Toán [Lớp 10] Vectơ

Pé Mâyyy

Học sinh mới
Thành viên
13 Tháng một 2018
16
0
16
23
Quảng Trị
trường thpt nguyễn thái bình

Mark Urich

Học sinh chăm học
Thành viên
11 Tháng một 2018
133
236
59
Hà Nội
NDC
Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) gọi H và I là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC và CD . Gọi N là trung điểm của HI, M là trung điểm của AD chứng minh BN vuông góc với MN

Bạn tự vẽ hình nhé.
Ta gọi N là trung điểm của BD.
tam giác vuông BID có IN là trung tuyến nên IN = 1/2.BD, vậy IN = ND nên tam giác NDI cân tại N. suy ra góc NID = góc BDI.
do hình thang cân nên có góc BDI = ACD. Suy ra góc NID = góc ACD. Vậy IN // AC. suy ra IN [tex]\perp[/tex] BH.

[tex]2\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{NH} + \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{NI} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{ID}[/tex]

[tex]2\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BH} + \overrightarrow{BI}[/tex]

Nhân vào ta có:
[tex]4.\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BI} \\ =\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH}\\ =(\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{BA}).\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH}\\ =\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{BH}.(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID})\\ =2.\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{IN} = 0[/tex]
--> dpcm.
 
Last edited:

Mark Urich

Học sinh chăm học
Thành viên
11 Tháng một 2018
133
236
59
Hà Nội
NDC
Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) gọi H và I là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC và CD . Gọi N là trung điểm của HI, M là trung điểm của AD chứng minh BN vuông góc với MN

Giải theo pp cấp 2 như sau, bạn tự vẽ hình nhé:

Gọi P đối xứng với B qua CD. thì do t/c hình thang cân, suy ra PC = AD và PC // AD (do 2 góc PCD và ADC bằng nhau). Suy ra ACPD là hình bình hành.
Gọi E và F lần lượt là trung điểm của CB và CP. dễ suy ra EF // = BI. Nên BEFI là hình bình hành. nên BE //= IF.
Do ACPD bình hành mà M và F là 2 trung điểm của 2 cạnh đối nên suy ra FM //= AC.

Bây giờ trên tia đối của tia NB ta lấy G sao cho N là trung điểm của BG. Vậy BIGH cũng là hình bình hành nên BH //= IG.
Như vậy ta thấy 2 góc HBE và GIF có các cạnh tương ứng song song.
Do BH vuông góc AC nên tam giác BHC vuông tại H nên HBE phải là góc nhọn.
Do F đối xứng với E qua CD nên F sẽ phải nằm ở bên kia mặt phẳng bờ CD.
Do BHGI là bình hành nên HG //= BI nên HG vuông góc CD. Và do HG = BI = cũng là độ cao của hình thang, mà H nằm trên AC và trong hình thang do ABC là tam giác tù tại B do t/c của hình thang cân có cạnh AB < CD. Vậy khoảng cách từ H đến CD phải nhỏ hơn độ cao hình thang. Tức là suy ra HG > khoảng cách từ H đến CD. Vậy có nghĩa là G cũng nằm về nửa kia mặt phẳng bờ CD.
Vậy 2 điểm G và F cùng nằm ở nửa kia mặt phẳng bờ CD.
Ta có: các góc FIC = FCI = BCD = BCA + ACD.
các góc DIG = 90độ - IGH = 90độ - HBI = 90độ - ACD.
suy ra góc: FIC + DIG = 90độ - ACD + BCA + ACD = 90độ + BCA > 90độ. Từ đó suy ra GIF phải là góc nhọn.
2 góc HBE và GIF có cạnh tương ứng song song và đều là các góc nhọn nên chúng bằng nhau. Từ đó suy ra 2 tam giác HBE và GIF bằng nhau. Suy ra FG = EH = 1/2 cạnh bên hình thang. 2 tam giác này đều là các tam giác cân tại E và F.

Gọi K là trung điểm IG, suy ra FK là trung trực IG. nên FK cũng vuông góc BH và cũng // CA.
Vậy 3 điểm F, K, M thẳng hàng, và M cũng nằm trên trung trực IG.
Suy ra MI = MG. Mà theo t/c hình thang cân dễ thấy MI = MB.
Vậy suy ra MG = MB. Tam giác MBG cân và MN là trung tuyến nên cũng là đường cao. ==> Đpcm.
 

Pé Mâyyy

Học sinh mới
Thành viên
13 Tháng một 2018
16
0
16
23
Quảng Trị
trường thpt nguyễn thái bình
Bạn tự vẽ hình nhé.
Ta gọi N là trung điểm của BD.
tam giác vuông BID có IN là trung tuyến nên IN = 1/2.BD, vậy IN = ND nên tam giác NDI cân tại N. suy ra góc NID = góc BDI.
do hình thang cân nên có góc BDI = ACD. Suy ra góc NID = góc ACD. Vậy IN // AC. suy ra IN [tex]\perp[/tex] BH.

[tex]2\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{NH} + \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{NI} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{ID}[/tex]

[tex]2\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BH} + \overrightarrow{BI}[/tex]

Nhân vào ta có:
[tex]4.\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BI} =\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH} =(\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{BA}).\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH} =\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{BH}.(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID}) =2.\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{IN} = 0[/tex]
--> dpcm.
cám ơn bạn nhiều !!!
 

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,018
7,484
941
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
Bạn tự vẽ hình nhé.
Ta gọi N là trung điểm của BD.
tam giác vuông BID có IN là trung tuyến nên IN = 1/2.BD, vậy IN = ND nên tam giác NDI cân tại N. suy ra góc NID = góc BDI.
do hình thang cân nên có góc BDI = ACD. Suy ra góc NID = góc ACD. Vậy IN // AC. suy ra IN [tex]\perp[/tex] BH.

[tex]2\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{NH} + \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{NI} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{ID}[/tex]

[tex]2\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BH} + \overrightarrow{BI}[/tex]

Nhân vào ta có:
[tex]4.\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BI} \\ =\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH}\\ =(\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{BA}).\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{ID}.\overrightarrow{BH}\\ =\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{BH}.(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID})\\ =2.\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{IN} = 0[/tex]
--> dpcm.
1 bài toán đến 2 điểm $N$, hiểu làm sao đây?
$4 \vec{MN} \cdot \vec{BN} = (\vec{AH} + \vec{DI})(\vec{BH} + \vec{BI}) \\
= \vec{AH} \cdot \vec{BI} + \vec{DI} \cdot \vec{BH} \\
= \vec{BH} \cdot \vec{BI} + \vec{DI} \cdot \vec{BH} \\
= \vec{BH} \cdot ( \vec{BI} + \vec{DI}) \\
= BH \cdot (BI \cos \widehat{BDI} - DI \sin \widehat{BDI} ) \\
= BH \cdot ( \dfrac{BI \cdot DI}{BD} - \dfrac{DI \cdot BI}{BD} ) = 0$
Suy ra $MN \perp BN$
 
  • Like
Reactions: Dương Bii
Top Bottom