Toán [Lớp 10] Vectơ

[Pé Mâyyy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) gọi H và I là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC và CD . Gọi N là trung điểm của HI, M là trung điểm của AD chứng minh BN vuông góc với MN

 

[Mark Urich]

Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) gọi H và I là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC và CD . Gọi N là trung điểm của HI, M là trung điểm của AD chứng minh BN vuông góc với MN

Bạn tự vẽ hình nhé.
Ta gọi N là trung điểm của BD.
tam giác vuông BID có IN là trung tuyến nên IN = 1/2.BD, vậy IN = ND nên tam giác NDI cân tại N. suy ra góc NID = góc BDI.
do hình thang cân nên có góc BDI = ACD. Suy ra góc NID = góc ACD. Vậy IN // AC. suy ra IN [tex]\perp[/tex] BH.

[tex]2\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{NH} + \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{NI} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{ID}[/tex]

[tex]2\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BH} + \overrightarrow{BI}[/tex]

Nhân vào ta có:
[tex]4.\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BI} \\ =\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH}\\ =(\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{BA}).\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH}\\ =\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{BH}.(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID})\\ =2.\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{IN} = 0[/tex]
--> dpcm.

 

[Mark Urich]

Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) gọi H và I là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC và CD . Gọi N là trung điểm của HI, M là trung điểm của AD chứng minh BN vuông góc với MN

Giải theo pp cấp 2 như sau, bạn tự vẽ hình nhé:

Gọi P đối xứng với B qua CD. thì do t/c hình thang cân, suy ra PC = AD và PC // AD (do 2 góc PCD và ADC bằng nhau). Suy ra ACPD là hình bình hành.
Gọi E và F lần lượt là trung điểm của CB và CP. dễ suy ra EF // = BI. Nên BEFI là hình bình hành. nên BE //= IF.
Do ACPD bình hành mà M và F là 2 trung điểm của 2 cạnh đối nên suy ra FM //= AC.

Bây giờ trên tia đối của tia NB ta lấy G sao cho N là trung điểm của BG. Vậy BIGH cũng là hình bình hành nên BH //= IG.
Như vậy ta thấy 2 góc HBE và GIF có các cạnh tương ứng song song.
Do BH vuông góc AC nên tam giác BHC vuông tại H nên HBE phải là góc nhọn.
Do F đối xứng với E qua CD nên F sẽ phải nằm ở bên kia mặt phẳng bờ CD.
Do BHGI là bình hành nên HG //= BI nên HG vuông góc CD. Và do HG = BI = cũng là độ cao của hình thang, mà H nằm trên AC và trong hình thang do ABC là tam giác tù tại B do t/c của hình thang cân có cạnh AB < CD. Vậy khoảng cách từ H đến CD phải nhỏ hơn độ cao hình thang. Tức là suy ra HG > khoảng cách từ H đến CD. Vậy có nghĩa là G cũng nằm về nửa kia mặt phẳng bờ CD.
Vậy 2 điểm G và F cùng nằm ở nửa kia mặt phẳng bờ CD.
Ta có: các góc FIC = FCI = BCD = BCA + ACD.
các góc DIG = 90độ - IGH = 90độ - HBI = 90độ - ACD.
suy ra góc: FIC + DIG = 90độ - ACD + BCA + ACD = 90độ + BCA > 90độ. Từ đó suy ra GIF phải là góc nhọn.
2 góc HBE và GIF có cạnh tương ứng song song và đều là các góc nhọn nên chúng bằng nhau. Từ đó suy ra 2 tam giác HBE và GIF bằng nhau. Suy ra FG = EH = 1/2 cạnh bên hình thang. 2 tam giác này đều là các tam giác cân tại E và F.

Gọi K là trung điểm IG, suy ra FK là trung trực IG. nên FK cũng vuông góc BH và cũng // CA.
Vậy 3 điểm F, K, M thẳng hàng, và M cũng nằm trên trung trực IG.
Suy ra MI = MG. Mà theo t/c hình thang cân dễ thấy MI = MB.
Vậy suy ra MG = MB. Tam giác MBG cân và MN là trung tuyến nên cũng là đường cao. ==> Đpcm.

 

[Pé Mâyyy]

Bạn tự vẽ hình nhé.
Ta gọi N là trung điểm của BD.
tam giác vuông BID có IN là trung tuyến nên IN = 1/2.BD, vậy IN = ND nên tam giác NDI cân tại N. suy ra góc NID = góc BDI.
do hình thang cân nên có góc BDI = ACD. Suy ra góc NID = góc ACD. Vậy IN // AC. suy ra IN [tex]\perp[/tex] BH.

[tex]2\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{NH} + \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{NI} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{ID}[/tex]

[tex]2\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BH} + \overrightarrow{BI}[/tex]

Nhân vào ta có:
[tex]4.\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BI} =\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH} =(\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{BA}).\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH} =\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{BH}.(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID}) =2.\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{IN} = 0[/tex]
--> dpcm.

cám ơn bạn nhiều !!!

 

[iceghost]

Bạn tự vẽ hình nhé.
Ta gọi N là trung điểm của BD.
tam giác vuông BID có IN là trung tuyến nên IN = 1/2.BD, vậy IN = ND nên tam giác NDI cân tại N. suy ra góc NID = góc BDI.
do hình thang cân nên có góc BDI = ACD. Suy ra góc NID = góc ACD. Vậy IN // AC. suy ra IN [tex]\perp[/tex] BH.

[tex]2\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{NH} + \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{NI} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{ID}[/tex]

[tex]2\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BH} + \overrightarrow{BI}[/tex]

Nhân vào ta có:
[tex]4.\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BI} \\ =\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH}\\ =(\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{BA}).\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH}\\ =\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{BH}.(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID})\\ =2.\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{IN} = 0[/tex]
--> dpcm.

1 bài toán đến 2 điểm $N$, hiểu làm sao đây?
$4 \vec{MN} \cdot \vec{BN} = (\vec{AH} + \vec{DI})(\vec{BH} + \vec{BI}) \\
= \vec{AH} \cdot \vec{BI} + \vec{DI} \cdot \vec{BH} \\
= \vec{BH} \cdot \vec{BI} + \vec{DI} \cdot \vec{BH} \\
= \vec{BH} \cdot ( \vec{BI} + \vec{DI}) \\
= BH \cdot (BI \cos \widehat{BDI} - DI \sin \widehat{BDI} ) \\
= BH \cdot ( \dfrac{BI \cdot DI}{BD} - \dfrac{DI \cdot BI}{BD} ) = 0$
Suy ra $MN \perp BN$

 

[Dương Bii]

Bạn tự vẽ hình nhé.
Ta gọi N là trung điểm của BD.

$N$ là trung điểm $HI$ theo giả thiết , Gọi $N$ là tđ $BD$ ?!!! :v

 

[Mark Urich]

$N$ là trung điểm $HI$ theo giả thiết , Gọi $N$ là tđ $BD$ ?!!! :v

sorry, đặt trùng tên điểm đã có. gọi là N' đi chẳng hạn.