Toán [Hình 9]Tứ giác nội tiếp

Hiếu Xuân Trần

Học sinh mới
Thành viên
19 Tháng bảy 2017
14
6
6
TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]\boxed{1}[/TEX]Cho đường tròn (O) và B,C thuộc (O). Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại A. Gọi M điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến với (O) tại M cắt AB,AC tại D,E. Giao điểm của OD,OE với BC là I,K. Chứng minh
a) Tứ giác [TEX]OBDK, DIKE[/TEX] nội tiếp
b) [TEX]OM,DK,EI[/TEX] đồng quy
[TEX]\boxed{2}[/TEX]Cho đường tròn (O) đường kính BC, A thuộc (O).H là hình chiếu của A lên BC. Vẽ đường tròn (I) đường kính AH cắt AB,AC tại M,N. Vẽ đường kính AK của (O). Gọi E là trung điểm HK. Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp BMNC và xác định A để bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC lớn nhất nếu BC cố định
[TEX]\boxed{3}[/TEX]Cho tam giác đều ABC, M thuộc BC. Gọi D điểm đối xứng của M qua AB, E điểm đối xứng của M qua AC. Vẽ hình bình hành DMEI. Chứng minh
a) [TEX]D,A,E,I[/TEX] thuộc một đường tròn
b) [TEX]AI // BC[/TEX]
[TEX]\boxed{4}[/TEX]Cho tam giác ABC có đường cao AH. Kẻ ra ngoài ABC tia Ax,By theo thứ tự tạo với AB,AC các góc nhọn bằng nhau. Gọi I hình chiếu của B trên Ax, K hình chiếu của C trên Ay. M trung điểm BC. Chứng minh [TEX]MI=MK[/TEX] và [TEX]I,H,M,K[/TEX] thuộc một đường tròn
[TEX]\boxed{5}[/TEX]Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD,BE,CF. Lấy M thuộc DF, kẻ MN // BC (N thuộc DE). Lấy I trên DE sao cho góc MAI = BAC. Chứng minh:
a) Tam giác AMN cân
b) AMNI nội tiếp
c) MA phân giác FMI
P/s: giúp mih vs, cần gấp lắm :hix
@Nguyễn Xuân Hiếu @iceghost @toilatot
 

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,014
7,478
941
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
1a) Hãy thử CM $\widehat{DBC} = \widehat{DOE}$, suy ra $OBDK$ nt. Tương tự với tứ giác $OCEI$, suy ra $\widehat{ODK} = \widehat{OBC} = \widehat{OCB} = \widehat{OEI}$ và từ đó $DIKE$ nt
b) Từ các tứ giác nt ở câu a ta tìm được các góc vuông, rồi sau đó suy ra $OM, DK, EI$ là các đường cao trong $\triangle{ODE}$ nên chúng đồng quy

3. Không mất tính tổng quát giả sử $BM < CM$
a) $\widehat{DIE} = \widehat{DME} = \widehat{DMA} + \widehat{EMA} = 90^\circ - \widehat{MAB} + 90^\circ - \widehat{MAC} = 180^\circ - \widehat{ABC} = 120^\circ$
và $\widehat{DAE} = \widehat{DAM} + \widehat{EAM} = 2(\widehat{BAM} + \widehat{CAM}) =2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$
suy ra $DAIE$ nt hay ta có đpcm
b) Từ câu a) ta tính được $\widehat{AID} = \widehat{AED} = 90^\circ - \dfrac{\widehat{DAE}}2 = 30^\circ = \widehat{CME}$
Mà $DI \parallel ME$ nên $AI \parallel BC$
 

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
21
Đắk Nông
Bài 5:
a)Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$
Dễ dàng chứng minh $AD$ là đường cao.
Mặt khác $AD$ là phân giác $\widehat{MDN}$.
Do đó $AD$ là trung trực của $MN$ hay $\triangle AMN$ cân.
b)$\widehat{MAI}=\widehat{BAC}=\widehat{EDC}=\widehat{MND}$.
Hay tứ giác $AMNI$ nt.
c) $\widehat{AMI}=\widehat{ANI}$
Mặt khác dễ dàng chứng minh $\widehat{AMD}=\widehat{AND}$.
Do đó $\widehat{ANI}=\widehat{AMF}$
Hay $\widehat{AMF}=\widehat{AMI}$ (dpcm)
upload_2017-8-1_14-44-58.png
 
  • Like
Reactions: Hiếu Xuân Trần

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,014
7,478
941
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
png.latex
Cho tam giác ABC có đường cao AH. Kẻ ra ngoài ABC tia Ax,By theo thứ tự tạo với AB,AC các góc nhọn bằng nhau. Gọi I hình chiếu của B trên Ax, K hình chiếu của C trên Ay. M trung điểm BC. Chứng minh
png.latex
png.latex
thuộc một đường tròn
Gọi $X$, $Y$ lần lượt là trung điểm $AB$ và $AC$. Khi đó ta thấy $\triangle{IXM} = \triangle{MYK}$ (c-g-c)$ nên $MI = MK$. Phần còn lại ok rồi
png.latex
Cho đường tròn (O) đường kính BC, A thuộc (O).H là hình chiếu của A lên BC. Vẽ đường tròn (I) đường kính AH cắt AB,AC tại M,N. Vẽ đường kính AK của (O). Gọi E là trung điểm HK. Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp BMNC và xác định A để bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC lớn nhất nếu BC cố định
$ME$ cắt $BK$ tại $J$. Khi đó $\triangle{MHE} = \triangle{JKE}$ (g-c-g) nên $ME = JE$, suy ra $BE$ là đường trung tuyến trong $\triangle{MBJ}$ vuông tại $B$ nên $BE = \dfrac12 MJ = ME$
Tương tự thì ta có $CE = NE$, mà dễ CM được $BE = CE$ nên ta có $E$ là tâm $(BMNC)$ (đừng quên CM $BMNC$ nt nhé)
Theo định lý Pytago thì bán kính của $(BMNC)$ là $CE = \sqrt{OE^2 + OC^2} = \sqrt{\dfrac14(AH^2 + BC^2)}$
Để $CE$ lớn nhất thì $AH$ lớn nhất hay $A$ là điểm chính giữa cung $BC$.
Vậy ...
 
  • Like
Reactions: toilatot
Top Bottom