[LTĐH] Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan.

[duynhan1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nhằm giúp các bạn ôn thi đại học có hiệu quả, mình và các Moderator Toán khác sẽ lần lượt lập các TOPIC theo các câu trong cấu trúc đề thi đại học. Lưu ý là không nhất thiết phải là bài tập, các thắc mắc về trình bày và những chỗ chưa hiểu các bạn cũng có thể post vào đây. Và mở đầu sẽ là TOPIC này.

Hàm số và các vấn đề liên quan.

Bài 1:
Cho hàm số [TEX] y = \frac{-x+1}{2x-1}\ (C)[/TEX]. Viết phương trình tiếp tuyến của [TEX](C)[/TEX] biết tiếp tuyến tạo với 2 tiệm cận một tam giác vuông cân.
​

​

 

[maxqn]

[TEX]I(\frac12;-\frac12)[/TEX]
Gọi [TEX]x_0[/TEX] là hđộ tiếp điểm cần tìm
PTTT d:
[TEX](d): y= \frac{x-x_0}{(2x_0-1)^2} - \frac{x_0-1}{2x_0-1} = \frac{-2x_0^2+4x_0-1-x}{(2x_0-1)^2}[/TEX]
+ Gđiểm của (d) với TCĐ của (C) [TEX]A(\frac12; \frac{-2x_0^2+4x_0-\frac32}{(2x_0-1)^2}[/TEX]
+ Gđiểm của (d) với TCN của (C): [TEX]B(\frac{2x_0-1}2;-\frac12)[/TEX]
[TEX]IA = |{\frac1{2x_0-1}|[/TEX]
[TEX]IB = |x_0 -1|[/TEX]
[TEX]ycbt {\{ I \notin (d)} \\ { |(x_0-1)(2x_0-1)| = 1 \Leftrightarrow 2x_0^2 - 3x_0 =0 \Leftrightarrow {\[ {x_0=0} \\ {x_0 = \frac32}}[/TEX]
Thế vô là viết pt r ktra I có nằm trên k là ok T__T

 

[duynhan1]

[TEX]I(\frac12;-\frac12)[/TEX]
Gọi [TEX]x_0[/TEX] là hđộ tiếp điểm cần tìm
PTTT d:
[TEX](d): y= \frac{x-x_0}{(2x_0-1)^2} - \frac{x_0-1}{2x_0-1} = \frac{-2x_0^2+4x_0-1-x}{(2x_0-1)^2}[/TEX]
+ Gđiểm của (d) với TCĐ của (C) [TEX]A(\frac12; \frac{-2x_0^2+4x_0-\frac32}{(2x_0-1)^2}[/TEX]
+ Gđiểm của (d) với TCN của (C): [TEX]B(\frac{2x_0-1}2;-\frac12)[/TEX]
[TEX]IA = |{\frac1{2x_0-1}|[/TEX]
[TEX]IB = |x_0 -1|[/TEX]
[TEX]ycbt {\{ I \notin (d)} \\ { |(x_0-1)(2x_0-1)| = 1 \Leftrightarrow 2x_0^2 - 3x_0 =0 \Leftrightarrow {\[ {x_0=0} \\ {x_0 = \frac32}}[/TEX]
Thế vô là viết pt r ktra I có nằm trên k là ok T__T

Cách này vẫn chưa tốt, khi đứng trước 1 bài toán tiếp tuyến câu hỏi đầu tiên chúng ta nên đặt ra đó là liệu có thể tìm được hệ số góc k của đường thẳng hay không?

 

[anhtien_nguyen]

đừng nói là giải như thế này ...


Nhìn vào đồ thị ta thấy tiếp tuyến của (C) tạo với 2 đường tiệm cận một tam giác vuông cân khi tiếp tuyến có hệ số góc k = 1 chứ...

 

[hienzu]

Bài nì hay nè

Cho hs
[TEX]y=\frac{{x}^{2}-3x+3}{x-1}[/TEX] (C)

M, N nằm trong mp Oxy mà từ mỗi điểm kẻ đc 2 TT tới (C) và 2 TT đó vuông góc vs nhau
CMR:
[TEX]MN\leq 4[/TEX]

 

[hoanghondo94]

Tất nhiên là ta cần xét đến hệ số góc k. tiếp tuyến vuông góc với 2 tiệm cận thì HSG k có thể là -1 hoặc 1

ta có [TEX]y'=\frac{1}{(2x_0-1)^2}\geq 0[/TEX],[TEX]\forall x_0[/TEX] nên [TEX]k=1[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]y'=\frac{1}{(2x_0-1)^2}=1\Leftrightarrow x_0=1[/TEX] hoặc [TEX]x_0=0[/TEX]

 

[anhtien_nguyen]

Tất nhiên là ta cần xét đến hệ số góc k. tiếp tuyến vuông góc với 2 tiệm cận thì HSG k có thể là -1 hoặc 1

ta có [TEX]y'=\frac{1}{(2x_0-1)^2}\geq 0[/TEX],[TEX]\forall x_0[/TEX] nên [TEX]k=1[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]y'=\frac{1}{(2x_0-1)^2}=1\Leftrightarrow x_0=1[/TEX] hoặc [TEX]x_0=0[/TEX]

tôi không dám có ý kiến gì... nhưng nhắc bạn nên "cẩn thận...". đợi chủ topic trả lời xem

 

[duynhan1]

đừng nói là giải như thế này ...


Nhìn vào đồ thị ta thấy tiếp tuyến của (C) tạo với 2 đường tiệm cận một tam giác vuông cân khi tiếp tuyến có hệ số góc k = 1 chứ...

Tất nhiên ta không thể nói là nhìn vào đồ thị được rồi.
Tiếp tuyến tạo với 2 tiệm cận 1 tam giác vuông cân thì ta suy ra được góc giữa tiếp tuyến và tiệm cận ngang là 45 độ.
Suy ra tiếp tuyến tạo với trục hoành 1 góc 45 độ.
Do đó nếu gọi hệ số góc của tiếp tuyến là k thì ta có:
[TEX]\left[ k =tan 45^o = 1 \\ k = tan (135^o) = -1[/TEX].

tôi không dám có ý kiến gì... nhưng nhắc bạn nên "cẩn thận...". đợi chủ topic trả lời xem

TOPIC lập ra để mọi người cùng thảo luận với nhau thì cần gì chủ TOPIC nhỉ!

 

[duynhan1]

Bài nì hay nè

Cho hs

[TEX]y=\frac{{x}^{2}-3x+3}{x-1}[/TEX] (C)

M, N nằm trong mp Oxy mà từ mỗi điểm kẻ đc 2 TT tới (C) và 2 TT đó vuông góc vs nhau
CMR :

[TEX]MN\leq 4[/TEX]

[TEX]y=x-2+ \frac{1}{x-1} \\ y' = 1 - \frac{1}{(x-1)^2}[/TEX]
Gọi [TEX]P(m;n)[/TEX] là tập hợp các điểm trong mặt phẳng [TEX](Oxy)[/TEX] mà tại đó kẻ được 2 tiếp tuyến tới [TEX](C)[/TEX] và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Gọi [TEX]\Delta [/TEX] là đường thẳng qua P và có hệ số góc là [TEX]k[/TEX]. Ta có: [TEX]\Delta :\ y = k(x-m)+n [/TEX]
[TEX]\Delta[/TEX] là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
[TEX]\left{ x-2+ \frac{1}{x-1} = k(x-m) + n \\1 - \frac{1}{(x-1)^2} = k \right. \ \ \ (1) [/TEX]
Điều kiện [TEX]x \not= 1[/TEX].
[TEX](1) \Leftrightarrow \left{ x-2 + \frac{1}{x-1} = k (x-1) + k(1 -m ) + n \\1 - \frac{1}{(x-1)^2} = k \right. \\ \Leftrightarrow \left{ x-2 + \frac{1}{x-1} =\left( 1 - \frac{1}{(x-1)^2} \right)( x-1) + k(1-m) + n \\ 1 - \frac{1}{(x-1)^2} = k \right. \\ \Leftrightarrow \left{ \begin{matrix} \frac{2}{x-1} = k(1-m) + n+1 & (2) \\ 1 - \frac{1}{(x-1)^2} = k & (3) \end{matrix} \right. [/TEX]
Ta có:
[TEX]\frac{2}{x-1} \not=0 \Leftrightarrow k(1-m) + n+1 \not= 0 \Leftrightarrow \left{ n \not= -1 \quad neu \ m = 1 \\ k \not= \frac{n+1}{m-1} \quad neu\ m \not= 1 \right.[/TEX]
Khi đó thay (2) vào (3) ta có:
[TEX]4 - \left( k(1-m) + n+1 \right) ^2 = k \\ \Leftrightarrow (m-1)^2 + \big(2(1-m)(n+1)+1 \big) k + (n+1)^2 - 4 = 0 (4) [/TEX]
Từ P kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt [TEX]k_1, \ k_2 \not= \frac{n+1}{1-m}[/TEX] và [TEX]k_1 . k_2 = -1 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{ (m-1)^2 \not = 0 \\ \frac{(n+1)^2 - 4}{(m-1)^2} = -1 \\ (1-m)^2 . ( \frac{n+1}{m-1})^2 + \big(2(1-m)(n+1)+1 \big) . \frac{n+1}{m-1} + (n+1)^2 -4 \not= 0 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ m \not= 1 \\ (m-1)^2 + (n+1)^2 = 4 \\ (n+1) - 4(m-1) \not= 0 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ m \not= 1,\ \ 4m -n - 5 \not= 0 \\ (m-1)^2 + (n+1)^2 = 4 \right. [/TEX]
Vậy tập hợp các điểm P trong mặt phẳng [TEX](Oxy)[/TEX] mà qua đó kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau là đường tròn [TEX](Q): (x-1)^2 + (y +1)^2 = 4 [/TEX] trừ giao điểm với đường thẳng [TEX]x=1[/TEX] và [TEX]4x - y - 5 = 0[/TEX].
Áp dụng vào bài toán:
Ta có: [TEX]M,\ N \in (Q) \Rightarrow MN \le 2 R = 4[/TEX]

Chú ý: Khi làm bài này ta không cần giới hạn M, N chỉ cần chứng minh M, N thuộc đường tròn (Q) là đủ. Tức là ta không cần đi tìm điều kiện của k, ta chỉ cần lập phương trình bậc 2 theo k và cho [TEX]\frac{c}{a} = - 1[/TEX] để suy ra điều phải chứng minh.



Các bạn down font này về để bài viết được hiển thị tốt nhất nhé: Font Euclid

 

[duynhan1]

Tiếp...

Cho hàm số [tex] y = x^4 + 2m x^2 +m^2 + m [/tex] có đồ thị [tex] (C_m) [/tex].
Với những giá trị nào của [tex] m [/tex] thì đồ thị [tex] (C_m) [/tex] có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng [tex]120^o[/tex].

 

[maxqn]

Tiếp...

Cho hàm số [tex] y = x^4 + 2m x^2 +m^2 + m [/tex] có đồ thị [tex] (C_m) [/tex].
Với những giá trị nào của [tex] m [/tex] thì đồ thị [tex] (C_m) [/tex] có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng [tex]120^o[/tex].

T làm thế này đc k?
[TEX]y' = 4x^3 + 4mx[/TEX]
Hsố có 3 cực trị kvck pt y'=0 có 3 nghiệm pbiệt.
[TEX]\Leftrightarrow {\{ {x=0} \\ { x^2 = -m} }[/TEX]
Do đó m < 0

Với m <0 thì đthị hsố có 3 điểm cực trị là
[TEX]A(0;m^2+m) \\ B(-\sqrt{-m};m) \\ C(\sqrt{-m};m)[/TEX]
Dễ thấy với m < 0 thì 3 điểm A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác.
Do y là hàm bậc 4 nên đối xứng qua trục tung. Do đó tam giác ABC cân tại A.
Vậy để tmãn ycbt thì góc BAC bằng 120o
[TEX]\Leftrightarrow cos(\vec{AB};\vec{AC}) = \frac{m^4+m}{m^4-m} = -\frac12[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3m^4 +m = 0 \\ \Leftrightarrow 3m^3+1 =0 \ \ \ \text{vi m < 0 )}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow m = -\sqrt[3]{\frac13}[/TEX]

 

[duynhan1]

Cho hàm số [tex] y = \frac{2x+2}{x-1} [/tex] có đồ thị (C) .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A, B sao cho [tex] OA = 2 OB [/tex]

 

[niemkieuloveahbu]

Cho hàm số [tex] y = \frac{2x+2}{x-1} [/tex] có đồ thị (C) .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A, B sao cho [tex] OA = 2 OB [/tex]

[TEX]y'= \frac{-4}{(x-1)^2} \\ tan\widehat{ABO} = +-2[/TEX]

Phương trình tiếp tuyến qua [TEX]M(x_0,y_0) \in C[/TEX] có:

[TEX] \frac{-4}{(x_0-1)^2}=+-2 \Leftrightarrow (x_0-1)^2=2 \Leftrightarrow \[x_0=1+\sqrt{2}\Rightarrow y_0=2\sqrt{2}+2\\x_0= 1-\sqrt{2}\Rightarrow y_0=-2\sqrt{2}+2[/TEX]

Với [TEX]M(1+\sqrt{2},2\sqrt{2}+2) \Rightarrow PTTT: y=-2(x-1-\sqrt{2})+2\sqrt{2}+2 \Leftrightarrow y=-2x+4\sqrt{2}+4[/TEX]

Với [TEX]M( 1-\sqrt{2},-2\sqrt{2}+2) \Rightarrow PTTT: y=-2(x-1+\sqrt{2})+2-2\sqrt{2}\Rightarrow y=-2x+4-4\sqrt{2}[/TEX]

Có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài: [TEX]y=-2x+4\sqrt{2}+4; y=-2x+4-4\sqrt{2}[/TEX]

Em làm vậy có gì sai anh chị chỉ cho ạ,em cám ơn,

 

[maxqn]

Cho hàm số [tex] y = \frac{2x+2}{x-1} [/tex] có đồ thị (C) .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A, B sao cho [tex] OA = 2 OB [/tex]

[tex] y = \frac{2x+2}{x-1} [/tex]
[TEX]y' = -\frac4{(x-1)^2} < 0 \ \ \forall x \not= 1[/TEX]
Gọi [TEX]M(x_0 + 1;\frac{2x_0+4}{x_0}) \ \ (x_0 \not= 0)[/TEX] là tiếp điểm mà tiếp tuyến tại đó thỏa ycbt
Giả sử [TEX]k = y'(x_0 + 1)= -\frac4{x_0^2}[/TEX] là HSG của tiếp tuyến cần tìm

TH1: A nằm trên trục Oy
[TEX]\Rightarrow |tan{\hat{ABO}}| = 2 \\ \Rightarrow k = -2 \ \ \text{( vi k < 0)}[/TEX]
Với k=-2
[TEX]k= -\frac4{x_0^2} = -2 \Leftrightarrow {\[ {x_0 = \sqrt2} \\ {x_0 = -\sqrt2}}[/TEX]

TH2: A nằm trên Ox
[TEX]|tan{\hat{BAO}}| = \frac12 \\ \Rightarrow k = -\frac12[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow -\frac4{x_0^2} = -\frac12 \Leftrightarrow {\[ {x_0 = 2\sqrt2} \\ {x_0 = -2\sqrt2}} [/TEX]

Nãy đánh gần xong máy tắt, fải đánh lại T__T

 

[duynhan1]

[TEX]y'= \frac{-4}{(x-1)^2} \\ tan\widehat{ABO} = +-2[/TEX]

[TEX]tan\ \hat{ABO} = \frac{OA}{OB} > 0[/TEX] nhé.

...

Bài của bạn maxqn có 1 lỗi nhỏ nhưng mà sẽ bị trừ điểm cả bài

 

[maxqn]

Lỗi j thế c @_@ Thiếu TXĐ hay s?
---------------------------------------

Cậu kiểm tra lại xem có bước nào vô lý không, hì!

Tại chưa nói nó < 0 àh c T___T
------------------------------------

Uh uh T__T
-------------------------------------------

 

[duynhan1]

[tex] y = \frac{2x+2}{x-1} [/tex]
[TEX]y' = -\frac4{(x-1)^2} < 0 \ \ \forall x \not= 1[/TEX]
Gọi [TEX]M(x_0 + 1;\frac{2x_0+4}{x_0}) \ \ (x_0 \not= 0)[/TEX] là tiếp điểm mà tiếp tuyến tại đó thỏa ycbt
Giả sử [TEX]k = y'(x_0 + 1)= -\frac4{x_0^2}[/TEX] là HSG của tiếp tuyến cần tìm

TH1: A nằm trên trục Oy
[TEX]\red \Rightarrow k = |tan{\hat{ABO}}| = 2 \\ \Rightarrow k = -2 \ \ \text{( vi k < 0)}[/TEX]


TH2: A nằm trên Ox
[TEX]\red k = |tan{\hat{BAO}}| = \frac12 \\ \Rightarrow k = -\frac12[/TEX]

2 chỗ này vô lý he
___________________________________________________
k=2 -> k=-2 nó vô lý rõ ràng mà cậu .

 

[thuydung289]

Câu 1:
Cho hàm số y[TEX]y=x^3 - 3x^2 +4 (C)[/TEX] và đường thắng d: y=m(x-3) +4
Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d luôn cắc (C) tại một điểm cố định (gọi là A).Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm M,N khác A sao cho tiếp tuyến của (C) tại M,N vuông góc với nhau.

Câu 2:
cho hàm số [TEX]y = \frac{1}{3}mx^3 + (m-1)x^2 + (4-3m)x +1[/TEX] có đồ thị (Cm)
tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại duy nhất một điểm A có hoành độ âm mà tiếp tuyến với (Cm) tại A vuông góc với đường thẳng: x +2y - 3.
Các bạn làm chi tiết dễ hiểu cho mình nhé.thanks

 

[tbinhpro]

Câu 1:
Cho hàm số y[TEX]y=x^3 - 3x^2 +4 (C)[/TEX] và đường thắng d: y=m(x-3) +4
Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d luôn cắc (C) tại một điểm cố định (gọi là A).Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm M,N khác A sao cho tiếp tuyến của (C) tại M,N vuông góc với nhau.

Các bạn làm chi tiết dễ hiểu cho mình nhé.thanks

Chào bạn!Thay mặt duynhan1mình xin trợ giúp bạn bài này trước nhé!
Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và đường thẳng (d):
[TEX]x^{3}-3x^{2}+4=m(x-3)+4\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}-m(x-3)=0[/TEX]
[TEX](x-3)(x^{2}-m)=0[/TEX]
Do đó: Với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (C) tại điểm [TEX]A(3,4)[/TEX].
Đặt [TEX]g(x)=x^{2}-m[/TEX],ta có:
Để đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm M,N khác A thì:
[TEX]\left{\begin{m>0}\\{m\neq 9[/TEX](*)
Tiếp đến ta có:
Hàm số đã cho có:[TEX]y'=3x^{2}-6x[/TEX]
Tiếp tuyến tại 2 điểm M,N của đồ thị (C) vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
[TEX]y'(\sqrt{m}).y'(-\sqrt{m})=-1\Leftrightarrow (3m-6\sqrt{m})(3m+6\sqrt{m})=-1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 9m^{2}-36m=-1\Leftrightarrow 9m^{2}-36m+1=0[/TEX]
Giải phương trình trên được nghiệm là:[TEX]m=\frac{6+\sqrt{35}}{3}[/TEX] và [TEX]m=\frac{6-\sqrt{35}}{3}[/TEX]
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được giá trị m cần tìm là:[TEX]m=\frac{6+\sqrt{35}}{3}[/TEX] hoặc [TEX]m=\frac{6-\sqrt{35}}{3}[/TEX]

 

[tbinhpro]

Câu 2:
cho hàm số [TEX]y = \frac{1}{3}mx^3 + (m-1)x^2 + (4-3m)x +1[/TEX] có đồ thị (Cm)
tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại duy nhất một điểm A có hoành độ âm mà tiếp tuyến với (Cm) tại A vuông góc với đường thẳng: x +2y - 3=0.
Các bạn làm chi tiết dễ hiểu cho mình nhé.thanks[/B]

Mình xin giúp bạn bài này luôn nhé!

Bạn xem lại đề nhé,phải là hoành độ dương chứ,nếu như đúng bài trên thì sẽ không có giá trị m nào thoả mãn đề bài này cả!

Mình xin giải theo đúng đề bài trên.
Phương trình của đường thẳng đã cho tương đương:[TEX]y=\frac{-1}{2}x+\frac{3}{2}[/TEX]
Tiếp tuyến của [TEX](C_m)[/TEX] tại A vuông góc với đường thẳng [TEX]y=\frac{-1}{2}x+\frac{3}{2}[/TEX] khi và chỉ khi:
[TEX]k.\frac{-1}{2}=-1\Leftrightarrow k=2[/TEX](Với k là hệ số góc của tiếp tuyến tại A)
Ta lại có:
Hàm số đã cho có:[TEX]y'=mx^{2}+2(m-1)x+4-3m[/TEX]
Suy ra:[TEX]mx^{2}+2(m-1)x+4-3m=2\Leftrightarrow mx^{2}+(2m-2)x+2-3m=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-1)(mx+3m-2)=0[/TEX](*)
Từ đây đặt [TEX]f(x)=mx+3m-2[/TEX] ta có:
Tồn tại duy nhất 1 điểm A trên đồ thị [TEX](C_m)[/tex] mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng [TEX]x+2y-3=0[/TEX] khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất.
[TEX]\Leftrightarrow f(1)=0\Leftrightarrow 4m-2=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}[/TEX]
Mà với x=1 là điểm duy nhất thoả mãn tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng [TEX]x+2y-3=0[/TEX] thì x=1>0(không thoả mãn là hoành độ âm)
Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn đề bài.

Nếu là hoành độ dương thì có 1 giá trị của m thoả mãn là [TEX]m=\frac{1}{2}[/TEX]

Chúc bạn thành công!