[Hình 10]Toạ độ trong mặt phẳng

Status
Không mở trả lời sau này.
J

jelouis

jelouis said:

Bài 5:Viết phương trình đường thẳng $(\Delta)$ đi qua điểm $A(4;1)$ và thoả một trong các điều kiện sau:
1.Khoảng cách từ O đến $(\Delta)$ là lớn nhất
3.$(\Delta)$ cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $M,N$ sao cho $\frac{1}{OM^2}+\frac{1}{ON^2}$ nhỏ nhất.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

1.
Dễ thấy : $d(O;(\Delta))$ \leq $OA \Longrightarrow d(O;(\Delta))_{max}=OA$
Khi đó : OA là véctơ pháp tuyến của đường thẳng $(\Delta)$
$\Longrightarrow$ $(\Delta):4x+y-17=0$
2.
Gọi $(\Delta) \bigcap Ox=A(a;0)$ . $(\Delta) \bigcap Oy=B(0;b)$
$A \in (\Delta)$ $\Longrightarrow$ $(\Delta):\frac{4}{a}+\frac{1}{b}=1$
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có :
$1=\frac{4}{a}+\frac{1}{b}$ \leq $\sqrt{17.(\frac{1}{OM^2}+\frac{1}{ON^2})}$
$\Longrightarrow$ $\frac{1}{OM^2}+\frac{1}{ON^2}$ \geq $\frac{1}{17}$
Đẳng thức xảy ra tại $a=\frac{17}{16}$ , $b=17$
$\Longrightarrow$ $(\Delta):\frac{16x}{17}+\frac{y}{17}=1$
 
Last edited by a moderator:
T

thanhtruc3101

giúp mình bài này nhé! ths

cmr: J(-1;1) nằm trong đường tròn (C): [TEX]x^2+y^2+2x-4y+1=0[/TEX] và viết phương trình đường thẳng (d) qua J sao cho (d) cắt đường tròn (C) tại 2 điểm M,N và diện tích OMN max
 
J

jelouis

Híc đau khổ ghê, tớ cứ tưởng O là gốc toạ độ >"<
$(C): (x+1)^2+(y-2)^2=4$
$\Longrightarrow$ $O(-1;2)$ , $R=2$
$OJ=1$ < $R=2$ $\Longrightarrow$ J nằm trong đường tròn
Giả sử (d) cắt (C) tại 2 điểm M,N phân biệt , kẻ đường cao OH của $\Delta OMN$
Diện tích $\Delta OMN =\frac{1}{2}OM.ON.sinMON=\frac{R^2.sinMON}{2}$
Vậy diện tích $\Delta OMN$ lớn nhất $\Longleftrightarrow sinMON$ lớn nhất $\Longleftrightarrow sinMON=1$
Khi đó $\Delta MON$ vuông cân tại O
Theo định lý Pythagoras ta có :
$OM^2=OH^2+MH^2=2OH^2$
$\Longleftrightarrow$ $OH=\sqrt{2}$
Gọi vecto pháp tuyến của $(d)4$ là $\vec{n}=(a;b)$
(d) đi qua $J(-1;1)$ $\Longrightarrow$ $(d):ax+by+a-b=0$
$d(O;d)=OH=\sqrt{2}$
$\Longleftrightarrow \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}=2$
$\Longleftrightarrow$ $a^2+2ab+b^2=0$
$\Longleftrightarrow$ $a=-b$
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : $(d): x-y+2=0$
 
Last edited by a moderator:
J

jelouis

Một ít bài tập , từ dễ đến khó về tiếp tuyến của đường tròn nhé ;)
Bài 6:Cho đường tròn $(C): x^2+y^2+2x-4y-4=0$ và điểm $A(3;5)$
1.Hãy viết phương trình các tiép tuyến kẻ từ A đến đường tròn $(C)$
2.Giả sử các tiếp tuyến đường tròn tiếp xúc với đường tròn tại $M$ và $N$.Tính độ dài đoạn $MN$
3.Tính diện tích $\Delta AMN$
Bài 7:Cho đường tròn $(C): x^2+y^2-2x+2y-2=0$. Tìm m để trên đường thẳng $(d): x+my-3=0$ chỉ có duy nhất một điểm M mà từ đó có thể kẻ đến $(C)$ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài 8: Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng $(\Delta): x-y+1=0$ sao cho qua M kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn $(C): x^2+y^2+2x-4y=0$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $AMB=60^{\circ}$
 
Last edited by a moderator:
J

jelouis

Đây là một số phương pháp liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn , các bạn xem qua nhé ;)
1.Tiếp tuyến tại điểm $M_{0}(x_{0};y_{0}) \in (C): (x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ .
Tiếp tuyến của $(C)$ đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0})$ và nhận $\underset{IM_{0}}{\rightarrow}$ làm vécto pháp tuyến nên có phương trình :
$(x_{0}-a)(x-x_{0})+(y_{0}-b)(y-y_{0})=0$

2.Tiếp tuyến của $(C): (x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ biết phương của nó
$\bullet$ Nếu $(\Delta)$ có hệ số góc k thì phương trình của $(\Delta)$ có dạng :
$y=kx+c \Longleftrightarrow kx-y+c=0$
$(\Delta)$ là tiếp tuyến của $(C)$ $\Longleftrightarrow d(I;\Delta) = R$ $\Longleftrightarrow \frac{\left |ka-b+c \right |}{k^2+1}=R $
Từ đó ta tìm được c .
$\bullet$ Nếu $(\Delta)$ song song với đường thẳng $(d): Ax+By+C=0$ thì phương trình của $\Delta$ là : $Ax+By+C'= 0, (\Delta)$ là tiếp tuyến của $(C) \Longleftrightarrow d(I;\Delta)=R$
$\Longleftrightarrow \frac{|Aa+Bb+C'|}{\sqrt{A^2+B^2}}=R$
Từ đó ta tìm được C'
$\bullet$ Nếu $(\Delta)$ vuông góc với đường thẳng $d: Ax+By+C=0$ thì phương trình của $\Delta$ là :
$Bx-Ay+C''=0$ . $(\Delta)$ là tiếp tuyến của $(C) \Longleftrightarrow d(I;\Delta)=R$
$\Longleftrightarrow \frac{|Ba-Ab+C''|}{\sqrt{B^2+A^2}}=R$
Từ đây ta tìm được $C''$ .

3.Tiếp tuyến của $(C): (x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ đi qua $M(x_{0};y_{0})$
Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ có dạng :$ A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0 (A^2+B^2 \neq 0)$
$(\Delta)$ là tiếp tuyến của $(C)$ :
$\Longleftrightarrow d(I;\Delta)=R \Longleftrightarrow \frac{|A(a-x_{0}+B(b-y_{0})|}{\sqrt{A^2+B^2}}=R $
Giải phương trình đẳng cấp trên , ta tìm được A,B.

4.Vấn đề về tiếp tuyến chung của hai đường tròn :
$(C_{1}): (x-a_{1})^2+(y-b_{1})^2=R_{1}^2 , (C_{2}): (x-a_{2})^2+(y-b_{2})^2=R_{2}^2$
$\bullet$ Cách 1 : Gọi tiếp tuyến chung của $(C_{1}) và (C_{2})$ là $\Delta: Ax+By+C=0$
$\Delta$ là tiếp tuyến chung của $(C_{1}) và (C_{2})$ khi và chỉ khi
$\left\{\begin{matrix}
d(I_{1};\Delta)=R_{1}\\ d(I_{2};\Delta)=R_{2}
\end{matrix}\right.$
Từ đây ta tìm được A,B,C
$\bullet$ Cách 2 : phương pháp tiếp điểm :
Giả sử tiếp tuyến chung tiếp xúc với $(C_{1}): (x-a_{1})^2+(y-b_{1})^2=R_{1}^2$ tại $M_{0}(x_{0};y_{0}) \Longrightarrow (x_{0}-a_{1})^2+(y_{0}-b_{1})^2=R_{1}^2$ và phương trình của tiếp tuyến có dạng :
$(x_{0}-a)(x-x_{0})+(y_{0}-b)(y-y_{0})=0$ $(\Delta)$
$(\Delta)$ tiếp xúc với $(C_{2}) \Longleftrightarrow d(I_{2};\Delta)=R_{2}$
$\Longleftrightarrow \frac{|(x_{0}-a_{1})(a_{2}-x_{0})+(y_{0}-b_{1})(b_{2}-y_{0})|}{\sqrt{(x_{0}-a_{1}^2)+(y_{0}-b_{1})^2}}=R_{2}$
$\Longleftrightarrow |(x_{0}-a_{1})(a_{2}-x_{0})+(y_{0}-b_{1})(b_{2}-y_{0})|=R_{2}R_{1}$
Từ đó ta được hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}
|(x_{0}-a_{1})(a_{2}-x_{0})+(y_{0}-b_{1})(b_{2}-y_{0})|=R_{2}R_{1}\\ (x_{0}-a_{1})^2+(y_{0}-b_{1})^2=R_{1}^2
\end{matrix}\right.$
Giải hệ trên ta được $(x_{0};y_{0})$ .
 
T

thanhtruc3101

chém bài dễ nhất

jelouis said:
Một ít bài tập , từ dễ đến khó về tiếp tuyến của đường tròn nhé ;)
Bài 6:Cho đường tròn $(C): x^2+y^2+2x-4y-4=0$ và điểm $A(3;5)$
1.Hãy viết phương trình các tiép tuyến kẻ từ A đến đường tròn $(C)$
2.Giả sử các tiếp tuyến đường tròn tiếp xúc với đường tròn tại $M$ và $N$.Tính độ dài đoạn $MN$
3.Tính diện tích $\Delta AMN$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

1/ A nằm ngoài (C)
g/s tiếp tuyến: (d) ax+by+c=0 qua A(3;5) có: 3a+5b+c=0 => c=-3a-5b
=> (d): ax+by-3a-5b=0
tâm I(-1;2); [TEX]R=\sqrt{1+4+4}=3[/TEX]
ta có:[TEX] 3=\frac{[-a+2b-3a-5b]}{\sqrt{a^2+b^2}}[/TEX]
[TEX]<=> 7a^2+24ab=0[/TEX]
a=0->b=0(loại); b=0->a=0(loại); b=1->a=0 hoặc [TEX]a=\frac{-24}{7}[/TEX]
vậy PTTT tại A là: (d): y-5=0 và (d):[TEX] \frac{-24}{7}x+y+\frac{37}{7}[/TEX]=0

2/ ta có: (d): y-5=0 cắt (C) tại N(-1;5)
(d): [TEX] \frac{-24}{7}x+y+\frac{37}{7}[/TEX] cắt (C) tại[TEX] M(\frac{47}{25};\frac{29}{25})[/TEX]
[TEX]NM^2=\frac{576}{25} => NM=\frac{24}{5}[/TEX]

3/ PT đường thẳng MN:[TEX] y=\frac{-4}{3}x+\frac{11}{3}[/TEX]
gọi H là chân đường vuông góc từ A
[TEX]AH=\frac{[\frac{-16}{3}]}{\sqrt{\frac{25}{9}}}[/TEX]
=> [TEX]AH= \frac{16}{5}[/TEX]
SAMN=[TEX]\frac{1}{2}. \frac{16}{5}.\frac{24}{5}[/TEX]=7,68(đvv)

p/s: [] là trị tuyệt đối :p :p

jelouis said:
Bài 8: Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng $(\Delta): x-y+1=0$ sao cho qua M kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại hai điểm $A,B$ sao cho $AMB=60^{\circ}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
bài 8 ko nói 2 đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nào hả bạn?
 
Last edited by a moderator:
J

jelouis


Bài 10: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $(d): x+2y+2=0$ cắt đường tròn $(C): x^2+y^2-2x+4x+4=0$ tại hai điểm $A,B$ . Gọi lần lượt $(\Delta_{1}),(\Delta_{2})$ là các tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ $A$ và $B$ . Tính tích các khoảng cách từ $M(1;-1)$ đến các đường thẳng $(\Delta_{1}),(\Delta_{2})$
Bài 11: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $(d): 3x-4y+5=0$ và đường tròn $(C): x^2+y^2-4x-6y+9=0$ . Tìm những điểm $M \in (C)$ và $N \in (d)$ sao cho $MN$ có độ dài nhỏ nhất.
Bài 13:Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $(d): x+y-4=0$ và đường tròn $(C): x^2+y^2-4x-6y+12=0$ có tâm I . Tìm những điểm $M \in (d)$ sao cho tiếp tuyến của $(C)$ qua M tiếp xúc với $(C)$ tại $A,B$ và tam giác $IAM$ có diện tích lớn nhất

 
Last edited by a moderator:
K

kulboy_vip

Làm thử nhé!!!

jelouis said:

Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Descartes$ vuông góc $Oxy$ cho 2 đường tròn :
$(C_{1}): x^2+y^2-4x-5=0$ và $(C_{2}): x^2+y^2-6x+8y+16=0$
Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Bài làm:
P/s: [] là giá trị tuyệt đối nhé!
Đường tròn (C1) có tâm I1(2;0), BK R1 = 3.
Đường tròn (C2) có tâm I2(3;-4), BK R2 = 3.
Giả sử tiếp tuyến chung (d) có PT: Ax + By + C = 0 (A^2 + b^2 > 0)
Ta có (d) tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi:

[TEX]\left\{\begin{d(I1,d) = R1}\\{d(I2,d) = R2} \Leftrightarrow \left\{\begin{\frac{[2A + C]}{\sqrt{A^2 + B^2} = 3}\\{\frac{[3A - 4B + C]}{\sqrt{A^2 + B^2} = 3}[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\left\{\begin{[2A + C] = 3.\sqrt{A^2 + B^2}}\\{[2A + C] = [3A - 4B + C]} \Leftrightarrow \left\{\begin{[2A + C] = 3.\sqrt{A^2 + B^2}}\\{\left\[\begin{A = 4B}\\{A = \frac{4B - 2C}{5}}}[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\left\[\begin{\left\{\begin{A = 4B}\\{[8B + C]= 3.\sqrt{17}B}} \\{\left\{\begin{A = \frac{4B - 2C}{5}}\\{[\frac{8B - 4C}{5} + C] = 3.\sqrt{41B^2 - 16BC + 4C^2}} \Leftrightarrow \left\[\begin{A = 4B & C = -12B}\\{A = 4B & B = 0}[/TEX]

Khi đó ta được 2 tiếp tuyến chung:

(d1): x = 0.
(d2): 4Bx + By - 16B = 0 \Leftrightarrow 4x + y - 16 = 0.

Vậy tồn tại 2 tiếp tuyến chung (d1),(d2) của (C1),(C2).;););)
 
J

jelouis


Bài 10: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $(d): x+2y+2=0$ cắt đường tròn $(C): x^2+y^2-2x+4x+4=0$ tại hai điểm $A,B$ . Gọi lần lượt $(\Delta_{1}),(\Delta_{2})$ là các tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ $A$ và $B$ . Tính tích các khoảng cách từ $M(1;-1)$ đến các đường thẳng $(\Delta_{1}),(\Delta_{2})$
Bài 11: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $(d): 3x-4y+5=0$ và đường tròn $(C): x^2+y^2-4x-6y+9=0$ . Tìm những điểm $M \in (C)$ và $N \in (d)$ sao cho $MN$ có độ dài nhỏ nhất.
Bài 13:Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $(d): x+y-4=0$ và đường tròn $(C): x^2+y^2-4x-6y+12=0$ có tâm I . Tìm những điểm $M \in (d)$ sao cho tiếp tuyến của $(C)$ qua M tiếp xúc với $(C)$ tại $A,B$ và tam giác $IAM$ có diện tích lớn nhất

Bài 10 :
$A,B$ là giao điểm của $(d): x+2y+2=0$ và $(C): x^2+y^2-2x+4y+4=0$
$\Longrightarrow$ $A(2;-2),B(\frac{2}{5};\frac{-6}{5})$
Giả sử : $A \in (\Delta_{1})$ , $B \in (\Delta_{2})$
$\Longrightarrow$ $(\Delta_{1}): x-2=0$ , $(\Delta_{2}): 3x-4y-6=0$

$d(M;(\Delta_{1}))=1$
$d(M;(\Delta_{2}))=\frac{1}{5}$
$\Longrightarrow d(M;(\Delta_{1})).d(M;(\Delta_{2}))=\frac{1}{5}$
Bài 11:
$MN$ nhỏ nhất $\Longleftrightarrow$ $IM+MN$ nhỏ nhất (vì $IM=R=const$)
$\Longleftrightarrow$ $IN$ nhỏ nhất ($IM+MN$ \geq $IN$)
$\Longleftrightarrow$ $IN$ là khoảng cách từ I đến $(d)$
Từ đó ta tìm được toạ độ điểm N và viết được phương trình IN.
toạ độ điểm M là giao điểm của $(IN)$ và $(C)$ ;)
Bài 13 : Đã có dạng bài tương tự ở trên , nên bài này chỉ mang tính chất luyện tập thôi :D
 
N

nhock_dien

2. Cho 3 đường thằng
d1 : 3x - y - 4 = 0
d2 : x + y - 6 = 0
d3 : x - 3 = 0
Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông biết A và C thuộc d3, B thuộc d1 và D thuộc d2

tọa độ điểm A là nghiệm của hpt :


x = 3 , y = 5 => A ( 3;5)
C là nghiệm của hpt :

x = 3 ; y = 3 => C ( 3 ; 3 )

vì AD⊥AB=>AD có dạng x +3y + C = 0
qua A ( 3;5) => C = -15

AD : x + 3y - 15 = 0

D là nghiệm của hpt :

x=32,y=92
D ( 32;92)

lại có AB⊥BC áp dụng tương tự là ra

cách này hơi dài thì phải , bạn nào có cách ngắn hơn thì làm nhé
mà còn bài 1 nữa , bài trên của mình vẫn chưa có ai làm
__________________


hjh` như bai nj lam sai oy. neu ve hjh ra thj AD k bag DC va goc ADC k vuong.
 
H

helpme_97

1 trong mặt phẳng Oxy cho A (2,1) B thuộc Ox có hoành độ b>=0, c thuộc Oy tung độ c>=0 sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm b,c sao cho S tam giác ABC max

2 Cho B (5,0) A thuộc góc phần tư thứ 1 sao cho tam giác OAB vuông tại A và đưởng tròn nội tiếp tam giác AOB có bán kính r=1. tìm tọa độ đỉnh A
 
S

sonelf

QUOTE=kienbaxter;1950947]Vì AD vuông góc với AB\Rightarrow phương trình cạnh AD có dạng
2x+y+m=0
Ta có d(I,AB)= căn5/2 \Rightarrow d(I,AD)= căn 5
Thay công thức tính khoảng cách vào AD tính được m
\Rightarrow m=4 hoặc m=-6
Với m=4 thì xA<0 \Rightarrow A(-2,0)
Với m=-6 loại vì xA>0
Gọi H là hình chiếu của I trên AB \Rightarrow H(0,1)
Vì H là trung điểm của AB \Rightarrow B(2,2)
Phân tích tiếp thì ra C(3.0) D(-1,-2)
Không hiểu chỗ nào cứ hỏi thoải mái[/QUOTE]


tks bạn:)
 
Last edited by a moderator:
L

lien199979@yahoo.com.vn

Viết ptdt denta sao cho denta đối xứng với d: x-2y+4=0 qua d': 2x+y-2=0
 
Status
Không mở trả lời sau này.
Top Bottom