GTLL,GTNN $ P=\frac{x^6 + y^6 -1}{x^3 y + xy^3}$

[cuccu_3992]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x, y là các số thực khác không,
thỏa mãn $1-y^2 = x(x -y)$. tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

$ P=\frac{x^6 + y^6 -1}{x^3 y + xy^3}$

Các anh chị chỉ em bài này ạ.

 

[trantien.hocmai]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

anh giải thử coi có đúng không chứ anh không chắc vì đây là sở đoản của anh em thông cảm nhá
từ giả thiết ta có
$1-y^2=x(x-y) \leftrightarrow x^2+y^2=1+xy$
mặt khác ta có
$P=\dfrac{x^6+y^6-1}{x^3y+xy^3}=\dfrac{(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)-1}{xy(x^2+y^2)}=\dfrac{(x^2+y^2)^2-3x^2y^2-1}{xy}=\dfrac{(1+xy)^2-3x^2y^2-1}{xy}$
đến đây chỉ cần tiềm chặn trên và chặn dưới rồi dùng khảo sát nha

 

[eye_smile]

$P=\dfrac{(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)-(x^2+y^2-xy)}{xy(x^2+y^2)}=\dfrac{(x^2+y^2)^2-2x^2y^2-x^2y^2}{xy}-\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}=\dfrac{-2(xy)^2+2xy}{xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}=-2t+\dfrac{1}{t}+4$
với $t=x^2+y^2$

Có:$x^2+y^2=xy+1 \le 1+\dfrac{x^2+y^2}{2}$

\Rightarrow $x^2+y^2 \le 2$

\Rightarrow $P \ge \dfrac{1}{2}$