.\sqrt{5y}$ cũng là số tư nhiên => 5y là số chính phương
=> $y = 5a^{2}$ (a thuộc N)
Tương tự ta được $x = 5b^{2}$ (b thuộc N)
Thay vào phương trình
=> $3b.\sqrt{5} + 11a.\sqrt{5} = 20.\sqrt{5}$
=> 3b + 11a = 20
=> b=3, a= 1
=> x= 45, a = 5

 

[TranPhuong27]

[tex]\begin{array}{l} \mathtt{Bài\ 2\ :Tìm\ cặp\ số\ tự\ nhiên\ ( x,y) \ thỏa}\\ \mathtt{3\sqrt{x} +11\sqrt{y} =\sqrt{2000}}\\ \mathtt{Bài\ làm\ :}\\ \mathtt{Ta\ có}\\ \mathtt{3\sqrt{x} +11\sqrt{y} =20\sqrt{5}}\\ \mathtt{\Longrightarrow 3\sqrt{x} +11\sqrt{y} =9\sqrt{5} +11\sqrt{5} =3\sqrt{45} +11\sqrt{5}}\\ \mathtt{\Longrightarrow \ ( x,y) =( 45,5)} \end{array}[/tex]

Làm chưa chặt chẽ lắm, mình sẽ gửi lời giải đây:
Bài 2:
Gọi [TEX](x;y)=d \rightarrow x=x_{1}d, y=y_{1}d[/TEX] với [TEX]( x_{1},y_{1})=1[/TEX]
Khi đó: [TEX]\sqrt{d}(3\sqrt{x_{1}} + 11\sqrt{y_{1}})=\sqrt{2000}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow d(9x_{1}+121y_{1}+66\sqrt{x_{1}y_{1}})=2000[/TEX]
Vì [TEX]x_{1},y_{1}, d[/TEX] đều là các số tự nhiên nên suy ra [TEX]x_{1}y_{1}[/TEX] là số chính phương.
Mà [TEX](x_{1},y_{1})=1 \rightarrow x_{1}=a^2,y_{1}=b^2[/TEX] với [TEX]( a,b)=1[/TEX]
Khi đó: [TEX]d(3a+11b)^2=2000[/TEX]
Vì [TEX]ab=0[/TEX] không thỏa mãn phương trình [TEX]\rightarrow 3a+11b \geq 14[/TEX] và [TEX]2000=20^2.5[/TEX] nên suy ra [TEX]3a+11b=20[/TEX]
Từ đó giải được [TEX](a;b)=(3;1)[/TEX] [TEX]\rightarrow[/TEX] [TEX](x;y)=(45;5)[/TEX] ( thỏa )

 

[TranPhuong27]

Ta có:
$3\sqrt{x} = \sqrt{2000} - 11\sqrt{y}$
=> $3x = 2000 + 11y - 22.\sqrt{2000.y} = 2000 + 11y - 22.20.\sqrt{5y}$
Do x,y là số tự nhiên nên $40.\sqrt{5y}$ cũng là số tư nhiên => 5y là số chính phương
=> $y = 5a^{2}$ (a thuộc N)
Tương tự ta được $x = 5b^{2}$ (b thuộc N)
Thay vào phương trình
=> $3b.\sqrt{5} + 11a.\sqrt{5} = 20.\sqrt{5}$
=> 3b + 11a = 20
=> b=3, a= 1
=> x= 45, a = 5

Đoạn đặt kia bạn giải thích tại sao không đặt [TEX]y=125a^2[/TEX] được không? Nó vẫn là số chính phương mà.

 

[Lê Tự Đông]

Đoạn đặt kia bạn giải thích tại sao không đặt [TEX]y=125a^2[/TEX] được không? Nó vẫn là số chính phương mà.

$y=125a^{2} = 5.25.a^{2}= 5(5a)^{2}$
Sau đó đặt m= 5a thì ta vẫn được $y=5m^{2}$ thui....

 

[Lê Tự Đông]

Trân trọng! Góp vài bài vui vui.

• Bài 1: Tìm số nguyên [TEX]x, y[/TEX] thỏa mãn [TEX]3x^2+5y^2=255[/TEX]
• Bài 2: Tìm cặp số tự nhiên [TEX](x;y)[/TEX] thỏa mãn [TEX]3\sqrt{x}+11\sqrt{y}=\sqrt{2000}[/TEX]
• Bài 3: Tìm các số nguyên tố [TEX]x,y,z[/TEX] thỏa mãn: [TEX]x^y+1=z^2[/TEX]
• Bài 4: ( Phương trình Pytago ) Giải phương trình nghiệm nguyên dương [TEX]x^2+y^2=z^2[/TEX]
• Bài 5: Tìm các số nguyên [TEX]x,y,z[/TEX] biết [TEX]x^2+y^2+z^2<xy+3y+2z-3[/TEX]

Bài 4: Đặt (x,y,z) = d (d>0)
=> x=ad
y=bd
z = cd với a,b,c là các số tự nhiên và (a,b,c) = 1
=> $x^{2} + y^{2} = (ad)^{2} + (bd)^{2} = z^{2} = (cd)^{2}$
=> $a^{2} + b^{2} = c^{2}$
Do (a,b,c) = 1 nên a và b có 1 sô lẻ, giả sử đó là a
Ta có: $a^{2} = (c-b)(b+c)$
Đặt $(c-b,b+c) = d_{1}$ thì $d\a^{2}$ nên $d_{1}$ lẻ.
Mặt khác $d_{1}\(c-b+b+c)$ hay $d_{1}\c$ (do $d_{1}$ lẻ)
và $d_{1}\(b+c-c+b)$ hay $d_{1}\b$
Mà (a,b,c)=1 nên $d_{1}=1$
Suy ra $b+c = m^{2}$ và $c-b = n^{2}$ với m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và m>n.
=> $a^{2}=(m.n)^{2}$ => a=m.n => m,n lẻ (do a lẻ)
và $b = \frac{m^{2}-n^{2}}{2}$
$c = \frac{m^{2}+n^{2}}{2}$
Vậy nghiệm của phương trình là
$x = d.m.n$
$y = d.\frac{m^{2}-n^{2}}{2}$
$z = d.\frac{m^{2}-n^{2}}{2}$
hoặc
$x = d.\frac{m^{2}-n^{2}}{2}$
$y = d.m.n$
$z = d.\frac{m^{2}-n^{2}}{2}$
Với d >0, (m,n)=1, m>n, m,n lẻ.

 

[K.o.w]

[tex]\begin{array}{l} \mathtt{Bài\ 1:Tìm\ các\ nghiệm\ nguyên\ của\ các\ phương\ trình\ sau\ }\\ \mathtt{1) \ 3x^{2} -4y^{2} =13}\\ \mathtt{2) 19x^{2} +28y^{2} =2009}\\ \mathtt{3) x^{2} =2y^{2} -8y+3}\\ \mathtt{Bài\ 2\ :Chứng\ minh\ không\ tồn\ tại\ số\ nguyên\ x,y,z\ thỏa}\\ \mathtt{\ \ \ \ x^{3} +y^{3} +z^{3} =x+y+z+2008}\\ \end{array}[/tex]
Mọi người tham khảo thêm một số bài với lại bạn nào giúp mình bài 2 với,nghĩ cả sáng chưa ra