Toán 11 Hỏi các cách tìm cực trị của hàm lượng giác?

[thancuc_bg]

Bài 7: tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
[TEX]f(x;y)=\frac{sinx-siny}{1-sinx.siny}[/TEX] trong đó 0\leqx,[TEX]y\leq\frac{\large\pi}{2}[/TEX],xy#[tex]\frac{\large\pi}{4}[/TEX]
theo gt ta có:sinx.siny<1 và [TEX](sin^2x-1)(sin^2y-1)[/TEX]\geq0
\Leftrightarrow[TEX]sin^2x.sin^2y+1[/TEX]\geq[TEX]sin^2x+sin^2y[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]sin^2x.sin^2y-2sinx.siny+1[/TEX]\geq[TEX]sin^2x-2sinx.siny+sin^2y[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](sinx.siny-1)^2[/TEX]\geq[TEX](sinx-siny)^2[/TEX]
vậy [TEX](\frac{sinx-siny}{1-sinxsiny})^2[/TEX]\leq1
\Leftrightarrow-1\leq[TEX]\frac{sinx-siny}{1-sinx.siny}[/TEX]\leq1
vậy min=-1
max=1 khi...Long tự làm naz

 

[thancuc_bg]

Bài9:cho x,y là góc nhọn sao cho tanx=3tany,tìm GTLN của z=y-x
theo gt x.y [tex]\in \[/tex](o;pi\2) và tanx=tany=>y>x=>0<y-x<pi\2
\Rightarrow[TEX]tan(y-x)=\frac{tany-tanx}{1-tany.tanx}[/TEX]
[TEX]=\frac{2tanx}{1-tany.tanx}[/TEX]
áp dụng bất đẳng thức cosi ta có :[TEX]1+3tan^2x\geq2\sqrt3tanx[/TEX]
thay vào ta được:[TEX]tan(y-x)\leq\frac{2tanx}{2\sqrt3tanx}=\frac{1}{\sqrt3}=tan(\frac{\large\pi}{6})[/TEX]\Rightarrowy-x\leq[TEX]\frac{\large\pi}{6}[/TEX]
vạymaxz=[TEX]\frac{\large\pi}{6}[/TEX]khi.....
muộn rùi bài kia mai post sau naz

 

[giangln.thanglong11a6]

sau đây là 1 số ví dụ:
Bài 10: tìm GNLN và GTNN của hàm số
[TEX]y=sin2x-x[/TEX] trên[TEX][-\frac{\large\pi}{2};\frac{\large\pi}{2}][/TEX]

Không may là bài này chỉ có cách dùng khảo sát hàm số của lớp 12.
Ta tìm được [TEX]miny=-\frac{\pi}{2}[/TEX] khi [TEX]x=\frac{\pi}{2}[/TEX].
[TEX]maxy=\frac{\pi}{2}[/TEX] khi [TEX]x=-\frac{\pi}{2}[/TEX]

Bài Olympic HN-Ams nếu không ai giải được thì vài hôm nữa tớ sẽ post.

 

[thancuc_bg]

Không may là bài này chỉ có cách dùng khảo sát hàm số của lớp 12.
Ta tìm được [TEX]miny=-\frac{\pi}{2}[/TEX] khi [TEX]x=\frac{\pi}{2}[/TEX].
[TEX]maxy=\frac{\pi}{2}[/TEX] khi [TEX]x=-\frac{\pi}{2}[/TEX]

Bài Olympic HN-Ams nếu không ai giải được thì vài hôm nữa tớ sẽ post.

ờ bài này sử dụng đạo hàm 12 khảo nào tớ ko làm được bài olympic HN-Ams bạn post đáp án lên đi cho mọi ngươig tham khảo

 

[nguyenminh44]

Cho tam giác ABC thoả mãn tanA+tanC=2tanB.

a) Tìm minB.

b) CMR [TEX]cosA+cosC\leq \frac{3\sqrt{2}}{4}[/TEX]

[TEX]tan A +tanC =2tan B \Leftrightarrow \frac{sinA}{cosA} + \frac{sinC}{cosC} = \frac{2sinB}{cosB} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{sin{(A+C)}}{cosA.cosC}=\frac{2sinB}{cosB}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cosB= 2cosA.cosC=cos(A+C)+ cos(A-C) \Leftrightarrow 2cosB=cos(A-C)[/TEX] (1)

[TEX]\Rightarrow cosB=\frac{1}{2}cos(A-C)\leq \frac{1}{2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow max cosB=\frac{1}{2}\Rightarrow minB = 60^o[/TEX]. Đạt khi tam giác đều

Câu b. Từ [TEX]cosB=2cosA.cosC[/TEX] tiếp tục suy ra
[TEX]tangA.tanC=3\Rightarrow (\frac{sinA.sinC}{cosA.cosC})^2=9 [/TEX]

Đặt cosA=x ; cosC=y cho gọn.

Ta có [TEX]\frac{(1-x^2)(1-y^2)}{x^2y^2}=9 \Leftrightarrow 8(xy)^2 +x^2 + y^2 -1 =0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2+ y^2 =1-8(xy)^2[/TEX]

Ta có [TEX](cosA + cosC)^2 = (x+y)^2 = x^2 + y^2 +2xy = -8(xy)^2 +2xy +1 \leq \frac{9}{8}[/TEX]
Suy ra điều phải chứng minh. Các cậu làm tiếp phần dấu bằng nhé, khá thú vị đấy

 

[nguyenminh44]

Trong lúc làm bài của giangln.thanglong11a6, tớ chợt nghiệm ra bất đẳng thức này các cậu thử làm nhé:

Cho tam giác ABC nhọn . Chứng minh [TEX]tan A +tanC\geq 2 cotg\frac{B}{2}[/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

Trong lúc làm bài của giangln.thanglong11a6, tớ chợt nghiệm ra bất đẳng thức này các cậu thử làm nhé:

Cho tam giác ABC nhọn . Chứng minh [TEX]tan A +tanC\geq 2 cotg\frac{B}{2}[/TEX]

ta đưa về chứng minh bài toán tổng quát

[TEX]0 \leq x,y \leq \frac{\pi}{2}[/TEX] thì

[TEX]tan \frac{x+y}{2} \leq \frac{tan x+tany}{2}[/TEX]
Ta có 2 bất đẳng thức cơ bản sau

[TEX]i)0 \leq x,y \leq \pi[/TEX] thì

[TEX]\frac{sin x+sin y}{2} \leq sin(\frac{x+y}{2})[/TEX]

[TEX]ii)-\frac{\pi}{2} \leq x,y \leq \frac{\pi}{2}[/TEX] thì

[TEX]\frac{cos x+cos y}{2} \leq cos(\frac{x+y}{2})[/TEX]

ta có

[TEX]cos x.cos y \leq (\frac{cos x+cos y}{2})^2 \leq cos^2 \frac{x+y}{2}[/TEX]

Vậy

[TEX]tan \frac{x+y}{2}=\frac{sin(\frac{x+y}{2}).cos(\frac{x+y}{2})}{cos^2 \frac{x+y}{2}}\leq \frac{sin (x+y)}{2 cos x.cos y}=\frac{tan x+tany}{2}[/TEX]

Dấu [TEX]"="[/TEX] khi [TEX]x=y[/TEX]

 

[nguyenminh44]

ta đưa về chứng minh bài toán tổng quát

[TEX]0 \leq x,y \leq \frac{\pi}{2}[/TEX] thì

[TEX]tan \frac{x+y}{2} \leq \frac{tan x+tany}{2}[/TEX]
Ta có 2 bất đẳng thức cơ bản sau

[TEX]i)0 \leq x,y \leq \pi[/TEX] thì

[TEX]\frac{sin x+sin y}{2} \leq sin(\frac{x+y}{2})[/TEX]

[TEX]ii)-\frac{\pi}{2} \leq x,y \leq \frac{\pi}{2}[/TEX] thì

[TEX]\frac{cos x+cos y}{2} \leq cos(\frac{x+y}{2})[/TEX]

ta có

[TEX]cos x.cos y \leq (\frac{cos x+cos y}{2})^2 \leq cos^2 \frac{x+y}{2}[/TEX]

Vậy

[TEX]tan \frac{x+y}{2}=\frac{sin(\frac{x+y}{2}).cos(\frac{x+y}{2})}{cos^2 \frac{x+y}{2}}\leq \frac{sin (x+y)}{2 cos x.cos y}=\frac{tan x+tany}{2}[/TEX]

Dấu [TEX]"="[/TEX] khi [TEX]x=y[/TEX]

Vốn dĩ định để các mem làm lâu lâu chút, nhưng quan bác đã post bài thì tui đành post luôn lời giải của mình vậy

BĐT [TEX] \Leftrightarrow \frac{sinA}{cosA}+\frac{sinC}{cosC} \geq 2\frac{sinA +sinC}{cosA+cosC}[/TEX] (1)

Đặt sin A =a; cosA=b ; sin C=c; cosC=d cho gọn

[TEX](1) \Leftrightarrow (ad+bc)(b+d) -2(a+c)bd\geq 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ad^2 + cb^2 -abd - bcd \geq 0 [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow (b-d)(bc-ad)\geq 0 \Leftrightarrow (cosC - cosA).sin (C-A)\geq 0[/TEX]

Xét hai trường hợp [TEX]C \geq A[/TEX] và [TEX]C\leq A[/TEX] thu được điều phải chứng minh

 

[nguyenminh44]

Còn đây là một bài toán cực trị mới:

Tìm min , max của biểu thức [TEX]y=cos {\frac{2x}{x^2+1}} +cos { \frac{4x}{x^2+1}} +1[/TEX]

 

[thancuc_bg]

Còn đây là một bài toán cực trị mới:

Tìm min , max của biểu thức [TEX]y=cos {\frac{2x}{x^2+1}} +cos { \frac{4x}{x^2+1}} +1[/TEX]

đặt[TEX]t=\frac{2x}{1+x^2}[/TEX]-1\leqt1
ta có y=[TEX]cost+cos2t+1=cost+2cos^2t[/TEX](-1\leqt\leq1)
đặt cost=u[TEX]y=2u^2+u[/TEX](-1\lequ\leq1 nên cos1\leqt\leq1)
ymin=[TEX]2cos^21+cos1[/TEX]
ymax=3
hic hình như cái này phải dùng đạo hàm thì phải,mà bọn em thì hưa học đạo hàm anh chị 12 nào hộ em cái đó nha

 

[giangln.thanglong11a6]

Bài cực trị lượng giác mới:

1. Tìm min[TEX] y = \sqrt{2}\left|sinx \right|+\left|sinx-cosx \right|[/TEX] với mọi x.

2. Với A, B, C là 3 góc của 1 tam giác:

a) Tìm max [TEX]y =cosA+\sqrt{2}(cosB+cosC)[/TEX]

b) Tìm max [TEX]y = cos2A+cos2B-cos2C[/TEX]

 

[thancuc_bg]

b) Tìm max [TEX]y = cos2A+cos2B-cos2C[/TEX]

[TEX]y=cos2A+cos2B-cos2C[/TEX]
[TEX]=-2cosC.cos(A-B)-2cos^2C+1[/TEX]
[TEX]=-2(cos^2C+cosC.cos(A-B)+\frac{1}{4}cos^2(A-B))+\frac{1}{2}cos^2(A-B)+1[/TEX]
[TEX]=-2(cosC+\frac{1}{2}cos(A-B))^2+\frac{1}{2}cos^2(A-B)[/TEX]
ta có:[TEX](cosC+\frac{1}{2}cos(A-B))^2\leq(1+\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}[/TEX]
[TEX]cos^2(A-B)\leq1[/TEX]
=>y\leq[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]
Ymax=[TEX]\frac{3}{2}[/TEX] đạt được khi:
[TEX]cosC+\frac{1}{2}cos(A-B)=0[/TEX]
và
[TEX]cos(A-B)=1[/TEX]
--------------------------------------
làm thử 1 bài ko để đây nó mốc mất.

 

[giangln.thanglong11a6]

Làm câu 2a) vậy tại chẳng ai làm cả.

Ta có [TEX]cosB+cosC=2cos{\frac{B+C}{2}}cos{\frac{B-C}{2}}[/TEX]

[TEX]\leq 2cos{\frac{B+C}{2}} = 2sin{ \frac{A}{2}}[/TEX]

Do đó ta sẽ đi tìm max [TEX]cosA+2 \sqrt{2} sin {\frac{A}{2}}[/TEX]

[TEX]=1-2sin^2 {\frac{A}{2}} +2 \sqrt{2} sin {\frac{A}{2}}[/TEX]

[TEX]=-(\sqrt{2} sin {\frac{A}{2}} -1)^2+2 \leq 2[/TEX]

Đẳng thức xảy ra đồng thời khi [TEX]\left{B=C\\A=\frac{\pi}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \Delta ABC[/TEX] vuông cân tại A.

Vậy max y =2