Toán [Hình 9] Nội tiếp

[Quân Nguyễn 209]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]\boxed{1}[/TEX]Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Lấy M bất kỳ trên đường tròn . Chứng minh :
a) Nếu M thuộc cung nhỏ BC thì [TEX]MA+MB=MC[/TEX]
b) [TEX]MA^2+MB^2+MC^2=6R^2[/TEX] và [TEX]MA^4+MB^4+MC^4=18R^4[/TEX]
[TEX]\boxed{2}[/TEX]Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). Vẽ Ax vuông góc AD cắt BC tại E. Vẽ Ay vuông góc AB cắt CD tại F. Chứng minh E,O,F thẳng hàng
[TEX]\boxed{3}[/TEX]Cho tam giác ABC có đường cao CF và BC>AC. Gọi O,H tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm tam giác. Đường thẳng qua F vuông với OF cắt AC tại P. Chứng minh góc FHP = BAC (Bài này e nghĩ dùng định lý con bướm mà ko tìm ra hướng đi :hix)
[TEX]\boxed{4}[/TEX]Cho I di động trên cung MN của đường tròn (O). Chứng minh [TEX]IM+IN max[/TEX] khi [TEX]IM=IN[/TEX]. Cho tam giác ABC vuông cân nội tiếp nửa (O). E di động trên cung nhỏ AC (E ko trùng A). AE cắt BC tại D. Xác định M để [TEX]AM+AD min[/TEX]
@iceghost @Nguyễn Xuân Hiếu

 

[Thần mộ 2]

Bài 1
a)
Lấy $V$ trên $AM$ sao cho $MC=MV$ $(1)$
Dễ thấy $CV=CM$ $(2)$
$\widehat{ACV}=\widehat{BCM}$. $(3)$
$(2),(3) \Rightarrow \triangle BCM =\triangle ACV \Rightarrow BM=AV$ $(4)$
Cộng $(1)$ với $(4)$ có đpcm
b/Gọi giao $AH$ và $(O)$ là $J$
Dễ thấy
$\triangle BOJ$ đều,cạnh $R$
$\Rightarrow BC=2BH=R\sqrt{3}$
$MA^2 = MB^2 + MC^2 + 2MB.MC$
$\Rightarrow MA^2 + MB^2 + MC^2=2(MB^2+MC^2+MB.MC)$. $(11)$
$BC^2 = MB^2 + MC^2 -2MB.MC.cos\widehat{BMC}$ (định lý cos)
$=MB^2 + MC^2 + MB.MC$ (21)
$(11),(21) \Rightarrow MA^2+MB^2+MC^2=2.BC^2=6R^2(Q.E.D)$
Tương tự với bậc $4$
Bài 3.
Kéo dài $CF$ cắt $(O)$ tại $V$
Gọi $I,J$ là giao $PF$ với $(O)$,$M$ là giao $BV$ với $JI$ (trong bài chả dùng nhưng phải có mấy điểm này ms chơi đc định lý con bím :v)
Theo kết quả bài toán con bướm ta có $F$ là trung điểm $MP $
$\Rightarrow FH=FV$
suy ra tứ giác $HPVM$ là hình bình hành $\Rightarrow \widehat{FHP}=\widehat{FVM}$
Mà $\widehat{FVM}=\widehat{BAC}$
Suy ra đpcm
Bài 2.
Bài này là cơ bản của định lý $Pascal$ :v
Gọi $J,V$ là giao $AE,AF$ với $(O)$
Dùng định lý $Pascal$ cho $6$ điểm có ngay đpcm
[nếu ko biết thì tìm hiểu trên $Wikipedia$ :v] nhọc não quá :v bác nào rảnh thì vào giải đi :v

 

[Quân Nguyễn 209]

Bài 1
a)
Lấy $V$ trên $AM$ sao cho $MC=MV$ $(1)$
Dễ thấy $CV=CM$ $(2)$
$\widehat{ACV}=\widehat{BCM}$. $(3)$
$(2),(3) \Rightarrow \triangle BCM =\triangle ACV \Rightarrow BM=AV$ $(4)$
Cộng $(1)$ với $(4)$ có đpcm
b/Gọi giao $AH$ và $(O)$ là $J$
Dễ thấy
$\triangle BOJ$ đều,cạnh $R$
$\Rightarrow BC=2BH=R\sqrt{3}$
$MA^2 = MB^2 + MC^2 + 2MB.MC$
$\Rightarrow MA^2 + MB^2 + MC^2=2(MB^2+MC^2+MB.MC)$. $(11)$
$BC^2 = MB^2 + MC^2 -2MB.MC.cos\widehat{BMC}$ (định lý cos)
$=MB^2 + MC^2 + MB.MC$ (21)
$(11),(21) \Rightarrow MA^2+MB^2+MC^2=2.BC^2=6R^2(Q.E.D)$
Tương tự với bậc $4$
Bài 3.
Kéo dài $CF$ cắt $(O)$ tại $V$
Gọi $I,J$ là giao $PF$ với $(O)$,$M$ là giao $BV$ với $JI$ (trong bài chả dùng nhưng phải có mấy điểm này ms chơi đc định lý con bím :v)
Theo kết quả bài toán con bướm ta có $F$ là trung điểm $MP $
$\Rightarrow FH=FV$
suy ra tứ giác $HPVM$ là hình bình hành $\Rightarrow \widehat{FHP}=\widehat{FVM}$
Mà $\widehat{FVM}=\widehat{BAC}$
Suy ra đpcm
Bài 2.
Bài này là cơ bản của định lý $Pascal$ :v
Gọi $J,V$ là giao $AE,AF$ với $(O)$
Dùng định lý $Pascal$ cho $6$ điểm có ngay đpcm
[nếu ko biết thì tìm hiểu trên $Wikipedia$ :v] nhọc não quá :v bác nào rảnh thì vào giải đi :v

Ý bác là định lý này phải ko nhỉ ._.
Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O. Khi đó ba cặp cạnh đối diện của hình lục giác cắt nhau tại ba điểm thẳng hàng.

P/s: bác giúp e nốt bài 4 vs, e ngu nhất phần cực trị hình học ._. @Thần mộ 2

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Ý bác là định lý này phải ko nhỉ ._.
Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O. Khi đó ba cặp cạnh đối diện của hình lục giác cắt nhau tại ba điểm thẳng hàng.
View attachment 17645
P/s: bác giúp e nốt bài 4 vs, e ngu nhất phần cực trị hình học ._. @Thần mộ 2

Trên tia đối của $IN$ lấy $E$ sao cho $IE=IM$
Khi đó: $IM+IN=EN$.
Mà $EN$ hiển nhiên luôn bé hơn đường kính của đường tròn $(I,IM)$
Tới đây tự làm tiếp nhé :v
Vận dụng kiến thức cung chứa góc để cm $I$ phải là điểm chính giữa cung $MN$

 

[Quân Nguyễn 209]

Trên tia đối của $IN$ lấy $E$ sao cho $IE=IM$
Khi đó: $IM+IN=EN$.
Mà $EN$ hiển nhiên luôn bé hơn đường kính của đường tròn $(I,IM)$
Tới đây tự làm tiếp nhé :v
Vận dụng kiến thức cung chứa góc để cm $I$ phải là điểm chính giữa cung $MN$
View attachment 17673

@Nguyễn Xuân Hiếu Còn vế sau của bài hình như bác chưa làm nhỉ :v