- Mặt phẳng qua [tex]A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)[/tex] có phương trình:
[tex](ABC):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1=0.[/tex]
- Mặt cầu [tex](S): (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=\frac{72}{7}[/tex] có tâm [tex]I(1,2,3)[/tex] và bán kính [tex]r=\sqrt{\frac{72}{7}}[/tex] .
- Khoảng cách [tex]I[/tex] từ đến [tex](ABC)[/tex] :
[tex]d=\frac{|\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}-1|}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\frac{|7-1|}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\frac{6}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}.[/tex]
- Vì [tex](ABC)[/tex] tiếp xúc với [tex](S)[/tex] nên:
[tex]d=r\Leftrightarrow d^2=r^2\Leftrightarrow\frac{6^2}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\frac{72}{7}\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{7}{2}.[/tex]
- Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:
[tex]7^2=\left(\frac1a+\frac2b+\frac3c\right)^2\le\left(1^2+2^2+3^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{7}{2}.[/tex]
- Như vậy xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức. Suy ra: [tex]a=2b=3c\;\;\Leftrightarrow\;\;b=\frac{a}{2},\;\;c=\frac{a}{3}[/tex].
Thay vào [tex]\frac1a+\frac2b+\frac3c=7[/tex] ta có [tex]a=2[/tex].
- Thể tích tứ diện [tex]OABC[/tex] là:
[tex]V=\frac16abc=\frac16\times a\times\frac{a}{2}\times\frac{a}{3}=\frac{2^3}{6\times2\times3}=\frac{2}{9}.[/tex]