Mỗi Tuần Vài Bài Bất Đẳng Thức Và ==> Cách giải

[trongnga]

"$\frac{3{A}^{2}+1}{({{A}^{2}+A)}^{3}}$" hok bít nghĩa là gì nhỉ

 

[haiquan92]

Đó là cách viết các phần tử toán học trong hocmai.vn mà nhưng mình hok bít vít thật chán đó! bạn hỏi các bạn khác nhé!

 

[quocneee]

chúng ta có thể chuyển b sang a sau đó chứng minh bằng cách tìm cực đại,cực tiểu

 

[forever_lucky07]

Hi, Các bạn có thể làm thử vài bài sau xem sao nhé:
Bài 1: Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a^2}{b^2 +c^2} +\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2} \geq {\frac{a}{b+c}}+\frac{b}{c+a} + \frac{c}{{a + b}}[/TEX]
Bài 2: Cho x > 0, y > 0, z > 0 và xyz = 1.
Chứng minh rằng
[TEX]\frac{1}{{x^3 + y^3 + 1}} + \frac{1}{{y^3 + z^3 + 1}} + \frac{1}{{z^3 + x^3 + 1}} \leq 1[/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

Hi, Các bạn có thể làm thử vài bài sau xem sao nhé:
Bài 1: Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a^2}{b^2 +c^2} +\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2} \geq {\frac{a}{b+c}}+\frac{b}{c+a} + \frac{c}{{a + b}}[/TEX]
Bài 2: Cho x > 0, y > 0, z > 0 và xyz = 1.
Chứng minh rằng
[TEX]\frac{1}{{x^3 + y^3 + 1}} + \frac{1}{{y^3 + z^3 + 1}} + \frac{1}{{z^3 + x^3 + 1}} \leq 1[/TEX]

làm tạm bài 2
[TEX]x^3+y^3+1 \geq xy(x+y)+1=xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)[/TEX]
nên
[TEX]\sum \frac{1}{{x^3 + y^3 + 1}} \leq \sum \frac{1}{xy(x+y+z)}=\sum \frac{z}{x+y+z}=1[/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

bài 1:
Với [TEX]a;b>0[/TEX]
Ta có BĐT[TEX]a^2+b^2<(a+b)^2 => \frac{c^}{a^2+b^2} > \frac{c^2}{(a+b)^2}=\frac{c}{a+b}[/TEX]
Tương tự ta có các BĐT tương tự . Cộng vào ta được BĐT cần CM

sai rồi.Quang sửa lại đi b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(
Bài này đạo hàm cái là xong.

 

[951993]

a2|a+1 +b2|b+1>=(a+b)2|a+b+2=1|3(bất đẳng thức côsi-swatr)

 

[minhphuc1995]

Em có một bài hay nhưng không khó dành cho các anh các chị đây:
Cho các số [TEX] a_1, a_2, a_3, ..., a_n[/TEX] và một số b bất kì thoả mãn:
[TEX] a_1.a_2...a_n \geq m[/TEX] trong đó m là một số bất kì nào đó.
Chứng minh rằng:
[TEX] (a_1+b).(a_2+b)...(a_n+b) \geq \frac{n^n.m^(n-1).b}{(n-1)^(n-1)}[/TEX]
Bài này có áp dụng một kĩ thuật rất độc đáo, không cần dùng các phuơng pháp của cấp 3. Các anh các chị thử làm xem sao!!!

 

[minhphuc1995]

Chú ý: ở dưới mẫu của vế phải là (n-1) mũ (n-1) , còn ở tử là m mũ (n-1).

 

[vietnhalk]

Hộc...&gt;-
Góp một bài cho mọi người :
Cho [TEX]x,y,z \geq 0[/TEX] thoả mãn xy+yz+xz=1
Tìm max [TEX]\sum x(1-y^2)(1-z^2) [/TEX]

 

[trung0123]

cho [TEX]n[/TEX] thuộc [TEX]N[/TEX] ; [TEX]n\geq 2[/TEX] ; [TEX]a_1,a_2...a_n[/TEX] thưộc [TEX][0;1][/TEX]
Cm
[TEX]\sum_{cyc}\frac{a_1}{S-a_1+1}+(1-a_1)(1-a_2)...(1-a_n) \leq 1[/TEX]
trong đó [TEX]S=a_1+a_2+...+a_n[/TEX]

 

[trung0123]

[TEX] \red x_i[/TEX] thuộc [TEX]\red[0;1][/TEX]
Cm
[TEX]\blue x_1+x_2+...+x_n+x_1.x_2+x_2.x_3-...-x_n.x_1 \leq [\frac{n}{2}][/TEX]

 

[goodboy_1507]

thử 1 bài hay

cho 0 \leq x \leq 1
Tìm cực trị của p = 13 [TEX]\sqrt{x^2 - x^4}[/TEX] + 9 [TEX]\sqrt{x^4 +x^2}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

cho [TEX]n[/TEX] thuộc [TEX]N[/TEX] ; [TEX]n\geq 2[/TEX] ; [TEX]a_1,a_2...a_n[/TEX] thưộc [TEX][0;1][/TEX]
Cm
[TEX]\sum_{cyc}\frac{a_1}{S-a_1+1}+(1-a_1)(1-a_2)...(1-a_n) \leq 1[/TEX]
trong đó [TEX]S=a_1+a_2+...+a_n[/TEX]

[TEX]\blue gs:\ \ a_1=max\{a_1,a_2,...,a_n\}[/TEX]

[TEX]\blue \rightarrow \sum_{cyclic} \frac{a_1}{S-a_1+1}\le \frac{S}{S-a_1+1}\ \ (!)[/TEX]

Ta lại có theo [TEX]\blue Am-Gm[/TEX] thì.

[TEX]\blue \frac{ (1-a_2)+(1-a_3).....(1-a_n)+(S-a_1+1) }{n}\ge \sqrt[n]{ (1-a_2)(1-a_3)...(1-a_n)(S-a_1+1) }[/TEX]

[TEX]\blue \rightarrow (1-a_2)(1-a_3)...(1-a_n)(S-a_1+1)\le 1 [/TEX]

[TEX]\blue \rightarrow (1-a_1)(1-a_2)(1-a_3)...(1-a_n) \le \frac{1-a_1}{S-a_1+1} \ \ (!!)[/TEX]

[TEX]\blue (!)+(!!)=Done!![/TEX]

 

[vodichhocmai]

cho 0 \leq x \leq 1
Tìm cực trị của p = 13 [TEX]\sqrt{x^2 - x^4}[/TEX] + 9 [TEX]\sqrt{x^4 +x^2}[/TEX]

y\geqx\geq0. cm: [TEX]13x \sqrt{y^2- x^2} + 9y \sqrt{y^2+x^2} \le\ 16y^2[/TEX]

Gọi [TEX]a,b[/TEX] là trọng số điều chỉnh.

[TEX]VT=\frac{a}{a}.13x \sqrt{y^2- x^2} + \frac{b}{b}9y \sqrt{y^2+x^2} \le\ 16y^2[/TEX]

[TEX]Am-Gm[/TEX]

[TEX]\righ VT\le \frac{13\(a^2x^2+y^2-x^2\)}{2a}+\frac{9\(b^2x^2+y^2+x^2\)}{2b}[/TEX]

[TEX]\righ VT\le \[ \frac{13(a^2-1)}{2a}+\frac{9(b^2+1)}{2b}\]x^2 + \[\frac{13}{2a}+\frac{9}{2b} \]y^2[/TEX]

[TEX](ycbt)\leftrightarrow\left{ \frac{13(a^2-1)}{2a}+\frac{9(b^2+1)}{2b}=0\\a^2x^2=y^2-x^2\\b^2x^2=y^2+x^2\\\frac{13}{2a}+\frac{9}{2b}=16 [/TEX]

[TEX]\rightarrow\left{a=\frac{1}{2}\\b=\frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]Done!!!!!!!!!!![/TEX]

Xây dựng bài toán tương tự

 

[tinemtam]

Đây là cách giải của bài 2. Mình chưa biết cách đánh dấu bằng Tex, nên mình nhờ Anh trai chụp hình và up giúp. Mình là lính mới, mong các bạn giúp đỡ...

 

[woodenst]

cho a + b = 1, a,b duong. Cm
(1/ab) + (1/a^2 +b^2) >= 6

 

[duynhan1]

cho a + b = 1, a,b duong. Cm

(1/ab) + (1/a^2 +b^2) >= 6

Áp dụng BDT [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq\frac{4}{x+y}[/TEX]
Và chú ý : [TEX]\frac{2}{4ab}\geq\frac{2}{(a+b)^2}=2[/TEX] Ta dễ dàng có được điều phải chứng minh

 

[duynhan1]

Đây là cách giải của bài 2. Mình chưa biết cách đánh dấu bằng Tex, nên mình nhờ Anh trai chụp hình và up giúp. Mình là lính mới, mong các bạn giúp đỡ...

Cái này áp dụng BDT Bunhiacopxki cho 2 bộ số [TEX]\frac{a^2}{x} ; \frac{b^2}{y}[/TEX] và [TEX]x ; y[/TEX] Ta có ngay được điều bạn chứng minh.

 

[rua_it]

cho a + b = 1, a,b duong. Cm
(1/ab) + (1/a^2 +b^2) >= 6

[tex]AM-GM \Rightarrow (x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \geq 4 \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y} \Rightarrow \frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2} \geq \frac{4}{2abc+a^2+b^2} =\frac{4}{(a+b)^2}=4(1) \\ 2ab \leq 2(\frac{a+b}{2})^2=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2ab} \geq 2(2) \\ (1)&(2) \Rightarrow dpcm \\ \Rightarrow a=b=\frac{1}{2}[/tex]