Giải bất phương trình

[pehe0_kute]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

help me! Giúp mình giải bài này với! Ngày mai kiểm tra rùi
Cho x>0, y>0 và x+y=1. Chứng minh rằng: x^2 + y^2 \geq 1/2
:khi (76): :khi (204): :Mloa_loa: khi (44):

 

[brandnewworld]

Dùng Bu-nhi-a-xcốp-ki với hai bộ số: (1;1) và (x;y). Ta có: [TEX](1^2+1^2)(x^2+y^2) \geq (1x+1y)^2 \Leftrightarrow x^2+y^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX].

 

[huynh_trung]

Dùng Bu-nhi-a-xcốp-ki với hai bộ số: (1;1) và (x;y). Ta có: [TEX](1^2+1^2)(x^2+y^2) \geq (1x+1y)^2 \Leftrightarrow x^2+y^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX].

này brandnewworld mà mà làm sao ra được cái đó vậy nhỉ, tui hok hiểu.....

 

[learn_more2]

huynh_trung đã học về đẳng thức Bu-nhi-a-xcốp-ki chưa
+ nó có dạng thế này này : +++cho 2 dãy số a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 .......,an
& b1,b2,b3,b4,b5......,bn
(n thuộc N* ,n\geq2)
ta sẽ có
( a1^2,a2^2 ,a3 ^2,a4^2 ,a5 ^2.......,an^2)(b1^2b2^2,b3^2,b4^2,b5^2......,bn^2) \geq (a1b1+a2b2+a3b3+.........anbn)

************gõ công thức chưa chuẩn cho lắm ,thông cảm nhé **************

 

[251295]

Trả lời nè !!!

*Đề bài: Cho [TEX]x,y>0[/TEX] và [TEX]x+y=1[/TEX]. CMR: [TEX]x^2+y^2\geq\frac{1}{2}[/TEX]
- Trả lời: Bài tập này có nhiều cách. Sau đây tôi xin trình bày 2 cách đơn giản, dễ hiểu nhất !!!

*C1: Ta có [TEX]x+y=1 \Leftrightarrow (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=1[/TEX] (1)
Ta lại có [TEX](x-y)^2=x^2-2xy+y^2\geq 0[/TEX] (2)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta có:
[TEX]x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2 \geq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2x^2+2y^2 \geq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2+y^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX] (đpcm)
*C2: Đặt [TEX]x=\frac{1}{2}+a[/TEX] (a \geq 0)
và [TEX]y=\frac{1}{2}+b[/TEX] (b \geq 0)
Vì [TEX]x+y=1 \Rightarrow a+b=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2+y^2-\frac{1}{2}=(\frac{1}{2} +a)^2 +(\frac{1}{2}+b)^2 - \frac{1}{2}=\frac{1}{4} + a + a^2+ \frac{1}{4} +b + b^2 - \frac{1}{2}=( \frac{1}{4}+\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) + (a+b)+ (a^2 + b^2) = a^2 + b^2 \geq 0 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2+y^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX] (đpcm)

 

[brandnewworld]

Cách của tớ là ngắn nhất và dễ hiểu nhất rồi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[tom_stone01]

Đúng thế, cách của branđnewworld là ngắn và dễ hiểu nhất
Mà bạn đưa đề học lớp mấy vậy

 

[minhnam138]

Nhưng nếu không nghĩ ra Bu-nhi-a thì cách kia là dễ nhất rồi

 

[brandnewworld]

Đúng thế, cách của branđnewworld là ngắn và dễ hiểu nhất
Mà bạn đưa đề học lớp mấy vậy

Đề này lớp 8 nâng cao, đề này là dễ nhất đó!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[qnhu73]

Cho em hỏi mấy bài này với:
1 Cho \frac{m}{n} < \frac{p}{q} (n, q >0; m,n,p,q \in Z)
a. Cm: \frac{m}{n} < \frac{mk+ph}{nk+qh} < \frac{p}{q} (k, h \in Z+)
b. Cm Nếu \frac{m}{n} < x < \frac{p}{q} (x \in Q)
thì x có dạng x= \frac{mk+ph}{nk+qh}
2. Cho a,b,c \geq 2
Cm: \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq \frac{a}{b-1} + \frac{b}{c-1} + \frac{c}{a-1}
3. Cho 1 \leq a \leq b \leq c \leq d \leq 100,
M= \frac{a}{b} + \frac{c}{d}
Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Cảm ơn mấy anh chị nhiều..
Em xin lỗi nếu có vấn đề gì với mấy cái công thức nha! Em cũng không chắc nữa:khi (130):

 

[huynh_trung]

Cho em hỏi mấy bài này với:
1 Cho [TEX]\frac{m}{n} < \frac{p}{q} (n, q >0; m,n,p,q \in Z)[/TEX]
a. Cm:[TEX] \frac{m}{n} < \frac{mk+ph}{nk+qh} < \frac{p}{q} (k, h \in Z+)[/TEX]
b. Cm Nếu[TEX] \frac{m}{n} < x < \frac{p}{q} (x \in Q) [/TEX]
thì x có dạng [TEX]x= \frac{mk+ph}{nk+qh}[/TEX]
2. Cho[TEX] a,b,c \geq 2[/TEX]
Cm: [TEX]\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq \frac{a}{b-1} + \frac{b}{c-1} + \frac{c}{a-1} [/TEX]
3. Cho [TEX]1 \leq a \leq b \leq c \leq d \leq 100,[/TEX]
[TEX]M= \frac{a}{b} + \frac{c}{d}[/TEX]
Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Cảm ơn mấy anh chị nhiều..
Em xin lỗi nếu có vấn đề gì với mấy cái công thức nha! Em cũng không chắc nữa:khi (130):

thế này cho dể dòm!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.............

 

[jupiter994]

2
cho là P
$$P \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c} =a+b+c \geq \frac{a}{b-1} + \frac{b}{c-1} + \frac{c}{a-1}$$
$$"=" <=> a=b=c=2$$

 

[jupiter994]

không biết bài 3 giải đúng không nhưng ta có
$$M \geq 2\sqrt{\frac{a}{b} + \frac{c}{d}}$$
$$M min = 2\sqrt{\frac{a}{b} + \frac{c}{d}}$$
$$<=> \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$
$$=> Mmin =2\sqrt{\frac{2a}{b} }$$
$$Mmin <=> \frac{2a}{b} min <=> a min =1 , bmax=100$$
$$=> Mmin = 2\sqrt{\frac{2a}{b}} = \frac{2\sqrt{2}}{10}$$
$$<=> a=c=1 , b=d=100$$

 

[qnhu73]

Còn bài 1, anh jupite4 giải luôn giúp nhé! Thanks 2 bài kia nhiều

 

[jupiter994]

ta sẽ Cm nếu cho$$\frac{m}{n}< \frac{p}{q}$$ ( m,n,p,q thuộc Z với n,q > 0)
xét$$\frac{m+p}{n+q} > \frac{m}{n}$$
$$<=> pn-qm >0$$( sau khi chuyển vế đổi dấu quy đồng )
$$=> \frac{p}{q} > \frac{m}{n}$$( đúng)
$$=>\frac{m+p}{n+q} > \frac{m}{n}$$ luôn đúng với q,p,m,n thuộc tập xác định
mà có$$\frac{m}{n} = \frac{mk}{nk}$$
$$\frac{p}{q} = \frac{ph}{qh}$$
$$=> \frac{mk+ph}{nk+qh} > \frac{mk}{nk} = \frac{m}{n}$$
CMTT ta có vế kia

 

[benhok]

2
cho là P
$$P \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c} =a+b+c \geq \frac{a}{b-1} + \frac{b}{c-1} + \frac{c}{a-1}$$
$$"=" <=> a=b=c=2$$

jupite4 cho benhok hỏi tí chỗ$$P \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c} =a+b+c$$
làm răng mà bằng a^2+b^2+c^2được mà nhok tính ra được kết quả như thế

 

[jupiter994]

jupite4 cho benhok hỏi tí chỗ$$P \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c} =a+b+c$$
làm răng mà bằng a^2+b^2+c^2được mà nhok tính ra được kết quả như thế

nghĩa là sao , cái này là BDT svaxo được suy ra từ BNS mà . mình hok hiểu ý lắm ^^!

 

[benhok]

nơi chỗ bài 2 đó vế trái nhok tính ra được kết quả =a^2+b^2+c^2 còn jupiter làm răng tớ hok hiểu jupiter có thể giải rõ ràng hơn được không

 

[benhok]

mà còn nữa BDT svaco là BDT gì vậy sao nhok chưa nghe bao giờ lớp 8 vẫn chưa học mà

 

[jupiter994]

Bất đẳng thức svacxo : được phát biểu như sau : Cho 2 dãy số thực :$$a_1,a_2,a_3,...a_n$$và$$b_1,b_2,...,b_n ( b_i > 0,i =1,2...n)$$thì ta có:
$$\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} +....+ \frac{a_n^2}{b_n} \geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$$