Giải phương trình nghiệm nguyên

[professional2365]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.$x+y+z=x^3+y^3+z^3$

2.$2x^2+2y^2-2xy+x+y-10=0$

3$x^3-x^2y+3x+2y-5=0$

4.$\dfrac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\dfrac{3}{7}$

5.$x^6 +3x^3+1=y^4$

6.2(x+y+z)+9=3xyz (nghiệm nguyên dương)

 

[angleofdarkness]

2/

Pt đã cho tương đương với $4(x+y)^2+(x+1)^2+(y-1)^2=0.$ (*)

Mà $4(x+y)^2;(x+1)^2;(y-1)^2$ \geq 0 \forall x; y nên $4(x+y)^2+(x+1)^2+(y-1)^2$ \geq 0 \forall x; y.

Dấu = xảy ra ở (*) \Leftrightarrow 4(x + y) = x + 1 = y - 1 = 0.

\Leftrightarrow x = -1; y = 1 (thỏa mãn)

3/

Pt cho tương đương với $y=x+\dfrac{x-5}{x^2+2}.$

Do x; y đều thuộc Z nên x - 5 và $x^2+2$ cũng thuộc Z \Rightarrow x - 5 chia hết cho $x^2+2$ (*)

\Rightarrow (x - 5)(x+5) chia hết cho $x^2+2$ \Leftrightarrow $(x^2+2)-7$ chia hết cho $x^2+2$

\Leftrightarrow 7 chia hết cho $x^2+2$ \Leftrightarrow $x^2+2$ là ước nguyên dương của 7 (do $x^2+2$ \geq 2 > 0$

Từ đó tìm được x = -5; -1; 1; 5. Thử vào (*) thì chọn x = -1; 5.

\Rightarrow (x ; y) = (-1; -3); (5; 5) thỏa mãn đề.

 

[angleofdarkness]

4/

Đk: $x^2-xy+y^2$ khác 0. (~~)

Ta có $7(x+y)=3(x^2-xy+y^2).$ (*)

Đặt p = x + y; q = x - y (p, q thuộc Z) thì $x=\dfrac{p+q}{2};y=\dfrac{p-q}{2}.$ Thay vào
(*) thì có $28p=3(p^2+3q^2).$ @};-

\Rightarrow 28p chia hết cho 3. Lại có (28; 3) = 1 nên p chia hết cho 3 \Rightarrow p = 3k (k thuộc Z).

Thay vào @};- \Rightarrow $28k=3(3k^2+q^2).$ tương tự \Rightarrow k chia hết cho 3.

Đặt k = 3m (m thuộc Z) thì $m(28-27m)=q^2.$

$q^2$ \geq 0 \forall q nên m(28-27m) \geq 0. Tìm ra m = 0; 1 (m thuộc Z).

- Nếu m = 0 thì p = q = 0 \Rightarrow x = y = 0 (không thỏa mãn (~~)).

- Nếu m = 1 thì q = 1; p = 9 \Rightarrow x = 5; y = 4 hoặc ngược lại.

Vậy pt cho có nghiệm (x; y) = (4; 5); (5; 4).

 

[angleofdarkness]

5/

Pt cho \Leftrightarrow $4x^6+12x^3+4=4y^4$ \Leftrightarrow $(4x^6+12x^3+9)-4y^4=5$

\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow $(2x^3+3+2y^2)(2x^3+3-2y^2)=5.$

Do x, y thuộc Z nên $(2x^3+3+2y^2);(2x^3+3-2y^2)$ cũng thuộc Z và $(2x^3+3+2y^2)>(2x^3+3-2y^2)$ \forall y thuộc Z.

Mà 5 = (-5).(-1) = 5.1 nên có:

- T.h $(2x^3+3+2y^2)=-1;(2x^3+3-2y^2)=-5$.

- T.h $(2x^3+3+2y^2)=5(2x^3+3-2y^2)=1.$

Giải các pt trên ta đc nghiệm thỏa mãn là (x; y) = (0; -1); (0; 1).

 

[angleofdarkness]

6/ (bài 1/ tương tự bài này)

Chia cả 2 vế của pt cho xyz > 0 ta được $\dfrac{2}{yz}+\dfrac{2}{zx}+\dfrac{2}{xy}+\dfrac{9}{xyz}=3.$

Giả sử x \geq y \geq z \geq 1 \Rightarrow $3=\dfrac{2}{yz}+\dfrac{2}{zx}+\dfrac{2}{xy}$ $+\dfrac{9}{xyz}$ \leq $\dfrac{15}{z^3}$

\Rightarrow $z^3$ \leq 5 \Rightarrow $z^3$ = 1 \Leftrightarrow z = 1.

Khi đó thì 2x + 2y + 11 = 3xy \Leftrightarrow $3=\dfrac{2}{y}+\dfrac{2}{x}+\dfrac{11}{xy}$ \leq $\dfrac{15}{y^2}.$

\Rightarrow $y^2$ \leq 5 \Rightarrow $y^2$ = 1; 4 \Leftrightarrow y = 1; 2. (y > 0)

- Nếu y = 1 thì x = 13 (chọn).

- Nếu y = 2 thì x = 3.75 (loại).

Vậy pt cho có nghiệm (x; y ; z) = (1; 1; 13); (1; 13; 1); (13; 1; 1).