Toán Một số bài toán VD, VDC chuyên đề nguyên hàm - tích phân

[chi254]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Ôn VDC thôi nào mng ơi ~
Kiến thức cơ bản và các câu nhận biết thông hiểu, mình sẽ cập nhật ở topic : [Ôn thi THPTQG] Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng


Còn riêng topic này, chỉ toàn những câu VD, VDC. (các câu 40 trở lên) nhé


Bài 1: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục và nhận giá trị dương với mọi [imath]x \in (0;+ \infty)[/imath], có đạo hàm xác định và nhận giá trị dương trên [imath](0;\infty)[/imath] thỏa mãn hệ thức [imath][f'(x)]^2 = x.f(x) + x[/imath] và [imath]f(1) = 3[/imath]. Tính [imath]f(4)[/imath]

• Ta có: [imath][f'(x)]^2 = x.f(x) + x \iff [f'(x)]^2 = x(f(x) + 1) \iff f'(x) = \sqrt{x}.\sqrt{f(x) + 1} \iff \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x) + 1}} = \sqrt{x}[/imath]
• Lấy nguyên hàm 2 vế theo biến [imath]x[/imath] ta có: [imath]\displaystyle \int \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x) + 1}} = \displaystyle \int \sqrt{x} \iff 2\sqrt{f(x) + 1} = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + C[/imath]
• Thay [imath]x = 1[/imath] ta có: [imath]2\sqrt{f(1) + 1} = \dfrac{2}{3}.1.\sqrt{1} + C \iff C = \dfrac{10}{3}[/imath]
• Thay [imath]C = \dfrac{10}{3}[/imath] ta có: [imath]2\sqrt{f(x) + 1} = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + \dfrac{10}{3} \iff f(x) = -1 + \left(\dfrac{1}{3}x\sqrt{x} + \dfrac{5}{3} \right)^2[/imath]
• Thay [imath]x = 4 \to f(4) = \dfrac{160}{9}[/imath]

Bài 2: Cho biết [imath]\displaystyle \int _0^{\sqrt{3}} \dfrac{(x^5 + 2x^3 + x + 1)dx}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}.\sqrt{3}[/imath]; trong đó [imath]a;b;c;d[/imath] là những số nguyên dương và các phân số [imath]\dfrac{a}{b}; \dfrac{c}{d}[/imath] tối giản. Gía trị của biểu thức [imath]T = a +b + c+ d[/imath] là:

• Ta có: [imath]I = \displaystyle \int _0^{\sqrt{3}} \dfrac{(x^5 + 2x^3 + x + 1)dx}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}= \displaystyle \int _0^{\sqrt{3}} \dfrac{x(x^4 + 2x^2 + 1)dx}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}+\displaystyle \int _0^{\sqrt{3}} \dfrac{dx}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} = \displaystyle \int _0^{\sqrt{3}} x\sqrt{x^2 + 1}dx + \displaystyle \int _0^{\sqrt{3}} \dfrac{dx}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} = M + N[/imath]
• Với [imath]M = \displaystyle \int _0^{\sqrt{3}} x\sqrt{x^2 + 1}dx[/imath]; Đặt [imath]\sqrt{x^2 + 1} = t \to t^2 = x^2 + 1 \to 2tdt = 2xdx \to dt = dx[/imath]
• Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = 0\\ x = \sqrt{3} \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}t = 1 \\ t= 2 \end{matrix}\right.[/imath]
• Khi đó: [imath]M = \displaystyle \int _1^2 t(tdt) = \displaystyle \int _1^2 t^2dt = \dfrac{7}{3}[/imath]
• Với [imath]N = \displaystyle \int _0^{\sqrt{3}} \dfrac{dx}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}[/imath]
• Đặt [imath]t = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \to dt = \dfrac{dx}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}[/imath]
• Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = 0\\ x = \sqrt{3} \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}t = 1 \\ t= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.[/imath]
• Khi đó [imath]N =\displaystyle \int _0^{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} dt = \dfrac{\sqrt{3}}{2}[/imath]
• Suy ra: [imath]I = M + N = \dfrac{7}{3} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \to a = 7; b = 3;c = 1; d = 2[/imath]
• [imath]T = a + b + c+ d = 13[/imath]

Bài 3: Cho hàm số [imath]y = f(x)[/imath] liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên [imath]\mathbb{R}[/imath] thỏa mãn các điều kiện sau: [imath]3x^2 + 2f'(x).x + (2f(x) - f''(x)) = 0[/imath] với mọi [imath]x \in \mathbb{R}; f'(0) = 0; f(0) = \dfrac{-1}{2}[/imath]. Tính [imath]f(3)[/imath]

• Từ giả thiết ta có: [imath]3x^2 = f''(x) - 2(f(x) + x.f'(x))[/imath]
• Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: [imath]x^3 + C = f'(x) - 2xf(x)[/imath]
• Thay [imath]x = 0[/imath] vào biểu thức ta có: [imath]f'(0) - 2.0.f(0) = a = 0[/imath]
• Suy ra: [imath]f'(x) - 2xf(x) = x^3[/imath]
• Nhân cả 2 vế với [imath]e^{-x^2}[/imath]ta được:[imath]e^{-x^2}(f'(x) - 2xf(x)) = x^3.e^{-x^2}[/imath]
• Nguyên hàm 2 vế ta được: [imath]e^{-x^2}.f(x) = \dfrac{1}{2}.e^{-x^2}(-x^2 - 1) + b[/imath]
• Thay [imath]x = 0[/imath] suy ra [imath]b= 0[/imath]
• Khi đó: [imath]f(x).e^{-x^2} = \dfrac{1}{2}.e^{-x^2}(-x^2 - 1) \to f(x) =- \dfrac{x^2 + 1}{2}[/imath]
• Thay [imath]x = 3 \to f(3) = 5[/imath]

Bài 4: Cho hàm số [imath]y = f(x)[/imath] có đạo hàm xác định trên [imath]\mathbb{R}[/imath] và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: [imath]e^{f(x)} = e^{f'(x) + 1}(f(x) - f'(x)); f(1) = 0; f(x) \ne 1[/imath] với mọi [imath]x \in \mathbb{R}[/imath]. Tính [imath]f(2)[/imath]

• Từ giả thiết ta có: [imath]e^{f(x) - f'(x) - 1} =f(x) - f'(x) = 1 + (f(x) - f'(x) - 1)[/imath]
• Nhận xét: Đây là dạng [imath]e^u = 1 + u[/imath]
• Suy ra: [imath]u = 0 \to f(x) - f'(x) -1 = 0 \iff \dfrac{f'(x)}{f(x) - 1} = 1[/imath]
• Lấy nguyên hàm 2 vế có: [imath]\ln |f(x) - 1)| = x + C[/imath]
• Thay [imath]x = 1[/imath] ta có: [imath]C = -1[/imath]
• Suy ra: [imath]\ln |f(x) -1| = x - 1[/imath]
• Có [imath]f(1) = 0[/imath] nên suy ra: [imath]f(x) = 1 - e^{x-1}[/imath]
• Vậy [imath]f(2) = 1 - e[/imath]

Bài 5: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục và có đạo hàm xác định trên [imath](0;+\infty)[/imath]. Biết rằng [imath]f(x) > 0[/imath] với mọi [imath]x \in (0;+ \infty)[/imath] thỏa mãn [imath]f(x)(\ln f(x) -1) + x(f'(x) - 2f(x)) = 0[/imath] và [imath]f(1) =e^2[/imath]. Tính [imath]\displaystyle \int _1^2 xf(x)dx[/imath] nằm trong khoảng nào?
[imath]A.(0;6)[/imath]
[imath]B.(6;12)[/imath]
[imath]C.(18;24)[/imath]
[imath]D.(12;18)[/imath]

• Từ giả thiết ta có: [imath]\ln f(x) -1 + \dfrac{xf'(x)}{f(x)} - 2x = 0 \iff \ln f(x) + \dfrac{x.f'(x)}{f(x)} = 2x + 1 \iff (x.\ln f(x))' = 2x + 1[/imath]
• Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: [imath]x.\ln f(x) = x^2 +x + C[/imath]
• Thay [imath]x = 1[/imath] ta có: [imath]C = 0[/imath]
• [imath]x.f(x) = x^2 + x[/imath]
• Do xét [imath]x > 0[/imath] nên [imath]\ln f(x) = x + 1 \to f(x) = e^{x + 1} \to \displaystyle \int _1^2x.f(x)dx = \displaystyle \int _0^1x.e^{x+1}dx[/imath]
• Chọn C

 

[chi254]

Bài 6: Cho hàm số [imath]f(x)[/imath] có đạo hàm liên tục trên [imath][0;1][/imath] thỏa mãn [imath]f(0) = 1, \displaystyle \int _0^1 [f'(x)]^2dx = \dfrac{1}{30} , \displaystyle \int (2x - 1)f(x)dx = \dfrac{-1}{30}[/imath]. Tính tích phân [imath]\displaystyle \int _0^1 f(x)dx[/imath]

• Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:
• [imath]\displaystyle \int _0^1 (2x -1)f(x)dx = \displaystyle \int _0^1 f(x) d(x^2 - x) = ((x^2 - x)f(x))|_0^1 - \displaystyle \int _0^1 (x^2 -x)f'(x)dx = -\displaystyle \int _0^1 (x^2 - x)f'(x)dx[/imath]
• [imath]\to \displaystyle \int _0^1 (x^2 - x)f'(x) dx = \dfrac{1}{30}[/imath]
• Ta có: [imath]\displaystyle \int _0^1 (x^2 - x)^2dx = \dfrac{1}{30}[/imath]
• Suy ra: [imath]\displaystyle \int _0^1 [f'(x)]^2dx - 2 \displaystyle \int _0^1 (x^2 - x)f'(x) dx + \displaystyle \int _0^1 (x^2 - x)^2dx = 0 \iff \displaystyle \int _0^1 [f'(x) - (x^2 - x)]^2dx = 0[/imath]
• Suy ra: [imath]f'(x) = x^2 -x[/imath]. Hay [imath]f(x) = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} + C[/imath]
• Lại có: [imath]f(0) = 1 \to C = 1[/imath]
• Khi đó: [imath]\displaystyle \int _0^1 f(x)dx = \displaystyle \int _0^1 \left (\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} + 1\right )dx = \dfrac{11}{12}[/imath]

Bài 7: Cho 2 hàm số [imath]f(x); g(x)[/imath] có đạo hàm trên [imath]\mathbb{R}[/imath] và thỏa mãn [imath]f'(x) + g(x) = x , g'(x) + f(x) = -x[/imath] với mọi [imath]x \in \mathbb{R}[/imath]. Biết [imath]f0) = g(0) = 1[/imath]. Tính [imath]f(1)[/imath]

• Đặt [imath]h(x) = f(x) + g(x)[/imath]
• Ta có: [imath]h'(x) = g'(x) + f'(x)[/imath]
• Từ giả thiết có: [imath]h'(x) + h(x) = f(x) + g(x) + g'(x) + f'(x) = -x + x = 0[/imath]
• Nhân [imath]e^x[/imath] vào 2 vế ta có: [imath](h(x).e^x)' = 0 \to h(x).e^x = C[/imath]
• Lại có: [imath]f(0) = g(0) = 1 \to h(0) = 2 \to C = 2[/imath]
• Vậy [imath]f(x) + g(x) = \dfrac{2}{e^x}\to g(x) = \dfrac{2}{e^x} - f(x) \to g'(x) = -\dfrac{2}{e^x} - f'(x)[/imath]
• Lại có[imath]g'(x) = -x -f(x) \to -x - f(x) = -\dfrac{2}{e^x} - f'(x) \iff f'(x) - f(x) = x - \dfrac{2}{e^x} \iff f'(x).e^{-x} - f(x).e^{-x} = x.e^{-x} - \dfrac{2}{e^2x} \iff (f(x).e^{-x})' = x.e^{-x} - \dfrac{2}{e^2x}[/imath]
• Suy ra: [imath]f(x).e^{-x} = \displaystyle \int \left (x.e^{-x} - \dfrac{2}{e^2x} \right)dx = -x.e^{-x} - e^{-x} + \dfrac{1}{2^{2x}} + C_1[/imath]
• [imath]f(0) = 1 \to C_1 = 1[/imath]
• Vậy [imath]f(x) = -x - x + \dfrac{1}{e^x} + e^x[/imath]
• Khi đó: [imath]f(1) = -2 + \dfrac{1}{e} + e[/imath]

Bài 8: Cho [imath]\displaystyle \int _0^{\dfrac{\pi}{4}} \tan xf(\cos ^2x)dx = 1[/imath] và [imath]\displaystyle \int _e^{e^2}\dfrac{f(\ln ^2x)}{x\ln x}dx = 1[/imath]. Tính [imath]I = \displaystyle \int _\dfrac{1}{4}^2 \dfrac{f(2x)}{x}dx[/imath]

• Với [imath]M = \displaystyle \int _0^{\dfrac{\pi}{4}} \tan xf(\cos ^2x)dx = 1[/imath]
• Đặt [imath]t = \cos ^2x \to dt = -2\sin x \cos xdx = -2\cos ^2x.\tan x dx = -2t.\tan x dt \to \tan x dx = \dfrac{-dt}{2t}[/imath]
• Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = 0 \\ x = \dfrac{\pi}{4} \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}t = 1 \\ t = \dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.[/imath]
• Khi đó [imath]M = -\displaystyle \int _1^\dfrac{1}{2}f(t)\dfrac{dt}{2t} = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int _\dfrac{1}{2}^1 \dfrac{f(t)}{t}dt = 1 \to \displaystyle \int _\dfrac{1}{2} ^1 \dfrac{f(t)}{t}dt = 2[/imath]

• Với [imath]N = \displaystyle \int _e^{e^2}\dfrac{f(\ln ^2x)}{x\ln x}dx = 1[/imath]
• Tương tự ta có: [imath]\displaystyle \int _1^4\dfrac{f(t)}{t}dt = 2[/imath]

• [imath]I = \displaystyle \int _\dfrac{1}{4}^2 \dfrac{f(2x)}{x}dx[/imath]
• Đặt [imath]t = 2x[/imath]
• Đổi cận: [imath]\left\{\begin{matrix}x = \dfrac{1}{4} \\ x = 2 \end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}t = \dfrac{1}{2} \\ t = 4 \end{matrix}\right.[/imath]
• [imath]I = \displaystyle \int _\dfrac{1}{2}^4 \dfrac{f(t)}{t}dx = \displaystyle \int _\dfrac{1}{2}^1 \dfrac{f(t)}{t}dx + \displaystyle \int _1^4 \dfrac{f(t)}{t}dx = 2 + 2 = 4[/imath]