Toán 9 Hỏi $P$ có là số hữu tỷ không? Vì sao?

phong nguyen1234

Học sinh
Thành viên
24 Tháng tám 2021
68
68
21
18
Nghệ An
Trường THCS Trung Đô
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $n\in \mathbb{N}^*$ và $P=\dfrac{1}{\sqrt 2-\sqrt 3}-\dfrac{1}{\sqrt 3-\sqrt 4}+\dfrac{1}{\sqrt 4-\sqrt 5}-\dotsc+\dfrac{1}{\sqrt{2n}-\sqrt{2n+1}}$
Hỏi $P$ có là số hữu tỷ không? Vì sao?
Mọi người giải hộ em bài này với ạ
 

Attachments

  • Screenshot (994).png
    Screenshot (994).png
    83 KB · Đọc: 29
Last edited by a moderator:

Trần Nguyên Lan

TMod Toán|Duchess of Mathematics|Nghỉ phép dài hạn
Thành viên
9 Tháng tư 2020
1,047
1,063
181
16
Hải Dương
THPT Chuyên Nguyễn Trãi
Cho n nguyên dương và [tex]P= \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}-...+\frac{1}{\sqrt{2n}-\sqrt{2n+1}}[/tex]
Hỏi P có là số hữu tỷ không? Vì sao?
Có [TEX]\frac{1}{\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k}}=\frac{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k}}{2k-1-2k}=-\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k}[/TEX] với mọi k nguyên dương
[tex]\Rightarrow P=-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{4}-\sqrt{4}-\sqrt{5}+...-\sqrt{2n}-\sqrt{2n+1}=-\sqrt{2}-\sqrt{2n+1}[/tex]
Suy ra P không là số hữu tỉ.
Có gì thắc mắc thì bạn hỏi lại nhé!
 
  • Like
Reactions: Timeless time

phong nguyen1234

Học sinh
Thành viên
24 Tháng tám 2021
68
68
21
18
Nghệ An
Trường THCS Trung Đô
Cho n nguyên dương và [tex]P= \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}-...+\frac{1}{\sqrt{2n}-\sqrt{2n+1}}[/tex]
Hỏi P có là số hữu tỷ không? Vì sao?
Có [TEX]\frac{1}{\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k}}=\frac{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k}}{2k-1-2k}=-\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k}[/TEX] với mọi k nguyên dương
[tex]\Rightarrow P=-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{4}-\sqrt{4}-\sqrt{5}+...-\sqrt{2n}-\sqrt{2n+1}=-\sqrt{2}-\sqrt{2n+1}[/tex]
Suy ra P không là số hữu tỉ.
Có gì thắc mắc thì bạn hỏi lại nhé!
hình như phải chứng minh P không là số hữu tỉ nữa đó bạn bạn thử chứng minh xem được không
 
  • Like
Reactions: Timeless time

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,014
7,437
891
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
hình như phải chứng minh P không là số hữu tỉ nữa đó bạn bạn thử chứng minh xem được không
Với mấy bài hữu tỉ liên quan căn như thế này thì bạn có thể khử căn như sau:

gt $\implies P + \sqrt{2} = -\sqrt{2n + 1}$

$\implies P^2 + 2 + 2\sqrt{2} P = 2n + 1$

$\implies \sqrt{2} = \dfrac{2n + 1 - P^2 - 2}{2P}$ (rõ ràng $P$ khác $0$ nên ta chia được như vậy)

Nếu $P$ là số hữu tỉ thì VP là số hữu tỉ. Khi đó sinh ra điều vô lý do VT là số vô tỉ (mình hy vọng là mình không phải chứng minh điều này? :D)

Bạn tham khảo thử nhé. Chúc bạn học tốt!
 
Top Bottom