kỉ thuật nhảy tầng lầu bậc 8

H

hoangdinhchanh

Cái này bên thầy Trần phương có, thầy có giải. Nhưng bạn đừng để ý nhiều phần này. Cái này đem đố nhau thì được chứ học để thi ĐH thì mất thời gian mà thôi, cứ SGK có gì thì làm phần liên quan tới nó thôi
 
H

hocmai.toanhoc

Bài giải của hocmai.toanhoc ( Trịnh Hào Quang)

Bạn xem xét bài nguyên hàm này và thế cận vào làm tiếp nhé!
Tìm nguyên hàm:

[TEX]I = \int {\frac{{dx}}{{x^8 + 1}}} [/TEX]

Giải:
Ta có:
[TEX]\frac{1}{{x^8 + 1}} = \frac{1}{{(x^4 - x^2 \sqrt 2 + 1)(x^4 + x^2 \sqrt 2 + 1)}} = \frac{{A_1 x^3 + B_1 x^2 + C_1 x + D_1 }}{{(x^4 - x^2 \sqrt 2 + 1)}} + \frac{{A_2 x^3 + B_2 x^2 + C_2 x + D_2 }}{{(x^4 + x^2 \sqrt 2 + 1)}}[/TEX]
Dùng phương pháp hệ số bất định ta có:
[TEX]\int {\frac{{dx}}{{x^8 + 1}}} = \int {\frac{{ - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}x^2 + \frac{1}{2}}}{{(x^4 - x^2 \sqrt 2 + 1)}}} dx + \int {\frac{{\frac{1}{{2\sqrt 2 }}x^2 + \frac{1}{2}}}{{(x^4 + x^2 \sqrt 2 + 1)}}} dx = I_1 + I_2 [/TEX]
*Tính I1:
[TEX]I_1 = \int {\frac{{ - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}x^2 + \frac{1}{2}}}{{x^4 - x^2 \sqrt 2 + 1}}} dx = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int {\frac{{x^2 + 1}}{{x^4 - x^2 \sqrt 2 + 1}}} dx + (\frac{1}{2} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }})\int {\frac{{dx}}{{x^4 - x^2 \sqrt 2 + 1}}} = J_1 + J_2 [/TEX]
[TEX]J_1 = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int {\frac{{x^2 + 1}}{{x^4 - x^2 \sqrt 2 + 1}}} dx = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int {\frac{{1 + \frac{1}{{x^2 }}}}{{x^2 - \sqrt 2 + \frac{1}{{x^2 }}}}dx = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int {\frac{{d(x - \frac{1}{x})}}{{(x - \frac{1}{x})^2 + (2 - \sqrt 2 )}}} } \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \frac{1}{{2\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}{\rm{ar}}ctg\frac{{(x - \frac{1}{x})}}{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }} + C_1 \\\[/TEX]
[TEX]J_2 = (\frac{1}{2} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }})\int {\frac{{dx}}{{x^4 - x^2 \sqrt 2 + 1}}} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }})\int {\frac{{dx}}{{(x^2 - \frac{1}{{\sqrt 2 }})^2 + \frac{1}{2}}}} \\= \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}(\frac{1}{2} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }})\int {\frac{{dt}}{{\sqrt {tg\,t + 1} }}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}tg\,t = x^2 - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{2\sqrt[4]{2}c{\rm{os}}^2 t\sqrt {tg\,t + 1} }}} \right) \\= \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}(\frac{1}{2} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }})\int {\left( {\frac{1}{{2u}} - \frac{1}{4}\frac{{2(u - 1)}}{{u^2 - 2u + 2}} + \frac{1}{2}\frac{1}{{(u - 1)^2 + 1}}} \right)} du\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {u = tg\,t + 1 \Rightarrow dt = \frac{{du}}{{u^2 - 2u + 2}}} \right) \\= \frac{1}{{4\sqrt[4]{2}}}(\frac{1}{2} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }})\ln \frac{{u^2 }}{{u^2 - 2u + 2}} + (\frac{1}{2} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }})\frac{1}{{2\sqrt[4]{2}}}{\rm{ar}}ctg(u - 1) \\=\frac{1}{{4\sqrt[4]{2}}}(\frac{1}{2} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }})\ln \frac{{2x^4}}{{2x^4 - 2\sqrt 2 x^2 + 2}} + \frac{1}{{2\sqrt[4]{2}}}(\frac{1}{2} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }}){\rm{ar}}ctg(\sqrt 2 x^2 - 1) \\\[/TEX]
[TEX]I_1 = - \frac{1}{{4\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}{\rm{ar}}ctg\left( {\frac{{x - \frac{1}{x}}}{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}} \right)+\frac{1}{{4\sqrt[4]{2}}}(\frac{1}{2}+ \frac{1}{{2\sqrt 2 }})\ln \frac{{2x^4 }}{{2x^4 - 2\sqrt 2 x^2 + 2}} \\ + \frac{1}{{2\sqrt[4]{2}}}(\frac{1}{2} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }}){\rm{ar}}ctg(\sqrt 2 x^2 - 1) + C \\[/TEX]

*Tính I2:
[TEX]I_2 = \int {\frac{{\frac{1}{{2\sqrt 2 }}x^2 + \frac{1}{2}}}{{x^4 + x^2 \sqrt 2 + 1}}} dx = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int {\frac{{x^2 + 1}}{{x^4 + x^2 \sqrt 2 + 1}}} dx + (\frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }})\int {\frac{{dx}}{{x^4 + x^2 \sqrt 2 + 1}}} = K_1 + K_2 [/TEX]
[TEX]K_1 = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int {\frac{{x^2 + 1}}{{x^4 + x^2 \sqrt 2 + 1}}} dx = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int {\frac{{1 + \frac{1}{{x^2 }}}}{{x^2 + \sqrt 2 + \frac{1}{{x^2 }}}}dx = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int {\frac{{d(x - \frac{1}{x})}}{{(x - \frac{1}{x})^2 + (2 + \sqrt 2 )}}} } \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{2\sqrt {4 + 2\sqrt 2 } }}{\rm{ar}}ctg\frac{{(x - \frac{1}{x})}}{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }} + C_2 \\\[/TEX]
[TEX]K_2 = (\frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }})\int {\frac{{dx}}{{x^4 + x^2 \sqrt 2 + 1}}} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }})\int {\frac{{dx}}{{(x^2 + \frac{1}{{\sqrt 2 }})^2 + \frac{1}{2}}}}\\= \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}(\frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }})\int {\frac{{dt}}{{\sqrt {tg\,t + 1} }}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}tg\,t = x^2 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{2\sqrt[4]{2}c{\rm{os}}^2 t\sqrt {tg\,t + 1} }}} \right) \\= \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}(\frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }})\int {\left( {\frac{1}{{2u}} - \frac{1}{4}\frac{{2(u - 1)}}{{u^2 - 2u + 2}} + \frac{1}{2}\frac{1}{{(u - 1)^2 + 1}}} \right)} du\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {u = tg\,t + 1\Rightarrow dt = \frac{{du}}{{u^2 - 2u + 2}}} \right)\\=\frac{1}{{4\sqrt[4]{2}}}(\frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }})\ln \frac{{u^2 }}{{u^2 - 2u + 2}} + \frac{1}{{2\sqrt[4]{2}}}(\frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}){\rm{ar}}ctg(u - 1) \\= \frac{1}{{4\sqrt[4]{2}}}(\frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }})\ln \frac{{(x^2 \sqrt 2 + 2)^2 }}{{2x^4 + 2\sqrt 2 x^2 + 2}} + \frac{1}{{2\sqrt[4]{2}}}(\frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}){\rm{ar}}ctg(\sqrt 2 x^2 + 1) \\[/TEX]
[TEX]I_2 =\frac{1}{{2\sqrt{4+2\sqrt2}}}{\rm{ar}}ctg\frac{{(x-\frac{1}{x})}}{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }} + \frac{1}{{4\sqrt[4]{2}}}(\frac{1}{2} -\frac{1}{{2\sqrt 2 }})\ln \frac{{(x^2 \sqrt 2 + 2)^2 }}{{2x^4 + 2\sqrt 2 x^2 + 2}} \\+ \frac{1}{{2\sqrt[4]{2}}}(\frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}){\rm{ar}}ctg(\sqrt 2 x^2 + 1) \\\[/TEX]
Kết luận I=I1+I2
 
H

hatekuteboy

chắc đại học không ra dạng này đâu nhỉ , không thì chết mất
 
H

hocmai.toanhoc

Phản hồi của hocmai.toanhoc(Trịnh Hào Quang)

uh, Đại học không ra những tích phân phức tạp như thế này đâu em ah.
Có ra về tích phân chắc cùng lắm sau 1 lần đổi biến hay TP từng phần hay biến đổi vài bước đại số và đổi cận là ra thôi, cái quan trọng là mình phải tính cẩ thận.
Vậy đấy em ah!
Chúc em học tốt!
 
D

ducvietsp2

Bài này có lời giải ấn tượng sau 5 lần biến đổi dấu bằng là ra kết quả. Hoàn toàn có khả năng thi đại học. Đây sẽ là câu khó nhất để lấy điểm 10.
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom