Toán Hình bình hành (khó)

Toshiro Koyoshi

Bậc thầy Hóa học
Thành viên
30 Tháng chín 2017
3,918
6,124
724
18
Hưng Yên
Sao Hoả
Last edited:

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT tích cực 2017
28 Tháng hai 2017
4,472
5,490
779
Hà Nội
THPT Đồng Quan
Cho tam giác nhọn ABC, các đường ca BK và CL cắt nhau tại H.Một đường thẳng đi qua H cắt Am; AC lần lượt tại P; Q. Chứng minh rằng HP=HQ khi và chỉ khi MP=MQ, với M là trung điểm của cạnh BC.
$Am$ ở đâu đấy e :v
 

Toshiro Koyoshi

Bậc thầy Hóa học
Thành viên
30 Tháng chín 2017
3,918
6,124
724
18
Hưng Yên
Sao Hoả
Cho tam giác nhọn ABC, AB<AC; O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác hai hình vuông ABDE, ACGH. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của EH và BC.
a, Chứng minh rằng AM vuông góc với BC
b, Cho biết OH = OE. Tính góc BAC
 

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT tích cực 2017
28 Tháng hai 2017
4,472
5,490
779
Hà Nội
THPT Đồng Quan
Cho tam giác nhọn ABC, các đường ca BK và CL cắt nhau tại H.Một đường thẳng đi qua H cắt AH; AC lần lượt tại P; Q. Chứng minh rằng HP=HQ khi và chỉ khi MP=MQ, với M là trung điểm của cạnh BC.
Goi $I$ là trực tâm của $\triangle BPH$. Khi đó ta có $BI\perp PH;PI\perp BH$.
Lại có: $QC\perp BH$ suy ra $PI\parallel CQ$ suy ra $\triangle IHP = \triangle CHQ$ (c.g.c)
Suy ra $HI=HC$. Mà $MB=MC$ nên $MH\parallel IB$.
Do đó $MH\perp PQ$ hay $MH$ là đường cao của $\triangle MPQ$.
Mặt khác: $MH$ là trung tuyến của $\triangle MPQ$.
Suy ra $\triangle MNP$ cân tại $M$ suy ra $MP=MQ$.
Vậy...
P/s: Chị chỉ làm 1 bài thôi :v bài kia để phần mina ^^
 

Toshiro Koyoshi

Bậc thầy Hóa học
Thành viên
30 Tháng chín 2017
3,918
6,124
724
18
Hưng Yên
Sao Hoả
Goi $I$ là trực tâm của $\triangle BPH$. Khi đó ta có $BI\perp PH;PI\perp BH$.
Lại có: $QC\perp BH$ suy ra $PI\parallel CQ$ suy ra $\triangle IHP = \triangle CHQ$ (c.g.c)
Suy ra $HI=HC$. Mà $MB=MC$ nên $MH\parallel IB$.
Do đó $MH\perp PQ$ hay $MH$ là đường cao của $\triangle MPQ$.
Mặt khác: $MH$ là trung tuyến của $\triangle MPQ$.
Suy ra $\triangle MNP$ cân tại $M$ suy ra $MP=MQ$.
Vậy...
P/s: Chị chỉ làm 1 bài thôi :v bài kia để phần mina ^^
Chị nên nhớ là cụm từ khi và chỉ khi ạ là mũi tên hai chiều đó ạ, chị làm vẫn thiếu hẳn 1 ý lớn!
 

Ann Lee

Cựu Mod Toán
Thành viên
14 Tháng tám 2017
1,782
2,981
459
Hưng Yên
Cho tam giác nhọn ABC, AB<AC; O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác hai hình vuông ABDE, ACGH. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của EH và BC.
a, Chứng minh rằng AM vuông góc với BC
b, Cho biết OH = OE. Tính góc BAC
Mới sáng sớm vội quá nên chỉ làm tắt đc câu a, bạn thông cảm nha
Khi đi học về sẽ làm tiếp câu b ;)
Hình bạn tự vẽ nha
Gọi I là giao điểm của AM và BC
Trên tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MF = MA thì tứ giác AEFH là hình bình hành, suy ra FH = AE = AB, HA = AC
[tex]\Delta AHF=\Delta CAB (c.g.c)[/tex] suy ra: [tex]\widehat{HAF}=\widehat{ACB}[/tex]
Mà [tex]\widehat{HAF}+\widehat{CAI}=90^{\circ}[/tex] ,
do đó [tex]\widehat{CAI}+\widehat{IAC}=90^{\circ}[/tex]
=> [tex]\widehat{AIC}=90^{\circ}[/tex]
=> AI vuông góc với BC
Hay AM vuông góc với BC (đpcm)
 

Toshiro Koyoshi

Bậc thầy Hóa học
Thành viên
30 Tháng chín 2017
3,918
6,124
724
18
Hưng Yên
Sao Hoả
Mới sáng sớm vội quá nên chỉ làm tắt đc câu a, bạn thông cảm nha
Khi đi học về sẽ làm tiếp câu b ;)
Hình bạn tự vẽ nha
Gọi I là giao điểm của AM và BC
Trên tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MF = MA thì tứ giác AEFH là hình bình hành, suy ra FH = AE = AB, HA = AC
[tex]\Delta AHF=\Delta CAB (c.g.c)[/tex] suy ra: [tex]\widehat{HAF}=\widehat{ACB}[/tex]
Mà [tex]\widehat{HAF}+\widehat{CAI}=90^{\circ}[/tex] ,
do đó [tex]\widehat{CAI}+\widehat{IAC}=90^{\circ}[/tex]
=> [tex]\widehat{AIC}=90^{\circ}[/tex]
=> AI vuông góc với BC
Hay AM vuông góc với BC (đpcm)
góc HAF+ góc CAI đâu có bằng 90 độ đâu?
 

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT tích cực 2017
28 Tháng hai 2017
4,472
5,490
779
Hà Nội
THPT Đồng Quan
Chị nên nhớ là cụm từ khi và chỉ khi ạ là mũi tên hai chiều đó ạ, chị làm vẫn thiếu hẳn 1 ý lớn!
Trên tia đối của $MQ$ lấy điểm $N$ sao cho $MN = MQ$.
Suy ra $BNCQ$ là hình bình hành nên $BN\parallel CQ$.
Mà $PI\parallel CQ$ suy ra $PI\parallel BN$.
Mặt khác có $MP=MQ=MN$ nên $NP\perp PQ$
Do đó $NP\parallel BI$ (vì cùng vuông góc với $PQ$).
Từ đó suy ra $BNPI$ là hình bình hành nên $PI=BN$
Mà $BN=CQ$ suy ra $PI=CQ$
Suy ra $IPCQ$ là hình bình hành suy ra $HP=HQ$.
 

Ann Lee

Cựu Mod Toán
Thành viên
14 Tháng tám 2017
1,782
2,981
459
Hưng Yên
góc HAF+ góc CAI đâu có bằng 90 độ đâu?
Có 3 điểm F,A,I thẳng hàng => [tex]\widehat{HAF}+\widehat{HAC}+\widehat{CAI}=180^{\circ}[/tex]
Mà [tex]\widehat{HAC}=90^{\circ}[/tex] ( vì tứ giác ACGH là hình vuông)
[tex]\Rightarrow \widehat{HAF}+\widehat{CAI}=90^{\circ}[/tex]
Đó, bằng 90 độ mà
 

Toshiro Koyoshi

Bậc thầy Hóa học
Thành viên
30 Tháng chín 2017
3,918
6,124
724
18
Hưng Yên
Sao Hoả
Goi $I$ là trực tâm của $\triangle BPH$. Khi đó ta có $BI\perp PH;PI\perp BH$.
Lại có: $QC\perp BH$ suy ra $PI\parallel CQ$ suy ra $\triangle IHP = \triangle CHQ$ (c.g.c)
Suy ra $HI=HC$. Mà $MB=MC$ nên $MH\parallel IB$.
Do đó $MH\perp PQ$ hay $MH$ là đường cao của $\triangle MPQ$.
Mặt khác: $MH$ là trung tuyến của $\triangle MPQ$.
Suy ra $\triangle MNP$ cân tại $M$ suy ra $MP=MQ$.
Vậy...
P/s: Chị chỉ làm 1 bài thôi :v bài kia để phần mina ^^
Có 3 điểm F,A,I thẳng hàng => [tex]\widehat{HAF}+\widehat{HAC}+\widehat{CAI}=180^{\circ}[/tex]
Mà [tex]\widehat{HAC}=90^{\circ}[/tex] ( vì tứ giác ACGH là hình vuông)
[tex]\Rightarrow \widehat{HAF}+\widehat{CAI}=90^{\circ}[/tex]
Đó, bằng 90 độ mà
Vậy làm luôn bài này để em kiểm tra ạ!
Cho hình vuông ABCD. Gọi M là điểm trên cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD (M; N không trùng với đỉnh của hình vuông) sao cho $\widehat{MAN}=45^o$ , AM và AN cắt đường chéo BD lần lượt tại G và I. Kẻ $AH\perp MN$. Chứng minh rằng tam giác IGH là tam giác vuông và $IG^2=ID^2+GB^2$
 

Ann Lee

Cựu Mod Toán
Thành viên
14 Tháng tám 2017
1,782
2,981
459
Hưng Yên
Vậy làm luôn bài này để em kiểm tra ạ!
Cho hình vuông ABCD. Gọi M là điểm trên cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD (M; N không trùng với đỉnh của hình vuông) sao cho $\widehat{MAN}=45^o$ , AM và AN cắt đường chéo BD lần lượt tại G và I. Kẻ $AH\perp MN$. Chứng minh rằng tam giác IGH là tam giác vuông và $IG^2=ID^2+GB^2$
Giữ lời hứa, chị làm rồi nè :v
Cơ mà, hơi dài :v nên chị làm tắt những phần c/m 2 tam giác bằng nhau
 

Attachments

  • WIN_20171010_19_28_10_Pro.jpg
    WIN_20171010_19_28_10_Pro.jpg
    154.8 KB · Đọc: 100
  • WIN_20171010_19_28_57_Pro.jpg
    WIN_20171010_19_28_57_Pro.jpg
    124 KB · Đọc: 92
Top Bottom