Max-min

[t3n2ha]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a,b,c>0 và a^2+b^2+c^2=1. CMR a/(b^2+c^2)+b/(c^2+a^2)+c/(a^2+b^2) >= 3cẳn/2
Bài 2: CMR: a^4(b^3+c^3)+b^4/(b^3+c^3)+c^4/(c^3+a^3)>=(a+b+c)/2
mọi người giúp với, mình rất kém phần này:-SS

 

[congchuaanhsang]

1, Theo Cauchy ta có:

$a^2(1-a^2)^2=\dfrac{1}{2}.2a^2(1-a^2)(1-a^2)$ \leq $\dfrac{1}{2}(\dfrac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3})^3=\dfrac{4}{27}$

\Leftrightarrow $a(1-a^2)$\leq$\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$ \Leftrightarrow $\dfrac{1}{a(1-a^2)}$ \geq $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

\Leftrightarrow $\dfrac{a^2}{a(1-a^2)}$ \geq $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

\Leftrightarrow $\dfrac{a}{1-a^2}$ \geq $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

\Leftrightarrow $\dfrac{a}{b^2+c^2}$ \geq $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Tương tự rồi cộng từng vế lại ta được:

VT \geq $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)=VP$

 

[congchuaanhsang]

1, Cách khác:

Ta luôn có: $(\sqrt{3}a-1)^2(\sqrt{3}a+\sqrt{2})$ \geq 0

\Leftrightarrow $\dfrac{3\sqrt{6}}{2}a(1-a^2)$ \leq $\sqrt{2}$

\Leftrightarrow $1-a^2$ \leq $\dfrac{2\sqrt{3}}{9a}$

\Leftrightarrow $b^2+c^2$ \leq $\dfrac{2\sqrt{3}}{9a}$

\Leftrightarrow $\dfrac{a}{b^2+c^2}$ \geq $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Làm tiếp như cách trên