Toán 11 Hỏi các cách tìm cực trị của hàm lượng giác?

L

longtt1992

Last edited by a moderator:
X

xilaxilo

1 bài VD nè

[TEX]y = 1- cos(2x +1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2sin^2( x +\frac{1}{2})[/TEX]
[TEX]sin(x+\frac{1}{2}[/TEX] có tập giá trị là [-1 ; 1] , [TEX]sin^2( x+\frac{1}{2})[/TEX] có tập giá trị là [0 ; 2] do đó y có tập giá trị là [0 ; 2]
=> min, max

để tìm cực trị của 1 bài toán có nhiều cách tuỳ vào từng bài
 
L

longtt1992

Các bạn giúp mình với ..................................... Mình cám ơn các bạn rất nhiều đó.
 
L

longtt1992

Không ai giúp tôi à ..................... giúp đi chứ tôi không biết cách giải các hàm lượng giác đó.
 
O

oack

thì xilaxilo nói oy mà tùy từng bài mà tim cực trị thôi nếu cậu muốn tìm cụ thể bài nào thì pót lên mọi người cùng giải :D
 
L

longtt1992

Các pp giải các bài toán cực trị của hàm lượng giác : Các bạn biết pp nào thì post 1 bài lên rồi làm theo pp đó. Giúp mình nhé. :p
 
G

giangln.thanglong11a6

Nói chung chỉ có dạng tìm cực trị của [TEX]y=asinx+bcosx[/TEX].
Hàm này có [TEX]miny=-\sqrt{a^2+b^2}[/TEX] và [TEX]maxy=\sqrt{a^2+b^2}[/TEX]. CM kết quả trên bằng BĐT Bunyacovski hoặc biến đổi theo [TEX]t=tan(\frac{x}{2})[/TEX]. Khi đó [TEX]sinx=\frac{2t}{1+t^2}[/TEX] và [TEX]cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/TEX]

Từ đây ta có thể mở rộng cho bài toán tìm min, max [TEX]y=\frac{asinx+bcosx+c}{Asinx+Bcosx+C}[/TEX] bằng cách dùng phương pháp miền giá trị.
 
T

thancuc_bg

sau đây là 1 số ví dụ:
Bài 1: tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
PHP: 
 đã làm
[TEX]y=2(1+sin2x.cos4x)-\frac{1}{2}(cos4x-cos8x)[/TEX]
Bài 2:tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số
[TEX]y=\frac{sinx+2cosx+3}{2sinx+cosx+3}[/TEX]
PHP: 
đã làm bởi longtt92
Bài 3:tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
[TEX]y=sin^{10}x+cos^{10}x[/TEX]
PHP: 
đã làm bởi giangln.thanglong11a6
Bài 4:tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
[TEX]y=\frac{1}{|sinx|}+\frac{1}{|cosx|}[/TEX]
PHP: 
đã làm bởi giangln.thanglong11a6
Bài 5: tìm min và max của hàm số
[TEX]y=\sqrt{cos^2x+7sin^2x}+\sqrt{sin^2x+7cos^2x}[/TEX]
PHP: 
đã làm bởi ctsp_a1k40sp
Bài 6:tìm min và max của biểu thức
[TEX]P=cosx+cosy-cos(x+y)[/TEX]
Bài 7: tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
[TEX]f(x;y)=\frac{sinx-siny}{1-sinx.siny}[/TEX] trong đó 0\leqx,[TEX]y\leq\frac{\large\pi}{2}[/TEX],xy#[tex]\frac{\large\pi}{4}[/TEX]
Bài 8:cho [TEX]sin^2x+sin^2y=\frac{1}{2}[/tex]
PHP: 
đã làm bởi giangln.thanglong11a6
trị lớn nhất và nhỏ nhất của
[TEX]S=tan^2x+tan^2y[/TEX]
Bài9:cho x,y là góc nhọn sao cho tanx=3tany,tìm GTLN của z=x-y
Bài 10: tìm GNLN và GTNN của hàm số
[TEX]y=sin2x-x[/TEX] trên[TEX][-\frac{\large\pi}{2};\frac{\large\pi}{2}][/TEX]
tớ post hơi nhiều nhưng mỗi bài là 1 dạng khác nhau mọi người từ từ làm rồi post đáp án lên nha
tớ sẽ đánh dấu bài nào làm rồi
 
Last edited by a moderator:
Q

quang1234554321

bạn vào ********** hoặc đọc sách đọc thêm thì kiểu gi cũng có mấy cái nầy hết
 
L

longtt1992

thancuc_bg said:
sau đây là 1 số ví dụ:
Bài 1: tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
[TEX]y=2(1+sin2x.cos4x)-\frac{1}{2}(cos4x-cos8x)[/TEX]
Bài 2:tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số
[TEX]y=\frac{sinx+2cosx+3}{2sinx+cosx+3}[/TEX]
Bài 3:tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
[TEX]y=sin^{10}x+cos^{10}x[/TEX]
Bài 4:tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
[TEX]y=\frac{1}{|sinx|}+\frac{1}{|cosx|}[/TEX]
Bài 5: tìm min và max của hàm số
[TEX]y=\sqrt{cos^2x+7sin^2x}+\sqrt{sin^2x+7cos^2x}[/TEX]
Bài 6:tìm min và max của biểu thức
[TEX]P=cosx+cosy-cos(x+y)[/TEX]
Bài 7: tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
[TEX]f(x;y)=\frac{sinx-siny}{1-sinx.siny}[/TEX] trong đó 0\leqx,[TEX]y\leq\frac{\large\pi}{2}[/TEX],xy#[tex]\frac{\large\pi}{4}[/TEX]
Bài 8:cho [TEX]sin^2x+sin^2y=\frac{1}{2}[/TEX],tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
[TEX]S=tan^2x+tan^2y[/TEX]
Bài9:cho x,y là góc nhọn sao cho tanx=3tany,tìm GTLN của z=x-y
Bài 10: tìm GNLN và GTNN của hàm số
[TEX]y=sin2x-x[/TEX] trên[TEX][-\frac{\large\pi}{2};\frac{\large\pi}{2}][/TEX]
tớ post hơi nhiều nhưng mỗi bài là 1 dạng khác nhau mọi người từ từ làm rồi post đáp án lên nha
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...




Các bạn giải mấy bài trên kia đi. Tôi và các bạn hãy cùng nhau giải thôi :p Cố lên các bạn nhé. :D
 
G

giangln.thanglong11a6

Bài 3: [TEX]sin^{10}x \leq sin^{2}x[/TEX] và [TEX]cos^{10}x\leq cos^{2}x[/TEX] nên [TEX]y \leq sin^{2}x+cos^{2}x=1[/TEX]. Đẳng thức xảy ra khi [TEX]x=\frac{k\pi}{2}[/TEX]. Vậy maxy=1

Áp dụng BĐT Cauchy suy ra [TEX]sin^{10}x+cos^{10}x\geq \frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{16}=1/16.[/TEX]. Đẳng thức xảy ra khi [TEX]x=\frac{(2k+1)\pi}{4}[/TEX]. miny =1/16

Bài 4: Theo BĐT [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}[/TEX] và [TEX]a+b\leq\sqrt{2(a^2+b^2)}[/TEX] ta có:

[TEX]\frac{1}{\left|sinx \right|}+\frac{1}{\left|cosx \right|}\geq \frac{4}{\left|sinx \right|+\left|cosx \right|} \geq \frac{4}{\sqrt{2(sin^{2}x+cos^{2}x)}}=2\sqrt{2}[/TEX]

Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow \left|sinx \right|=\left|cosx \right|[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=\frac{(2k+1)\pi}{4}[/TEX]
Vậy [TEX]miny = 2\sqrt{2}[/TEX]
 
C

ctsp_a1k40sp

Bài 5:
đặt [TEX]sin ^2(x)=a, cos ^2 (x)=b -> a+b=1 [/TEX] và [TEX]a,b \in [0,1][/TEX]
[TEX]y=\sqrt{1+6a}+\sqrt{1+6b}[/TEX]
[TEX]y^2=8+2\sqrt{(1+6a)(1+6b)} \leq 8+1+6a+1+6b =16[/TEX]
suy ra [TEX]y \leq 4[/TEX]
mà [TEX](1+6a)(1+6b) =1+6+36ab \geq 7[/TEX]
nên [TEX]y^2 \geq 8+2 \sqrt{7}=(\sqrt{7}+1)^2[/TEX]
nên [TEX]y \geq \sqrt{7}+1[/TEX]
 
L

longtt1992

Mình trả lời :
Bài 2 :
[TEX]y = \frac{sinx + 2cosx + 3}{2sinx + cosx + 3}[/tex]
\Leftrightarrow [TEX]2ysinx + ycosx + 3y = sinx + 2cosx + 3[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](2y - 1)sinx + (y - 2)cosx = 3 - 3y[/TEX]

Để pt trên có nghiệm thì :
[TEX](2y - 1)^2 + (y - 2)^2 \geq (3 - 3y)^2[/tex]
\Leftrightarrow [TEX]4y^2 - 4y + 1 + y^2 - 4y + 4 \geq 9 - 18y + 9y^2[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]4y^2 - 10y + 4 \leq 0[/tex]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{1}{2} \leq y \leq 2[/tex]

Vậy [TEX]miny = \frac{1}{2}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{1}{2} = \frac{sinx + 2cosx + 3}{ 2sinx + cosx + 3}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]cosx = -1[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]x = \pi + 2k\pi[/TEX]

còn maxy cũng tương tự thôi. Các bạn tự giải nha.:D
 
Last edited by a moderator:
G

giangln.thanglong11a6

Đề Olympic HN-Ams Toán 11 2007-2008

Cho tam giác ABC thoả mãn tanA+tanC=2tanB.

a) Tìm minB.

b) CMR [TEX]cosA+cosC\leq \frac{3\sqrt{2}}{4}[/TEX]
 
L

longtt1992

Bài 5 nè :
[tex]y = \sqrt{cos^2x + 7sin^2x} + \sqrt{sin^2x + 7cos^2x}[/tex]
[tex]y^2 = (\sqrt{cos^2x + 7sin^2x} + \sqrt{sin^2x + 7cos^2x})^2[/tex]
Theo BĐT BUN thì ta có
[TEX](\sqrt{cos^2x + 7sin^2x} + \sqrt{sin^2x + 7cos^2x})^2 \leq 2[ cos^2x + sin^2x + 7(sin^2x + cos^2x)][/tex]
\Leftrightarrow [TEX]y^2 \leq 16[/TEX]

Rồi các bạn tự tìm dấu bằng nhé.
:p
 
T

thancuc_bg

Bài 1:[TEX]y=2(1+sin2x.cos4x)-\frac{1}{2}(cos4x-cos8x)[/TEX]
[TEX]=2(1+sin2x.cos4x)-\frac{1}{2}(2cos^22x-1-2cos^24x+1)[/TEX]
[TEX]=cos^24x+2sin2x.cos4x+sin^22x+1=(cos4x+sin2x)^2+1[/TEX]
[TEX]=(2sin^22x-sin2x-1)^2+1[/TEX]
suy ra ymin =1khi
đạt đc khi [TEX]2sin^22x-sin2x-1=0[/TEX]
ymax=5 khi sin2x=-1
 
Last edited by a moderator:
T

tiendung2992

Để tìm cực trị về LG , bạn cố gắng đưa nó về tổng các bình phương , hoặc dùng cách đánh giá . Đưa về dạng để dùng BDT AM-GM và Cauchy - Swart ....Chúc bạn thành công nghen 1
 
G

giangln.thanglong11a6

thancuc_bg said:
sau đây là 1 số ví dụ:
Bài 8:cho [TEX]sin^2x+sin^2y=\frac{1}{2}[/TEX],tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
[TEX]S=tan^2x+tan^2y[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Từ công thức [TEX]sin^{2}x=\frac{tan^{2}x}{tan^{2}x+1}[/TEX] ta đặt [TEX]tan^{2}x=a[/TEX], [TEX]tan^{2}y=b[/TEX] và thu được:
[TEX]\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}=\frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}=\frac{3}{2}[/TEX](*)

Ta có [TEX]VT \geq \frac{4}{a+1+b+1}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a+b\geq \frac{2}{3}[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b\Leftrightarrow sin^{2}x=sin^{2}y[/TEX]. Vậy [TEX]minS=\frac{2}{3}[/TEX]

Từ đẳng thức (*) biến đổi ta thu được [TEX]a+b=1-3ab \leq 1[/TEX] (vì a và b không âm)
Đẳng thức xảy ra khi a=0, b=1 hoặc hoán vị [TEX]\Leftrightarrow sin^2x=\frac{1}{2}, sin^2y=0[/TEX] hoặc hoán vị. Vậy maxS=1
 
T

thancuc_bg

Bài 6:tìm min và max của biểu thức
[TEX]P=cosx+cosy-cos(x+y)[/TEX]
[TEX]=2cos(\frac{x+y}{2}).cos)\frac{x-y}{2})-(2cos^2(\frac{x+y}{2}}-1)[/TEX]
[TEX]=-2(cos^2(\frac{x+y}{2})-cos(\frac{x+y}{2})+\frac{1}{4}cos^2(\frac{x-y)}{2}))+\frac{1}{2}cos^2(\frac{x-y}{2})+1[/TEX]
[TEX]=(cos(\frac{x+y}{2})-\frac{1}{2}cos(\frac{x-y}{2}))^2+\frac{1}{2}cos^2(\frac{x-y}{2})+1[/TEX]
[TEX]0\leq(cos(\frac{x+y}{2})-\frac{1}{2}cos(\frac{x-y}{2}))^2\leq(1+\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}[/TEX]và 0\leq[TEX]cos^2(\frac{x-y}{2})[/tex][tex]\leq1[/TEX]
ta được -3\leqy\leq[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]
ymax,ymin đạt được khi:...longtt92 tự làm nha vì hơi dài mà
còn 2 bài nữa tớ post lên sau cho jo bận quá:D
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom