Toán 12 [HÌNH HỌC 12] Phương trình mặt phẳng, mặt cầu, khoảng cách

[minhhoang_vip]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm $A(a,0,0), \ B(0,b,0), \ C(0,0,c)$, trong đó $a>0, \ b>0, \ c>0$ và $\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 7$. Biết mặt phẳng $(ABC)$ tiếp xúc với $(S): (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = \dfrac{72}{7}$. Thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng:
A. $\dfrac{5}{6}$

B. $\dfrac{3}{8}$

C. $\dfrac{1}{6}$

D. $\dfrac{2}{9}$

 

[Ivysaur]

• Mặt phẳng qua [tex]A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)[/tex] có phương trình:

[tex](ABC):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1=0.[/tex]

• Mặt cầu [tex](S): (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=\frac{72}{7}[/tex] có tâm [tex]I(1,2,3)[/tex] và bán kính [tex]r=\sqrt{\frac{72}{7}}[/tex] .
  
• Khoảng cách [tex]I[/tex] từ đến [tex](ABC)[/tex] :

[tex]d=\frac{|\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}-1|}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\frac{|7-1|}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\frac{6}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}.[/tex]

• Vì [tex](ABC)[/tex] tiếp xúc với [tex](S)[/tex] nên:

[tex]d=r\Leftrightarrow d^2=r^2\Leftrightarrow\frac{6^2}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\frac{72}{7}\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{7}{2}.[/tex]

• Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:

[tex]7^2=\left(\frac1a+\frac2b+\frac3c\right)^2\le\left(1^2+2^2+3^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{7}{2}.[/tex]

• Như vậy xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức. Suy ra: [tex]a=2b=3c\;\;\Leftrightarrow\;\;b=\frac{a}{2},\;\;c=\frac{a}{3}[/tex].

Thay vào [tex]\frac1a+\frac2b+\frac3c=7[/tex] ta có [tex]a=2[/tex].

• Thể tích tứ diện [tex]OABC[/tex] là:

[tex]V=\frac16abc=\frac16\times a\times\frac{a}{2}\times\frac{a}{3}=\frac{2^3}{6\times2\times3}=\frac{2}{9}.[/tex]