- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Hệ đối xứng loại 2 với 2 ẩn x,y là hệ mà nếu trong một phương trình, ta thay x bởi y, y bởi x, thì phương trình đó sẽ trở thành phương trình còn lại.
Cách giải: thực hiện trừ 2 phương trình cho nhau, ta được: [TEX](x-y)f(x;y)=0[/TEX], trong đó f(x;y) là một đa thức của x,y. Từ đó ta rút ra nghiệm x=y, hoặc f(x;y)=0. Tới đây ta tiếp tục xử lí tiếp tùy theo f(x;y)
Nhận xét: Nếu (a;b) là nghiệm của hệ thì (b;a) cũng là nghiệm của hệ. Do đó hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là a=b.
1. Giải hệ phương trình:
a. [tex]\left\{\begin{matrix} x^2=2y+3 (1)\\ y^2=2x+3(2) \end{matrix}\right.[/tex]
Giải:
Trừ vế với vế của 2 phương trình ta có:
[TEX]x^2-y^2=2(y-x)<=>(x-y)(x+y+2)=0<=>x=y[/TEX] hoặc [TEX]y=-2-x[/TEX]
Với y=x thay vào (1) ta có: [TEX]x^2=2x+3<=>x=-1[/TEX] hoặc [TEX]x=3[/TEX]
Với y=-2-x thay vào (1) ta có: [TEX]x^2=2(-2-x)+3<=>x^2+2x+1=0<=>x=-1[/TEX]
Vậy hệ đã cho có các cặp nghiệm (x;y) : (-1;-1),(3;3)
b. [tex]\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+5}+\sqrt{y-7}=6(1)\\ \sqrt{y+5}+\sqrt{x-7}=6(2) \end{matrix}\right.[/tex]
Giải:
Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta được:
[tex]\sqrt{x+5}-\sqrt{y+5}+(\sqrt{y-7}-\sqrt{x-7})=0<=>\frac{x-y}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}}-\frac{x-y}{\sqrt{y-7}+\sqrt{x-7}}=0[/tex]
[TEX]<=>(x-y)(\frac{1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}}-\frac{1}{\sqrt{y-7}+\sqrt{x-7}})=0[/TEX]
<=>x=y hoặc [TEX]\frac{1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}}-\frac{1}{\sqrt{y-7}+\sqrt{x-7}}=0(3)[/TEX]
Xét pt (3): hiển nhiên: [tex]\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}>\sqrt{x-7}+\sqrt{y-7}[/tex] nên pt vô nghiệm.
Thay x=y vào (1) ta có:
[tex]\sqrt{x+5}+\sqrt{x-7}=6<=>2x-2+2\sqrt{(x+5)(x-7)}=36<=>x^2-2x-35=(19-x)^2<=>x=11[/tex]
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (11;11)
2. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất:
[tex]\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{y-2}=m(1)\\ y+\sqrt{x-2}=m(2) \end{matrix}\right.[/tex]
Giải: Hệ đối xứng loại 2, nên có nghiệm duy nhất khi cặp nghiệm x,y bằng nhau.
=> [tex]x+\sqrt{x-2}=m=>x-2=(m-x)^2<=>x^2-(2m+1)x+m^2+2=0(3)[/tex]
PT (3) cũng phải có duy nhất 1 nghiệm x.
TH1: [tex]\Delta =0<=>4m-7=0<=>m=7/4[/tex]
Với m=7/4 ta có x=9/4, không thỏa mãn phương trình ban đầu.
TH2: (3) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2, nghiệm còn lại nhỏ hơn 2
+ Với trường hợp có nghiệm x=2 => m= 2, thay vào (3) ta được [TEX]x^2-5x+6=0<=>x=2;x=3[/TEX] ( không thỏa mãn vì cả 2 nghiệm lớn hơn 2).
+ Với t/h nghiệm x>2 và nghiệm x<2:
[tex]\left\{\begin{matrix} \Delta >0\\ (x_1-2)(x_2-2)<0 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} m>\frac{7}{4}\\ x_1x_2-2(x_1+x_2)+4<0 \end{matrix}\right.[/tex]
[TEX]<=>\left\{\begin{matrix} m>\frac{7}{4}\\ m^2+2-2(2m+1)+4<0 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} m>\frac{7}{4}\\ m^2-4m+4<0 \end{matrix}\right.[/TEX]
( vô nghiệm )
Vậy không có giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất.
Cách giải: thực hiện trừ 2 phương trình cho nhau, ta được: [TEX](x-y)f(x;y)=0[/TEX], trong đó f(x;y) là một đa thức của x,y. Từ đó ta rút ra nghiệm x=y, hoặc f(x;y)=0. Tới đây ta tiếp tục xử lí tiếp tùy theo f(x;y)
Nhận xét: Nếu (a;b) là nghiệm của hệ thì (b;a) cũng là nghiệm của hệ. Do đó hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là a=b.
1. Giải hệ phương trình:
a. [tex]\left\{\begin{matrix} x^2=2y+3 (1)\\ y^2=2x+3(2) \end{matrix}\right.[/tex]
Giải:
Trừ vế với vế của 2 phương trình ta có:
[TEX]x^2-y^2=2(y-x)<=>(x-y)(x+y+2)=0<=>x=y[/TEX] hoặc [TEX]y=-2-x[/TEX]
Với y=x thay vào (1) ta có: [TEX]x^2=2x+3<=>x=-1[/TEX] hoặc [TEX]x=3[/TEX]
Với y=-2-x thay vào (1) ta có: [TEX]x^2=2(-2-x)+3<=>x^2+2x+1=0<=>x=-1[/TEX]
Vậy hệ đã cho có các cặp nghiệm (x;y) : (-1;-1),(3;3)
b. [tex]\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+5}+\sqrt{y-7}=6(1)\\ \sqrt{y+5}+\sqrt{x-7}=6(2) \end{matrix}\right.[/tex]
Giải:
Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta được:
[tex]\sqrt{x+5}-\sqrt{y+5}+(\sqrt{y-7}-\sqrt{x-7})=0<=>\frac{x-y}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}}-\frac{x-y}{\sqrt{y-7}+\sqrt{x-7}}=0[/tex]
[TEX]<=>(x-y)(\frac{1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}}-\frac{1}{\sqrt{y-7}+\sqrt{x-7}})=0[/TEX]
<=>x=y hoặc [TEX]\frac{1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}}-\frac{1}{\sqrt{y-7}+\sqrt{x-7}}=0(3)[/TEX]
Xét pt (3): hiển nhiên: [tex]\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}>\sqrt{x-7}+\sqrt{y-7}[/tex] nên pt vô nghiệm.
Thay x=y vào (1) ta có:
[tex]\sqrt{x+5}+\sqrt{x-7}=6<=>2x-2+2\sqrt{(x+5)(x-7)}=36<=>x^2-2x-35=(19-x)^2<=>x=11[/tex]
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (11;11)
2. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất:
[tex]\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{y-2}=m(1)\\ y+\sqrt{x-2}=m(2) \end{matrix}\right.[/tex]
Giải: Hệ đối xứng loại 2, nên có nghiệm duy nhất khi cặp nghiệm x,y bằng nhau.
=> [tex]x+\sqrt{x-2}=m=>x-2=(m-x)^2<=>x^2-(2m+1)x+m^2+2=0(3)[/tex]
PT (3) cũng phải có duy nhất 1 nghiệm x.
TH1: [tex]\Delta =0<=>4m-7=0<=>m=7/4[/tex]
Với m=7/4 ta có x=9/4, không thỏa mãn phương trình ban đầu.
TH2: (3) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2, nghiệm còn lại nhỏ hơn 2
+ Với trường hợp có nghiệm x=2 => m= 2, thay vào (3) ta được [TEX]x^2-5x+6=0<=>x=2;x=3[/TEX] ( không thỏa mãn vì cả 2 nghiệm lớn hơn 2).
+ Với t/h nghiệm x>2 và nghiệm x<2:
[tex]\left\{\begin{matrix} \Delta >0\\ (x_1-2)(x_2-2)<0 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} m>\frac{7}{4}\\ x_1x_2-2(x_1+x_2)+4<0 \end{matrix}\right.[/tex]
[TEX]<=>\left\{\begin{matrix} m>\frac{7}{4}\\ m^2+2-2(2m+1)+4<0 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} m>\frac{7}{4}\\ m^2-4m+4<0 \end{matrix}\right.[/TEX]
( vô nghiệm )
Vậy không có giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất.
