Toán [Hình 9] Chứng minh bất đẳng thức lượng giác

[Quân Nguyễn 209]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC. Chứng minh [TEX]sinA + sinB + sinC[/TEX] [tex]\leq[/tex] [TEX]\frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]
@Nguyễn Xuân Hiếu @iceghost @toilatot

 

[toilatot]

SinA + sinB + sinC + sinπ/3 = 2.sin[(A+B)/2] .cos[(A-B)/2] + 2sin(C/2 + π/6)cos(C/2-π/6)
≤ 2sin[(A+B)/2] + 2sin(C/2 + π/6) = 4sin[(A+B+C)/4 + π/12].cos[(A+B-C)/4 - π/12]
= 4sinπ/3.cos[(A + B - C)/4 - π/12 ] ≤ 4sinπ/3

Do đó SinA + sinB + sinC + sinπ/3 ≤ 4sinπ/3

<=> SinA + sinB + sinC ≤ 3sinπ/3 = 3√3/2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :

{ cos[(A - B)/2] = 1
{ cos(C/2 - π/6) = 1
{ cos[(A + B - C)/4 - π/12 ) = 1

<=> A = B = C <=> Tam giác ABC đều

 

[Quân Nguyễn 209]

SinA + sinB + sinC + sinπ/3 = 2.sin[(A+B)/2] .cos[(A-B)/2] + 2sin(C/2 + π/6)cos(C/2-π/6)
≤ 2sin[(A+B)/2] + 2sin(C/2 + π/6) = 4sin[(A+B+C)/4 + π/12].cos[(A+B-C)/4 - π/12]
= 4sinπ/3.cos[(A + B - C)/4 - π/12 ] ≤ 4sinπ/3

Do đó SinA + sinB + sinC + sinπ/3 ≤ 4sinπ/3

<=> SinA + sinB + sinC ≤ 3sinπ/3 = 3√3/2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :

{ cos[(A - B)/2] = 1
{ cos(C/2 - π/6) = 1
{ cos[(A + B - C)/4 - π/12 ) = 1

<=> A = B = C <=> Tam giác ABC đều

Hix e mới học lớp 8 chưa học về ứng dụng π giải tỉ số lượng giác. Chụy có cách nào ko dùng π ko ah ? :v

 

[toilatot]

Hix e mới học lớp 8 chưa học về ứng dụng π giải tỉ số lượng giác. Chụy có cách nào ko dùng π ko ah ? :v

thế thì đổi pi = 180 độ

 

[Quân Nguyễn 209]

SinA + sinB + sinC + sinπ/3 = 2.sin[(A+B)/2] .cos[(A-B)/2] + 2sin(C/2 + π/6)cos(C/2-π/6)
≤ 2sin[(A+B)/2] + 2sin(C/2 + π/6) = 4sin[(A+B+C)/4 + π/12].cos[(A+B-C)/4 - π/12]
= 4sinπ/3.cos[(A + B - C)/4 - π/12 ] ≤ 4sinπ/3

Do đó SinA + sinB + sinC + sinπ/3 ≤ 4sinπ/3

<=> SinA + sinB + sinC ≤ 3sinπ/3 = 3√3/2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :

{ cos[(A - B)/2] = 1
{ cos(C/2 - π/6) = 1
{ cos[(A + B - C)/4 - π/12 ) = 1

<=> A = B = C <=> Tam giác ABC đều

E làm cách này ko bik đc ko nhỉ :v

 

[toilatot]

E làm cách này ko bik đc ko nhỉ :v
View attachment 13997

thắc mắc lớp 9 học cái này rồi sao

 

[Quân Nguyễn 209]

thắc mắc lớp 9 học cái này rồi sao

Chương tỷ số lượng giác đó chụy . Học cùng vs hệ thức lượng đó :v