VD2:
1) Áp dụng BĐT Cô-si: [tex](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9[/tex]
<=> [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9[/tex] ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]
2) Áp dụng BĐT quen thuộc: [tex]4ab \leq (a+b)^2[/tex] :
[tex]4(1-x)(1-z)\leq (1-x+1-z)^2=(2-x-z)^2=(y+1)^2[/tex]
<=> [tex]4(1-x)(1-z)(1-y)\leq (y+1)^2.(1-y)\leq x+2y+z=y+1[/tex]
<=> [tex](y+1)(1-y^2-1)\leq 0[/tex]
<=> [tex]y^2.(y+1) \geq 0[/tex] ( đúng )
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]x=z=\frac{1}{2}[/TEX] và [TEX]y=0[/TEX]
3) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
[TEX]VT=\frac{a^2}{ab+ca}+\frac{b^2}{bc+ba}+\frac{c^2}{ca+bc} \geq[/TEX] [TEX]\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} \geq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}=\frac{3}{2}[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]
4) Đặt [tex]\sqrt{x}=a;\sqrt{y}=b[/tex]
Ta có [tex]2a-b=1[/tex] <=> [tex]b=2a-1[/tex]
Khi đó: [tex]a^2+b^2-\frac{1}{5}=a^2+(2a-1)^2-\frac{1}{5}=\frac{(5a-2)^2}{5} \geq 0[/tex]
<=> [tex]a^2+b^2 \geq \frac{1}{5}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]a=\frac{2}{5}[/TEX] và [TEX]b=\frac{-1}{5}[/TEX] ??
Bài tập 1:
1) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
[tex](1+1+...+1)(a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{2003}^2) \geq (a_{1}+a_{2}+...+a_{3})^2=1[/tex]
<=> [TEX]2003.(a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{2003}^2) \geq 1[/TEX]
<=> [TEX]a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{2003}^2 \geq \frac{1}{2003} [/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]a_{1}=a_{2}=...=a_{2003}=1[/TEX]
2) [tex](\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)=\frac{(1-a)(1-b)(1-c)}{abc}=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} \geq \frac{2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}}{abc}=\frac{8abc}{abc}=8[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]
Bonus VD3:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
[tex]Σ(\frac{a^4}{ab+ca}) \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ca)} \geq \frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{1}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]a=b=c=\sqrt{\frac{1}{3}}[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
