Cho a,b,c thuộc [0,2] ,a+b+c=3 .CMR:
[tex] a^2+b^2+c^2 \leq 5 [/tex]
Bài này đơn giản ,bạn có thể giải như sau: (phương pháp khảo sát hàm từng biến)
Do vai trò a,b,c như nhau nên ta có thể giả sử a=max{a,b,c}
Đặt S= [tex] a^2+b^2 +(3-a-b)^2 [/tex]
S= [tex] 2a^2 +2a(b-3) +2b^2-6b+9 =f(a) [/tex]
Ta có: f'(a) =4a +2(b-3)
f'(a)=0 tại [tex] a=\frac{3-b}{2} [/tex]
Xét 2 trường hợp:
1) Xét [tex] 0 \leq b \leq 1 [/tex]
=>[tex] \frac{3-b}{2} \geq 1 [/tex]
Vẽ bảng biến thiên ta nhận thấy f(a) đạt giá trị lớn nhất tại a=1 hoặc a=2
Ta có: [tex]f(1)= 2b^2 -4b+5 [/tex]
[tex]f(2)= 2b^2 -2b+5 [/tex]
=>[tex] f(2) \geq f(1) [/tex]
Đặt [tex] g(b) = 2b^2-2b+5 [/tex] với b thuộc[0,1]
g'(b)= 4b -2
=> g(b) đạt giá trị lớn nhất tại b=0 hoặc b=1
Vậy S đạt giá trị lớn nhất là 5 tại (a,b,c)=(2,1,0);(2,0,1) (do vai trò a,b,c như nhau nên có thêm các trường hợp (1,0,2);(1,2,0);(0,1,2);(0,2,1)
2)Xét [tex] 1 \leq b \leq 2 [/tex]
=> [tex] \frac{3-b}{2} \leq 1 [/tex]
Vẽ bảng biến thiên theo biến là a trên đoạn [1,2]
=> [tex] S_{max} =f(2) =2b^2 -2b+5[/tex] với b thuộc [1,2]
Đặt [tex] g(b) = 2b^2-2b+5 [/tex] với b thuộc[1,2]
[tex]g'(b)= 4b -2 \geq 2 > 0[/tex]
=> g(b) đồng biến trên đoạn [1,2]
=> [tex] g(b)_{max} =g(2) =9 [/tex] khi b=2 và a=2 (vô lí do a+b+c=3 và a,b,c thuộc [0,2] )
vậy [tex] a^2+b^2+c^2 \leq 5 [/tex]
Đẳng thức xảy ra khi : (a,b,c)=(2,1,0);(2,0,1);(1.2.0);(1,0,2);(0,1,2);(0,2,1)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn