U
uocmoxanh9x
tưởng bài vớ vẩn mà cúng có nhiều người làm ghê nhỉ em có cách gắn hơn nhiều cơ hôm lao em pos cho quên mất rồi
:x :x :x :x :x :x
:x :x :x :x :x :x
A
ancksunamun
A
ancksunamun
T
thamtusieuquay
Bài toán 2: Xét các số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc+a+c=b .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
[tex] P= \frac{2}{a^2+1} -\frac{2}{b^2+1} +\frac{3}{c^2+1} [/tex]
Biến đổi giả thiết thành a+c=b(1-ac) >0 => [tex] a<\frac{1}{c} ; b =\frac {a+c}{1-ac} (1) [/tex]
Thay (1) vào P và biến đổi ta có:
[tex] P=\frac{2}{a^2+1} +\frac{3}{c^2+1} +\frac{2.(a+c)^2}{(1+a^2)(1+c^2)} -2 [/tex] (2)
Xét hàm số [tex] f(x) =\frac{1}{x^2+1} +\frac {(x+c)^2}{(1+x^2)(1+c^2)} [/tex] với [tex] 0 < x < \frac{1}{c} [/tex] và coi c là tham số (c>0)
Ta có [tex] f'(x)=\frac{-2c(x^2+2cx-1)}{(1+x^2)^2.(1+c^2)} [/tex]
Trên đoạn (0 ;1/c) thì f'(x) =0 có nghiệm duy nhất là [tex] x_0 =-c +sqrt{c^2+1} [/tex] với [tex] 0 < x_0 < \frac{1}{c} [/tex].Qua [tex] x_0[/tex] thì f'(x) đổi dấu từ dương sang âm nên f(x) đạt cực đại tại [tex] x_0[/tex] => [tex] f(x) \leq f(x_0) =1+\frac{c}{sqrt{c^2+1}} [/tex]
Từ đó theo (2) ta có:
[tex] P=2f(x) -2 +\frac{3}{c^2+1} \leq \frac{2c}{sqrt{c^2+1}}+\frac{3}{c^2+1} =g(c) [/tex]
Xét hàm số g(c) với c>0
Ta có: [tex] g'(c)=\frac{2(1-8c^2)}{(c^2+1)^2 (3c+sqrt{c^2+1})} [/tex]
Với c>0 thì g'(c) =0 tại [tex] c_0 =\frac{1}{sqrt{8}} [/tex] và qua [tex] c_0 [/tex] thì g'(c) đổi dấu từ dương sang âm nên [tex] g(c_0) [/tex] là giá trị cực đại ,suy ra [tex] P \leq g(\frac{1}{sqrt{8}}) =\frac{10}{3} [/tex]
Vậy [tex] P_{max}=\frac{10}{3} [/tex] với [tex] a=\frac{sqrt{2}}{2} ;b=sqrt{2} ;c =\frac {1}{sqrt{8}} [/tex]
Như vậy bài toán đã giải xong.
[tex] P= \frac{2}{a^2+1} -\frac{2}{b^2+1} +\frac{3}{c^2+1} [/tex]
Biến đổi giả thiết thành a+c=b(1-ac) >0 => [tex] a<\frac{1}{c} ; b =\frac {a+c}{1-ac} (1) [/tex]
Thay (1) vào P và biến đổi ta có:
[tex] P=\frac{2}{a^2+1} +\frac{3}{c^2+1} +\frac{2.(a+c)^2}{(1+a^2)(1+c^2)} -2 [/tex] (2)
Xét hàm số [tex] f(x) =\frac{1}{x^2+1} +\frac {(x+c)^2}{(1+x^2)(1+c^2)} [/tex] với [tex] 0 < x < \frac{1}{c} [/tex] và coi c là tham số (c>0)
Ta có [tex] f'(x)=\frac{-2c(x^2+2cx-1)}{(1+x^2)^2.(1+c^2)} [/tex]
Trên đoạn (0 ;1/c) thì f'(x) =0 có nghiệm duy nhất là [tex] x_0 =-c +sqrt{c^2+1} [/tex] với [tex] 0 < x_0 < \frac{1}{c} [/tex].Qua [tex] x_0[/tex] thì f'(x) đổi dấu từ dương sang âm nên f(x) đạt cực đại tại [tex] x_0[/tex] => [tex] f(x) \leq f(x_0) =1+\frac{c}{sqrt{c^2+1}} [/tex]
Từ đó theo (2) ta có:
[tex] P=2f(x) -2 +\frac{3}{c^2+1} \leq \frac{2c}{sqrt{c^2+1}}+\frac{3}{c^2+1} =g(c) [/tex]
Xét hàm số g(c) với c>0
Ta có: [tex] g'(c)=\frac{2(1-8c^2)}{(c^2+1)^2 (3c+sqrt{c^2+1})} [/tex]
Với c>0 thì g'(c) =0 tại [tex] c_0 =\frac{1}{sqrt{8}} [/tex] và qua [tex] c_0 [/tex] thì g'(c) đổi dấu từ dương sang âm nên [tex] g(c_0) [/tex] là giá trị cực đại ,suy ra [tex] P \leq g(\frac{1}{sqrt{8}}) =\frac{10}{3} [/tex]
Vậy [tex] P_{max}=\frac{10}{3} [/tex] với [tex] a=\frac{sqrt{2}}{2} ;b=sqrt{2} ;c =\frac {1}{sqrt{8}} [/tex]
Như vậy bài toán đã giải xong.
A
ancksunamun
hay quá anh ah.cảm ơn anh nhá.qua bài này em học hỏi đc khá nhiều, có lẽ dùng cách đạo hàm là hay nhất.làm bài này đúng là chịu khó thật.ẩn nó rối rắm nên em bị mắc lung tung ko ra đc,rồi nản.lần sau anh ra bài đặt ẩn đơn giản hơn nhá.
U
(