Toán [Hình 9]Tứ giác nội tiếp

[Hiếu Xuân Trần]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]\boxed{1}[/TEX]Cho đường tròn (O) và B,C thuộc (O). Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại A. Gọi M điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến với (O) tại M cắt AB,AC tại D,E. Giao điểm của OD,OE với BC là I,K. Chứng minh
a) Tứ giác [TEX]OBDK, DIKE[/TEX] nội tiếp
b) [TEX]OM,DK,EI[/TEX] đồng quy
[TEX]\boxed{2}[/TEX]Cho đường tròn (O) đường kính BC, A thuộc (O).H là hình chiếu của A lên BC. Vẽ đường tròn (I) đường kính AH cắt AB,AC tại M,N. Vẽ đường kính AK của (O). Gọi E là trung điểm HK. Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp BMNC và xác định A để bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC lớn nhất nếu BC cố định
[TEX]\boxed{3}[/TEX]Cho tam giác đều ABC, M thuộc BC. Gọi D điểm đối xứng của M qua AB, E điểm đối xứng của M qua AC. Vẽ hình bình hành DMEI. Chứng minh
a) [TEX]D,A,E,I[/TEX] thuộc một đường tròn
b) [TEX]AI // BC[/TEX]
[TEX]\boxed{4}[/TEX]Cho tam giác ABC có đường cao AH. Kẻ ra ngoài ABC tia Ax,By theo thứ tự tạo với AB,AC các góc nhọn bằng nhau. Gọi I hình chiếu của B trên Ax, K hình chiếu của C trên Ay. M trung điểm BC. Chứng minh [TEX]MI=MK[/TEX] và [TEX]I,H,M,K[/TEX] thuộc một đường tròn
[TEX]\boxed{5}[/TEX]Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD,BE,CF. Lấy M thuộc DF, kẻ MN // BC (N thuộc DE). Lấy I trên DE sao cho góc MAI = BAC. Chứng minh:
a) Tam giác AMN cân
b) AMNI nội tiếp
c) MA phân giác FMI
P/s: giúp mih vs, cần gấp lắm :hix
@Nguyễn Xuân Hiếu @iceghost @toilatot

 

[iceghost]

1a) Hãy thử CM $\widehat{DBC} = \widehat{DOE}$, suy ra $OBDK$ nt. Tương tự với tứ giác $OCEI$, suy ra $\widehat{ODK} = \widehat{OBC} = \widehat{OCB} = \widehat{OEI}$ và từ đó $DIKE$ nt
b) Từ các tứ giác nt ở câu a ta tìm được các góc vuông, rồi sau đó suy ra $OM, DK, EI$ là các đường cao trong $\triangle{ODE}$ nên chúng đồng quy

3. Không mất tính tổng quát giả sử $BM < CM$
a) $\widehat{DIE} = \widehat{DME} = \widehat{DMA} + \widehat{EMA} = 90^\circ - \widehat{MAB} + 90^\circ - \widehat{MAC} = 180^\circ - \widehat{ABC} = 120^\circ$
và $\widehat{DAE} = \widehat{DAM} + \widehat{EAM} = 2(\widehat{BAM} + \widehat{CAM}) =2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$
suy ra $DAIE$ nt hay ta có đpcm
b) Từ câu a) ta tính được $\widehat{AID} = \widehat{AED} = 90^\circ - \dfrac{\widehat{DAE}}2 = 30^\circ = \widehat{CME}$
Mà $DI \parallel ME$ nên $AI \parallel BC$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 5:
a)Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$
Dễ dàng chứng minh $AD$ là đường cao.
Mặt khác $AD$ là phân giác $\widehat{MDN}$.
Do đó $AD$ là trung trực của $MN$ hay $\triangle AMN$ cân.
b)$\widehat{MAI}=\widehat{BAC}=\widehat{EDC}=\widehat{MND}$.
Hay tứ giác $AMNI$ nt.
c) $\widehat{AMI}=\widehat{ANI}$
Mặt khác dễ dàng chứng minh $\widehat{AMD}=\widehat{AND}$.
Do đó $\widehat{ANI}=\widehat{AMF}$
Hay $\widehat{AMF}=\widehat{AMI}$ (dpcm)

 

[iceghost]

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Kẻ ra ngoài ABC tia Ax,By theo thứ tự tạo với AB,AC các góc nhọn bằng nhau. Gọi I hình chiếu của B trên Ax, K hình chiếu của C trên Ay. M trung điểm BC. Chứng minh

và

thuộc một đường tròn

Gọi $X$, $Y$ lần lượt là trung điểm $AB$ và $AC$. Khi đó ta thấy $\triangle{IXM} = \triangle{MYK}$ (c-g-c)$ nên $MI = MK$. Phần còn lại ok rồi

Cho đường tròn (O) đường kính BC, A thuộc (O).H là hình chiếu của A lên BC. Vẽ đường tròn (I) đường kính AH cắt AB,AC tại M,N. Vẽ đường kính AK của (O). Gọi E là trung điểm HK. Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp BMNC và xác định A để bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC lớn nhất nếu BC cố định

$ME$ cắt $BK$ tại $J$. Khi đó $\triangle{MHE} = \triangle{JKE}$ (g-c-g) nên $ME = JE$, suy ra $BE$ là đường trung tuyến trong $\triangle{MBJ}$ vuông tại $B$ nên $BE = \dfrac12 MJ = ME$
Tương tự thì ta có $CE = NE$, mà dễ CM được $BE = CE$ nên ta có $E$ là tâm $(BMNC)$ (đừng quên CM $BMNC$ nt nhé)
Theo định lý Pytago thì bán kính của $(BMNC)$ là $CE = \sqrt{OE^2 + OC^2} = \sqrt{\dfrac14(AH^2 + BC^2)}$
Để $CE$ lớn nhất thì $AH$ lớn nhất hay $A$ là điểm chính giữa cung $BC$.
Vậy ...

 

[Quân Nguyễn 209]

\widehat{AID} = \widehat{AED}

[TEX]\widehat{AID}[/TEX] vs [TEX] \widehat{AED}[/TEX] bù chứ có = nhau đâu bác nhỉ :v

 

[iceghost]

[TEX]\widehat{AID}[/TEX] vs [TEX] \widehat{AED}[/TEX] bù chứ có = nhau đâu bác nhỉ :v

Bạn vẽ $BM < CM$ hay $BM > CM$ ?
Nếu hình vẽ của bạn mà nó bù nhau thì bạn làm tương tự nhé