Toán 9 Hỏi $P$ có là số hữu tỷ không? Vì sao?

[phong nguyen1234]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $n\in \mathbb{N}^*$ và $P=\dfrac{1}{\sqrt 2-\sqrt 3}-\dfrac{1}{\sqrt 3-\sqrt 4}+\dfrac{1}{\sqrt 4-\sqrt 5}-\dotsc+\dfrac{1}{\sqrt{2n}-\sqrt{2n+1}}$
Hỏi $P$ có là số hữu tỷ không? Vì sao?
Mọi người giải hộ em bài này với ạ

 

[Tiểu Bạch Lang]

Cho n nguyên dương và [tex]P= \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}-...+\frac{1}{\sqrt{2n}-\sqrt{2n+1}}[/tex]
Hỏi P có là số hữu tỷ không? Vì sao?
Có [TEX]\frac{1}{\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k}}=\frac{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k}}{2k-1-2k}=-\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k}[/TEX] với mọi k nguyên dương
[tex]\Rightarrow P=-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{4}-\sqrt{4}-\sqrt{5}+...-\sqrt{2n}-\sqrt{2n+1}=-\sqrt{2}-\sqrt{2n+1}[/tex]
Suy ra P không là số hữu tỉ.
Có gì thắc mắc thì bạn hỏi lại nhé!

 

[phong nguyen1234]

Cho n nguyên dương và [tex]P= \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}-...+\frac{1}{\sqrt{2n}-\sqrt{2n+1}}[/tex]
Hỏi P có là số hữu tỷ không? Vì sao?
Có [TEX]\frac{1}{\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k}}=\frac{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k}}{2k-1-2k}=-\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k}[/TEX] với mọi k nguyên dương
[tex]\Rightarrow P=-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{4}-\sqrt{4}-\sqrt{5}+...-\sqrt{2n}-\sqrt{2n+1}=-\sqrt{2}-\sqrt{2n+1}[/tex]
Suy ra P không là số hữu tỉ.
Có gì thắc mắc thì bạn hỏi lại nhé!

hình như phải chứng minh P không là số hữu tỉ nữa đó bạn bạn thử chứng minh xem được không

 

[iceghost]

hình như phải chứng minh P không là số hữu tỉ nữa đó bạn bạn thử chứng minh xem được không

Với mấy bài hữu tỉ liên quan căn như thế này thì bạn có thể khử căn như sau:

gt $\implies P + \sqrt{2} = -\sqrt{2n + 1}$

$\implies P^2 + 2 + 2\sqrt{2} P = 2n + 1$

$\implies \sqrt{2} = \dfrac{2n + 1 - P^2 - 2}{2P}$ (rõ ràng $P$ khác $0$ nên ta chia được như vậy)

Nếu $P$ là số hữu tỉ thì VP là số hữu tỉ. Khi đó sinh ra điều vô lý do VT là số vô tỉ (mình hy vọng là mình không phải chứng minh điều này? )

Bạn tham khảo thử nhé. Chúc bạn học tốt!