[Hình 7] CM: BC+AH>AB+AC

[manhngughe]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. CMR:
BC+AH>AB+AC

@thinhrost1: Chú ý cách đặt tên tiêu đề
Đã sửa

 

[thinhrost1]

Giả sử BĐT này đúng: $AH+BC>AB+AC$

$ \Rightarrow (AH+BC)^2>(AB+AC)^2$

$ \Leftrightarrow AH^2+2AHBC+BC^2> AB^2+2ABAC+AC^2(1)$

Ta có:

$BC^2= AB^2+AC^2(2)$

$2AHBC=2ABAC(3)$

Thế$ (2) $và $(3)$ vào pt $(1)$, ta được:

$AH^2+AB^2+2ABAC+AC^2> AB^2+2ABAC+AC^2$ (Luôn đúng)

P.s: 0973573959thuy ơi cách CM này được gọi là nhỉ

, biết CM nhưng không biết tên

 

[23121999chien]

Mình có cách khác nhé!
Hình bạn tự vẽ nhé!
Giải
Vì tam giác ABC vuông tại A =>$AB^2$+$AC^2$=$BC^2$(theo định lý pytago)
=>AB<BC
Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BA=BD và từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại E=>Tam giác BAD cân tại B=>$\widehat{BAD}$=$\widehat{BAD}$(5)(hai góc ở đáy)
Ta có tiếp:
$\widehat{BAH}$+$\widehat{HAD}$+$\widehat{DAC}$=$90^o$=(1)
Tam giác AHD có góc H=$90^o$=>$\widehat{HAD}$+$\widehat{BDA}$=$90^o$(2)
Từ (1) và (2)=>$\widehat{BDA}$= $\widehat{BAH}$+$\widehat{DAC}$(3)
Vì $\widehat{BAH}$+$\widehat{HAD}$=$\widehat{BAH}$(4)
Từ (3),(4),(5)=>$\widehat{HAD}$=$\widehat{HAC}$
Từ đây bạn c/m được tam giác DAH=tam giác DAE(theo cạnh huyền-góc nhọn)
=>AH=AE(hai cạnh tương ứng)
Từ các c/m trên=>AB+AC=BH+AE+EC(6)
BC+AH=AE+BH+HC(7)
Vì tam giác HEC vuông tại E=>HC>EC(Quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)(8)
Từ (6),(7) và (8)=>BC+AH>AB+AC

 

[0973573959thuy]

Giả sử BĐT này đúng: $AH+BC>AB+AC$

$ \Rightarrow (AH+BC)^2>(AB+AC)^2$

$ \Leftrightarrow AH^2+2AHBC+BC^2> AB^2+2ABAC+AC^2(1)$

Ta có:

$BC^2= AB^2+AC^2(2)$

$2AHBC=2ABAC(3)$

Thế$ (2) $và $(3)$ vào pt $(1)$, ta được:

$AH^2+AB^2+2ABAC+AC^2> AB^2+2ABAC+AC^2$ (Luôn đúng)

P.s: 0973573959thuy ơi cách CM này được gọi là nhỉ

, biết CM nhưng không biết tên

Cách này là cách chứng mình bằng phương pháp bình thường thôi mà, không có tên gọi
Do bạn làm ngược nên thế chứ làm xuôi thì thế này :

Ta có:

$AH^2+AB^2+2ABAC+AC^2> AB^2+2ABAC+AC^2$ (vì $AH^2$ \geq 0)
Mà $BC^2 = AB^2 + AC^2; 2ABAC = 2AHBC$ nên : $AH^2 + 2AHBC + BC^2 > AB^2+2ABAC+AC^2$
\Rightarrow $(AH+BC)^2>(AB+AC)^2$ \Leftrightarrow $AH+BC>AB+AC$

Mà cho mình hỏi bạn chỗ này : Sao bạn biết 2ABAC = 2AHBC vậy ?
Bạn chứng mình giúp mình!

 

[23121999chien]

Thủy ơi cái này giải thích thế này nhé!
2.AH.BC=2.AB.AC
Cậu dựa vào diện tích tam giác là cậu ra ngay
S tam giác ABC=$\dfrac{(AB.AC)}{2}$(1)
mà S tam giác ABC cũng =$\dfrac{(BC.AH)}{2}$(2)
Từ (1) và (2)=>BC.AH=AB.AC
hay 2.BC.AH=2.AB.AC