1/.CMR: [tex]n^{4} -n^{2}[/tex] chia hết cho 12 ( bài này mình chứng minh được chia hết cho 3 rồi, còn 4 thì không biết làm sao) 2/.CMR : với x,n là các số nguyên thì: a)[tex]x^{2n+1}-x[/tex] chia hết cho 6. b)Cho 2 số: A=a+b+c và B=[tex]a^{2001}+b^{2001}+c^{2001}[/tex] , trong đó a,b,c là các số nguyên dương. CMR: A chia hết cho 6 khi và chỉ khi B chia hết cho 6. 3/.Tìm số tự nhiên A, biết rằng trong 3 mệnh đề sau đây có 2 mệnh đề đúng, 1 mệnh đề sai: MĐ1:A+20 là số chính phương( mình đoán mệnh đề này sai). MĐ2:CSTC của chữ số A là 2. MĐ3: A-69 là số chính phương. Help me mọi người ơi!
1,[TEX]n^{4}-n^{2}=(n-1)n^{2}(n+1)[/TEX] xét n chẵn =>n^2 chia hết cho 4 xét n lẻ=>n-1 và n+1 chia hết cho 2=>(n-1)(n+1) chia hết cho 4
2, a, [tex]x^{2n+1}-x\\\\ =x.(x^{2n}-1)=x.(x^n-1).(x^n+1) (1)[/tex] có: x^n -1 chia hết cho x-1 => (1) chia hết cho x.(x-1) chia hết cho 2 -Xét 3 số tự nhiên liên tiếp x^n-1; x^n và x^n+1 => 1 trong 3 số chia hết cho 3 với x^n-1 hoặc x^n+1 => đpcm với x^n chia hết cho 3 => x chia hết cho 3 => đpcm b, tương tự phần a chứng minh được B-A chia hết cho 6 => A chia hết cho 6 <=> B chia hết cho 6 3, giả sử mệnh đề 2 đúng => A+20 tận cùng là 2 => ko là số chính phương => MĐ1 sai A-69 tận cùng là 3 => ko là số chính phương => MĐ3 sai => vô lí => mệnh đề 2 sai => MĐ1 và MĐ3 đúng đặt A+20=a^2 A-69=b^2 => a^2-b^2=A+20-A+69=89 => (a-b).(a+b)=89 mà a>b => a-b>0 và a+b>0 lại có a;b nguyên => a-b=1 và a+b=89 giải ra a;b thay vào tìm A...
Mình nghĩ câu 2a :[tex]x^{2n+1}-x=x.(x^{2n}-1)=x.(x^n-1).(x^n+1) (1)[/tex] x^n-1chia hết cho x-1 x^n+1 chia hết cho x+1 =>x.(x^n-1).(x^n+1) chia hết cho x(x-1)(x+1) mà x(x-1)(x+1) là tích 3 số liên tiếp nên chia hết cho 6 =>x.(x^n-1).(x^n+1) chia hết cho 6=>đpcm .....sẽ ngắn gọn hơn
Đầu tiên ta chứng minh được [tex]x^{2n+1}-x=x(x^n-1)(x^n+1)\vdots x(x-1)(x+1)[/tex] Vì [tex]x(x-1)(x+1)\vdots 6[/tex] nên [tex]x^{2n+1}-x\vdots 6[/tex]
Bây giờ xét tính chẵn lẻ của n. Nếu n lẻ thì x^n+1 chia hết cho x+1 Nếu n chẵn. Đặt [tex]n=2^t.k(k lẻ)[/tex] thì [tex]x^{n}-1=x^{2^t.k}-1=(x^{2^t})^k-1\vdots x-1[/tex]
