Giải bất phương trình

B

brandnewworld

Dùng Bu-nhi-a-xcốp-ki với hai bộ số: (1;1) và (x;y). Ta có: [TEX](1^2+1^2)(x^2+y^2) \geq (1x+1y)^2 \Leftrightarrow x^2+y^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX].
 
L

learn_more2

huynh_trung đã học về đẳng thức Bu-nhi-a-xcốp-ki chưa
+ nó có dạng thế này này : +++cho 2 dãy số a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 .......,an
& b1,b2,b3,b4,b5......,bn
(n thuộc N* ,n\geq2)
ta sẽ có
( a1^2,a2^2 ,a3 ^2,a4^2 ,a5 ^2.......,an^2)(b1^2b2^2,b3^2,b4^2,b5^2......,bn^2) \geq (a1b1+a2b2+a3b3+.........anbn)

************gõ công thức chưa chuẩn cho lắm ,thông cảm nhé **************;)
 
2

251295

Trả lời nè !!!

*Đề bài: Cho [TEX]x,y>0[/TEX] và [TEX]x+y=1[/TEX]. CMR: [TEX]x^2+y^2\geq\frac{1}{2}[/TEX]
- Trả lời: Bài tập này có nhiều cách. Sau đây tôi xin trình bày 2 cách đơn giản, dễ hiểu nhất !!!

*C1: Ta có [TEX]x+y=1 \Leftrightarrow (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=1[/TEX] (1)
Ta lại có [TEX](x-y)^2=x^2-2xy+y^2\geq 0[/TEX] (2)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta có:
[TEX]x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2 \geq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2x^2+2y^2 \geq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2+y^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX] (đpcm)
*C2: Đặt [TEX]x=\frac{1}{2}+a[/TEX] (a \geq 0)
và [TEX]y=\frac{1}{2}+b[/TEX] (b \geq 0)
Vì [TEX]x+y=1 \Rightarrow a+b=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2+y^2-\frac{1}{2}=(\frac{1}{2} +a)^2 +(\frac{1}{2}+b)^2 - \frac{1}{2}=\frac{1}{4} + a + a^2+ \frac{1}{4} +b + b^2 - \frac{1}{2}=( \frac{1}{4}+\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) + (a+b)+ (a^2 + b^2) = a^2 + b^2 \geq 0 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2+y^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX] (đpcm)
 
Last edited by a moderator:
B

brandnewworld

Cách của tớ là ngắn nhất và dễ hiểu nhất rồi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
 
T

tom_stone01

Đúng thế, cách của branđnewworld là ngắn và dễ hiểu nhất
Mà bạn đưa đề học lớp mấy vậy
 
Q

qnhu73

Cho em hỏi mấy bài này với::confused:
1 Cho \frac{m}{n} < \frac{p}{q} (n, q >0; m,n,p,q \in Z)
a. Cm: \frac{m}{n} < \frac{mk+ph}{nk+qh} < \frac{p}{q} (k, h \in Z+)
b. Cm Nếu \frac{m}{n} < x < \frac{p}{q} (x \in Q)
thì x có dạng x= \frac{mk+ph}{nk+qh}
2. Cho a,b,c \geq 2
Cm: \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq \frac{a}{b-1} + \frac{b}{c-1} + \frac{c}{a-1}
3. Cho 1 \leq a \leq b \leq c \leq d \leq 100,
M= \frac{a}{b} + \frac{c}{d}
Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Cảm ơn mấy anh chị nhiều.:D.
Em xin lỗi nếu có vấn đề gì với mấy cái công thức nha! Em cũng không chắc nữa:khi (130):
 
H

huynh_trung

qnhu73 said:
Cho em hỏi mấy bài này với::confused:
1 Cho [TEX]\frac{m}{n} < \frac{p}{q} (n, q >0; m,n,p,q \in Z)[/TEX]
a. Cm:[TEX] \frac{m}{n} < \frac{mk+ph}{nk+qh} < \frac{p}{q} (k, h \in Z+)[/TEX]
b. Cm Nếu[TEX] \frac{m}{n} < x < \frac{p}{q} (x \in Q) [/TEX]
thì x có dạng [TEX]x= \frac{mk+ph}{nk+qh}[/TEX]
2. Cho[TEX] a,b,c \geq 2[/TEX]
Cm: [TEX]\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq \frac{a}{b-1} + \frac{b}{c-1} + \frac{c}{a-1} [/TEX]
3. Cho [TEX]1 \leq a \leq b \leq c \leq d \leq 100,[/TEX]
[TEX]M= \frac{a}{b} + \frac{c}{d}[/TEX]
Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Cảm ơn mấy anh chị nhiều.:D.
Em xin lỗi nếu có vấn đề gì với mấy cái công thức nha! Em cũng không chắc nữa:khi (130):
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

thế này cho dể dòm!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.............
 
J

jupiter994

2
cho là P
[tex]P \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c} =a+b+c \geq \frac{a}{b-1} + \frac{b}{c-1} + \frac{c}{a-1}[/tex]
[tex]"=" <=> a=b=c=2 [/tex]
 
J

jupiter994

không biết bài 3 giải đúng không nhưng ta có
[tex]M \geq 2\sqrt{\frac{a}{b} + \frac{c}{d}}[/tex]
[tex]M min = 2\sqrt{\frac{a}{b} + \frac{c}{d}}[/tex]
[tex]<=> \frac{a}{b} = \frac{c}{d}[/tex]
[tex]=> Mmin =2\sqrt{\frac{2a}{b} }[/tex]
[tex]Mmin <=> \frac{2a}{b} min <=> a min =1 , bmax=100[/tex]
[tex]=> Mmin = 2\sqrt{\frac{2a}{b}} = \frac{2\sqrt{2}}{10}[/tex]
[tex]<=> a=c=1 , b=d=100 [/tex]
 
Q

qnhu73

Còn bài 1, anh jupiter994 giải luôn giúp nhé! Thanks 2 bài kia nhiều:D
 
Last edited by a moderator:
J

jupiter994

ta sẽ Cm nếu cho[tex] \frac{m}{n}< \frac{p}{q}[/tex] ( m,n,p,q thuộc Z với n,q > 0)
xét[tex] \frac{m+p}{n+q} > \frac{m}{n}[/tex]
[tex] <=> pn-qm >0 [/tex]( sau khi chuyển vế đổi dấu quy đồng )
[tex]=> \frac{p}{q} > \frac{m}{n}[/tex]( đúng)
[tex]=>\frac{m+p}{n+q} > \frac{m}{n}[/tex] luôn đúng với q,p,m,n thuộc tập xác định
mà có[tex] \frac{m}{n} = \frac{mk}{nk}[/tex]
[tex]\frac{p}{q} = \frac{ph}{qh}[/tex]
[tex]=> \frac{mk+ph}{nk+qh} > \frac{mk}{nk} = \frac{m}{n}[/tex]
CMTT ta có vế kia
 
Last edited by a moderator:
B

benhok

nơi chỗ bài 2 đó vế trái nhok tính ra được kết quả =a^2+b^2+c^2 còn jupiter làm răng tớ hok hiểu jupiter có thể giải rõ ràng hơn được không
 
B

benhok

mà còn nữa BDT svaco là BDT gì vậy sao nhok chưa nghe bao giờ lớp 8 vẫn chưa học mà
 
J

jupiter994

Bất đẳng thức svacxo : được phát biểu như sau : Cho 2 dãy số thực :[tex]a_1,a_2,a_3,...a_n [/tex]và[tex] b_1,b_2,...,b_n ( b_i > 0,i =1,2...n)[/tex]thì ta có:
[tex]\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} +....+ \frac{a_n^2}{b_n} \geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}[/tex]
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom