Toán 10 Hệ đối xứng loại 2

Thảo luận trong 'Phương trình. Hệ phương trình' bắt đầu bởi Tiến Phùng, 31 Tháng một 2020.

Lượt xem: 55

  1. Tiến Phùng

    Tiến Phùng Cựu Cố vấn Toán Thành viên

    Bài viết:
    3,746
    Điểm thành tích:
    561
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Hệ đối xứng loại 2 với 2 ẩn x,y là hệ mà nếu trong một phương trình, ta thay x bởi y, y bởi x, thì phương trình đó sẽ trở thành phương trình còn lại.

    Cách giải: thực hiện trừ 2 phương trình cho nhau, ta được: [TEX](x-y)f(x;y)=0[/TEX], trong đó f(x;y) là một đa thức của x,y. Từ đó ta rút ra nghiệm x=y, hoặc f(x;y)=0. Tới đây ta tiếp tục xử lí tiếp tùy theo f(x;y)

    Nhận xét: Nếu (a;b) là nghiệm của hệ thì (b;a) cũng là nghiệm của hệ. Do đó hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là a=b.

    1. Giải hệ phương trình:
    a. [tex]\left\{\begin{matrix} x^2=2y+3 (1)\\ y^2=2x+3(2) \end{matrix}\right.[/tex]
    Giải:
    Trừ vế với vế của 2 phương trình ta có:
    [TEX]x^2-y^2=2(y-x)<=>(x-y)(x+y+2)=0<=>x=y[/TEX] hoặc [TEX]y=-2-x[/TEX]
    Với y=x thay vào (1) ta có: [TEX]x^2=2x+3<=>x=-1[/TEX] hoặc [TEX]x=3[/TEX]
    Với y=-2-x thay vào (1) ta có: [TEX]x^2=2(-2-x)+3<=>x^2+2x+1=0<=>x=-1[/TEX]
    Vậy hệ đã cho có các cặp nghiệm (x;y) : (-1;-1),(3;3)

    b. [tex]\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+5}+\sqrt{y-7}=6(1)\\ \sqrt{y+5}+\sqrt{x-7}=6(2) \end{matrix}\right.[/tex]
    Giải:
    Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta được:
    [tex]\sqrt{x+5}-\sqrt{y+5}+(\sqrt{y-7}-\sqrt{x-7})=0<=>\frac{x-y}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}}-\frac{x-y}{\sqrt{y-7}+\sqrt{x-7}}=0[/tex]

    [TEX]<=>(x-y)(\frac{1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}}-\frac{1}{\sqrt{y-7}+\sqrt{x-7}})=0[/TEX]

    <=>x=y hoặc [TEX]\frac{1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}}-\frac{1}{\sqrt{y-7}+\sqrt{x-7}}=0(3)[/TEX]

    Xét pt (3): hiển nhiên: [tex]\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}>\sqrt{x-7}+\sqrt{y-7}[/tex] nên pt vô nghiệm.

    Thay x=y vào (1) ta có:
    [tex]\sqrt{x+5}+\sqrt{x-7}=6<=>2x-2+2\sqrt{(x+5)(x-7)}=36<=>x^2-2x-35=(19-x)^2<=>x=11[/tex]

    Vậy hệ có nghiệm duy nhất (11;11)

    2. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất:
    [tex]\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{y-2}=m(1)\\ y+\sqrt{x-2}=m(2) \end{matrix}\right.[/tex]

    Giải: Hệ đối xứng loại 2, nên có nghiệm duy nhất khi cặp nghiệm x,y bằng nhau.
    => [tex]x+\sqrt{x-2}=m=>x-2=(m-x)^2<=>x^2-(2m+1)x+m^2+2=0(3)[/tex]
    PT (3) cũng phải có duy nhất 1 nghiệm x.

    TH1: [tex]\Delta =0<=>4m-7=0<=>m=7/4[/tex]

    Với m=7/4 ta có x=9/4, không thỏa mãn phương trình ban đầu.

    TH2: (3) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2, nghiệm còn lại nhỏ hơn 2

    + Với trường hợp có nghiệm x=2 => m= 2, thay vào (3) ta được [TEX]x^2-5x+6=0<=>x=2;x=3[/TEX] ( không thỏa mãn vì cả 2 nghiệm lớn hơn 2).

    + Với t/h nghiệm x>2 và nghiệm x<2:
    [tex]\left\{\begin{matrix} \Delta >0\\ (x_1-2)(x_2-2)<0 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} m>\frac{7}{4}\\ x_1x_2-2(x_1+x_2)+4<0 \end{matrix}\right.[/tex]

    [TEX]<=>\left\{\begin{matrix} m>\frac{7}{4}\\ m^2+2-2(2m+1)+4<0 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} m>\frac{7}{4}\\ m^2-4m+4<0 \end{matrix}\right.[/TEX]
    ( vô nghiệm )

    Vậy không có giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất.
     
    minhhoang_vip thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->