Toán 10 [Lượng giác] Hệ thức lượng trong tam giác

[Timeless time]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Hôm nay mình đến với một dạng toán mới của lượng giác nhé, đó là hệ thức lượng trong tam giác. Trước tiên để giải được những bài toán về hệ thức lượng trong tam giác cũng như các bài toán định dạng tam giác ta cần biết các kiến thức sau:

1. Hệ thức hàm số cosin:

​

Tam giác [imath]ABC[/imath] với [imath]BC = a,\, AC = b, \, AB = c[/imath] thì:


[imath]\qquad \qquad \qquad \begin{aligned} a^2 & = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\ b^2 & = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \\ c^2 & = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \end{aligned}[/imath]









2. Hệ thức hàm số sin:

[imath]\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R[/imath] (trong đó: [imath]R[/imath] là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác )



3. Hệ thức đường trung tuyến:



[imath]\qquad \qquad \qquad \qquad \begin{aligned} b^2 + c^2 & = 2m_a^2 + \dfrac{a^2}2 \\ a^2 + c^2 & = 2m_b^2 + \dfrac{b^2}2 \\ a^2 + b^2 & = 2m_c^2 + \dfrac{c^2}2 \end{aligned}[/imath]









4. Hệ thức đường phân giác :




[imath]\dfrac{MB}{MC} = \dfrac{NB}{NC} = \dfrac{AB}{AC}[/imath]

Trong đó: [imath]AM, AN[/imath] lần lượt là các đường phân giác trong và ngoài của góc [imath]A[/imath]








5. Hệ thức đường cao:




[imath]AB^2 - AC^2 = 2 BC \cdot OH[/imath]

Trong đó: [imath]AH[/imath] là đường cao, [imath]O[/imath] là trung điểm của [imath]BC[/imath]







6. Diện tích tam giác:

[imath]S = \dfrac{1}2bc \sin A = \dfrac{1}2 ac\sin B = \dfrac{1}2 ab \sin C[/imath]

[imath]S = pr[/imath] ( với [imath]p[/imath]: nửa chu vi, [imath]r[/imath]: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác )

[imath]S = \dfrac{abc}{4R}[/imath] ( với [imath]R[/imath] là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)



7. Một số công thức khác:

[imath]\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos \dfrac{A}2 \cos \dfrac{B}2 \cos \dfrac{C}2[/imath]

[imath]\cos A + \cos B + \cos C = 4\sin \dfrac{A}2 \sin \dfrac{B}2 \dfrac{C}2 + 1[/imath]

[imath]\sin^2 A + \sin^2B + \sin^2 C = 2\cos A \cos B \cos C + 2[/imath]

[imath]\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \qquad \left( A,B,C \ne \dfrac{\pi}2 \right)[/imath]

[imath]\cot \dfrac{A}2 + \cot \dfrac{B}2 + \cot \dfrac{C}2 = \cot \dfrac{A}2 \cdot \dfrac{B}2 \cdot \dfrac{C}2[/imath]

[imath]\cot A \cot B + \cot A \cot C + \cot B \cot C = 1[/imath]

[imath]\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A \sin B \sin C[/imath]


Phần bài tập mình sẽ cập nhật ở những bài tiếp theo. Mọi người nhớ theo dõi nhé ^^


_________________________________
Xem thêm: [Lượng giác] Chứng minh đẳng thức lượng giác

 

[Timeless time]

Mình cùng đi vào phần bài tập vận dụng nhé ^^

Bài 1: Cho tam giác [imath]ABC[/imath] chứng minh rằng:
a. [imath]\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C[/imath]

b. [imath]\cot \dfrac{A}2 + \cot \dfrac{B}2 + \cot \dfrac{C}2 = \cot \dfrac{A}2 \cot \dfrac{B}2 \cot \dfrac{C}2[/imath]

c. [imath]\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin \dfrac{A}2 \sin \dfrac{B}2 \sin \dfrac{C}2[/imath]

d. [imath]\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A \sin B \sin C[/imath]

Lời giải:

a. Ý tưởng bài này mình có thể sử dụng tính chất 2 cung bù nhau : [imath]\tan(\pi - x) = -\tan x[/imath]
Đọc qua ý tưởng các bạn đã nghĩ đến cách là chưa. Giờ mình đi vào giải luôn nhé

Ta có: [imath]A + B + C = \pi[/imath] nên suy ra:
[imath]\begin{aligned} & \tan(\pi - (A + B) ) = -\tan (A + B) \\ \iff & - \tan(C ) = \tan (A + B) \\ \iff & \dfrac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = -\tan C \end{aligned}[/imath]
Hay: [imath]\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C[/imath]

b. Ý tưởng của câu b khá giống câu a nên mình để lại cho các bạn thử sức nhé

c. Nhìn sơ qua bài toán thì mình nghĩ ngay đến công thức cộng biến đổi tổng ra tích. Nhắc lại công thức một chút: [imath]\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{a + b}2 \cos \dfrac{a - b}2[/imath]
Mình ốp thử luôn công thức này vào bài nhé

Ta có:
[imath]\begin{aligned} \cos A + \cos B + \cos C & = 2\cos \dfrac{A + B}2 \cos \dfrac{A - B}2 + \cos C \\ & = 2\sin \dfrac{C}2 \cos \dfrac{A-B}2 + \cos C \\ & = 2\sin \dfrac{C}2 \cos \dfrac{A - B}2 + \left( 1 - 2\sin^2 \dfrac{C}2 \right) \\ & = 1 + 2\sin \dfrac{C}2 \left[ \cos \dfrac{A - B}2 - \sin \dfrac{C}2 \right] \\ & = 1 + 2\sin \dfrac{C}2 \left[\cos \dfrac{A - B}2 - \cos \dfrac{A + B}2 \right] \\ & = 1 + 2\sin \dfrac{C}2 (-2) \sin \dfrac{A}2 \sin \dfrac{-B}{2} \\ & = 1 + 4\sin \dfrac{A}2 \sin\dfrac{B}2 \sin \dfrac{C}2 \end{aligned}[/imath]

d. Ý d với ý tưởng tương tự ý c, mình để lại cho các bạn làm nhé

Bài 2: Cho tam giác [imath]ABC[/imath]. Chứng minh rằng: [imath]\cot A + \cot B + \cot C = \dfrac{R(a^2 + b^2 + c^2)}{abc}[/imath]

Lời giải:

Theo định lý cosin trong tam giác ta có: [imath]a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \implies \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}[/imath]
Theo định lý sin ta có: [imath]\sin A = =\dfrac{a}{2R}[/imath]
suy ra: [imath]\cot A = \dfrac{\cos A}{\sin A} = \dfrac{R(b^2 + c^2 - a^2)}{abc} \qquad \qquad \ \ (1)[/imath]
Lập luận tương tự ta có: [imath]\begin{aligned} \cot B & = \dfrac{R(a^2 + c^2 - b^2)}{abc} \qquad (2) \\ \cot C & = \dfrac{R(a^2 + b^2 - c^2)}{abc} \qquad (3) \end{aligned}[/imath]

Từ [imath](1), (2), (3)[/imath] suy ra : [imath]\cot A + \cot B + \cot C = \dfrac{R(a^2 + b^2 + c^2)}{abc}[/imath]

Bài 3: Cho tam giác [imath]ABC[/imath] thoả mãn: [imath]\tan A \tan B = -2[/imath] và [imath]\tan A \tan C = =\dfrac{1}2[/imath]. Tìm [imath]\tan A, \tan B, \tan C[/imath]

Lời giải:
Ta có: [imath]A + B + C = \pi[/imath] nên suy ra:
[imath]\begin{aligned} \tan (A + B) = -\tan C \iff & \dfrac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = -\tan C \\ \iff & \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \quad (1) \end{aligned}[/imath]

Nhân 2 vế của [imath](1)[/imath] và [imath]\tan A[/imath] thì:
[imath]\begin{aligned} & \tan^2 A + \tan A \tan B + \tan A \tan C = (\tan A \tan B)(\tan C \tan A) \\ \iff & \tan^2A + (-2) + \dfrac{1}2 = -2 \dfrac{1}2 \\ \iff & \tan^2 A = \dfrac{1}2 \\ \iff & \tan A = \pm \dfrac{\sqrt 2}2 \end{aligned}[/imath]

Với [imath]\tan A = - \dfrac{\sqrt 2}2[/imath] ( thì [imath]A[/imath] là gốc tù)
Suy ra [imath]\tan C = - \dfrac{\sqrt 2} 2[/imath] nên [imath]C[/imath] cũng là góc tù
Điều này vô lý vì một tam giác không thể có 2 góc tù.
Với [imath]\tan A = \dfrac{\sqrt 2}2[/imath] Suy ra: [imath]\tan B = -2\sqrt 2[/imath] và [imath]\tan C = \dfrac{\sqrt 2}2[/imath]

Vậy: [imath]\tan A = \dfrac{\sqrt 2}2, \tan B = -2\sqrt 2[/imath] và [imath]\tan C = \dfrac{\sqrt 2}2[/imath]

Mình sẽ cập nhật thêm ví dụ ở bài tiếp theo. chúc mọi người buổi tối vui vẻ ^^

 

[Timeless time]

Bài 4: Trong tam giác $ABC$ cho $r$ và $R$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Chứng minh rằng: $r = 4R \sin \dfrac{A}2 \sin \dfrac{B}2 \sin \dfrac{C}2$

Diện tích tam giác ABC được tính bởi: [imath]S = pr[/imath] và [imath]S = \dfrac{abc}{4R}[/imath]
Suy ra: [imath]pr = \dfrac{abc}{4R} \iff (a + b+ c)r = \dfrac{abc}{2R}[/imath] ( với [imath]p = \dfrac{1}2(a + b + c)[/imath] )

[imath]\iff 2 R(\sin A + \sin B + \sin C)r = \dfrac{2R \sin A \cdot 2R \sin B \cdot 2R \sin C}{2R}[/imath]
[imath]\iff r = \dfrac{2R \sin A \sin B \sin C}{\sin A + \sin B + \sin C}[/imath]
Với [imath]\sin A + \sin B + \sin C = 2 \sin \dfrac{A+ B}2 \cos \dfrac{A - B}2 + 2 \sin \dfrac{C}2 \cos \dfrac{C}2[/imath]
[imath]= 2 \cos \dfrac{C}2 \cos \dfrac{A - B}2 + 2 \sin \dfrac{C}2 \cos \dfrac{C}2[/imath]
[imath]= 2\ cos \dfrac{C}2 \left [ \cos \dfrac{A - B}2 + \sin \dfrac{C}2 \right][/imath]
[imath]= 2 \cos \dfrac{C}2\cdot 2 \cos \dfrac{C}2 \cos \dfrac{B}2[/imath]

Bài 5: Cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng tam giác $ABH, ACH, BCH$ có cùng bán kính đường tròn ngoại tiếp

Gọi [imath]R_1[/imath] là bán kính đường tròn ngoại tiếp [imath]\triangle ABH[/imath], ta có: [imath]\dfrac{BH}{\sin \widehat{BAH}}= 2R_1[/imath]
Gọi [imath]R_2[/imath] là bán kính đường tròn ngoại tiếp [imath]\triangle BCH[/imath], ta có: [imath]\dfrac{BH}{\sin \widehat{BCH}} = 2R_2[/imath]
mà [imath]\widehat{BAH} = \widehat{BCH}[/imath] ( góc có cạnh đôi một vuông góc)
do đó [imath]R_1 = R_2[/imath]
Gọi [imath]R_3[/imath] là bán kính đường tròn ngoại tiếp [imath]\triangle ACH[/imath], ta có: [imath]\dfrac{AH}{\sin \widehat{ACH}} = 2R_3[/imath]
Trong [imath]\triangle ABH[/imath], ta lại có: [imath]\dfrac{AH}{\sin \widehat{ABH}} = 2R_1[/imath]
mà [imath]\widehat{ACH} = \widehat{ABH}[/imath] ( góc có cạnh đôi một vuông góc) nên suy ra [imath]R_1 = R_3[/imath]
Vậy: [imath]R_1 = R_2 = R_3[/imath]

Bài 6: Cho tam giác $ABC$ với $BC = a, AC = b$. Chứng minh rằng $S = \dfrac{1}4 (a^2 \sin 2B + b^2 \sin 2A)$, trong đó $S$ là diện tích tam giác $ABC$

Gọi [imath]C'[/imath] là điểm đối xứng của [imath]C[/imath] qua [imath]AB[/imath] thì ta có: [imath]\widehat{CAC'} = 2A, \widehat{CBC'} = 2B[/imath]
và [imath]2S = dt (\triangle CAC') + dt(\triangle CBC') = \dfrac{1}2 AC \cdot AC' \sin 2A + \dfrac{1}2 BC \cdot BC' \sin 2B = \dfrac{1}2 b^2 \sin 2A + \dfrac{1}2 a^2 \sin 2B[/imath]
Vậy [imath]S = \dfrac{1}4 (a^2 \sin 2B + b^2 \sin 2A)[/imath]

Bài 7: Cho tam giác $ABC$ có $\hat B > \hat C$, trung tuyến là $AM$. Đặt $\alpha = \widehat{AMB}$. Chứng minh rằng: $2 \cot \alpha = \cot C - \cot B$

Kẻ đường cao [imath]AH[/imath] ta có:
[imath]\cot C - \cot B = \dfrac{CH}{AH}- \dfrac{BH}{AH}[/imath]
[imath]= \dfrac{(CM + MH) - (BM - MH)}{AH}[/imath]
[imath]= \dfrac{2MH}{AH}[/imath] ( vì [imath]CM = BM[/imath])
[imath]= 2 \cot \alpha[/imath]
( vì trong [imath]\triangle AHM[/imath] thì [imath]\cot \alpha = \dfrac{MH}{AH}[/imath], trong [imath]\triangle BAH[/imath] thì [imath]\cot B = \dfrac{BH}{AH}[/imath], trong [imath]\triangle ACH[/imath] thì [imath]\cot C = \dfrac{CH}{AH}[/imath] )$

Bài 8: Cho tam giác $ABC$ với $\hat A = 20^\circ, BC = a, AC = AB = b$. Chứng minh rằng : $a^3 + b^3 = 3ab^2$

Kẻ [imath]AH \perp BC[/imath]
Trong tam giác vuông [imath]AHB[/imath] ta có: [imath]BH = AB \sin 10^\circ[/imath] ( vì [imath]AB = AC[/imath] nên [imath]\widehat{BAH} = 10^\circ[/imath])
[imath]\implies \dfrac{a}2 = b \sin 10^\circ[/imath]
[imath]\implies a = 2b \sin 10^\circ[/imath]
Do đó, ta có: [imath]a^3 + b^3 = 3ab^2[/imath]
[imath]\iff (2b \sin 10^\circ)^3 + b^3 = 3 \cdot (2b\sin 10^\circ)b^2[/imath]
[imath]\iff 8 \sin ^3 10^\circ + 1 = 6 \sin 10^\circ[/imath]
[imath]\iff 1 = 2(3 \sin 10^\circ - 4 \sin ^3 10 ^\circ)[/imath]
[imath]\iff \dfrac{1}2 = \sin 30^\circ[/imath]
Vậy : [imath]a^3 = b^3 = 3ab^2[/imath]