Hệ phương trình vô tỉ căn không đồng bậc

[mai3082001]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải hệ phương trình:

[tex]\left\{\begin{matrix} x^{3}-19y^{3}+6xy(x+2y)+3(x-y)=0 & & \\ 2(2\sqrt{y^{3}-x^{2}+2y+1}+3\sqrt[3]{x^{2}+y+1})=x^{5}+2y^{3}+2x^{2}+6y+10 & & \end{matrix}\right.[/tex]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Phương trình đầu của hệ:
$(x-y)(x^2+7xy+19y^2+3)=0$
Xét $19y^2+7xy+x^2+3=0$
$\Delta$ theo $y$: $\Delta=49x^2-76x^2-228 \geq 0 \Rightarrow -27x^2-228 \geq 0$.
Điều này không xảy ra do $-27x^2 \leq 0 \Rightarrow -27x^2-228<0$.
Xét trường hợp $x=y$.
$VP=VT=2[2\sqrt{1.(x^3-x^2+2x+1)}+3\sqrt[3]{1.1.(x^2+x+1)}]
\\\leq 2(x^3-x^2+2x+2+x^2+x+3)
\\=2(x^3+3x+5)$
Hay $2(x^3+3x+5) \geq (x^5+2x^3+2x^2+6x+10) \Rightarrow x^2(-x^3-2) \geq 0$.
Hay $x \leq -\sqrt[3]{2}$ (Xét $x \neq 0$)
Mặt khác theo ĐKXĐ chỗ trong căn $x^3-x^2+2x+1$ thì đk $x \leq -\sqrt[3]{2}$ hiển nhiên không xác định.
Do đó PT có nghiệm duy nhất $x=y=0$