Toán 10 Đường tròn Lemoine thứ nhất

[Windeee]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). L là điểm Lemoine của tam giác ABC.Các đường thẳng qua L song song với BC,CA,AB cắt các cạnh AB,BC,CA tạo thành 6 điểm. Chứng minh rằng 6 điểm này cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm của OL.
Mọi người cho mình xin cách chứng minh tâm là trung điểm OL ạ.

 

[7 1 2 5]

Lần lượt gọi 6 giao điểm đó là [TEX]A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2[/TEX] sao cho [TEX]A_1A_2 \parallel BC[/TEX] và [TEX]A_1 \in AB, A_2 \in AC[/TEX]. Tương tự với [TEX]B_1 \in BC[/TEX], [TEX]B_2 \in AB[/TEX], [TEX]C_1 \in AC[/TEX], [TEX]C_2 \in BC[/TEX].
Gọi I là tâm của đường tròn đi qua 6 điểm trên.
Khi đó vì [TEX]\widehat{AB_2C_1}=\widehat{AA_2A_1}=\widehat{ACB}[/TEX] nên ta chứng minh được [TEX]AO \perp B_2C_1[/TEX].
Mặt khác, vì [TEX]AB_2LC_1[/TEX] là hình bình hành nên nó có tâm J là trung điểm [TEX]AL[/TEX] và [TEX]B_2C_1[/TEX].
Ta có: [TEX]IJ \parallel AO[/TEX] do cùng vuông với [TEX]B_2C_1[/TEX] nên theo định lí đường trung bình ta có [TEX]I[/TEX] là trung điểm [TEX]LO[/TEX].

Đường tròn trên được gọi là đường tròn Lemoine thứ nhất nhé. Em có thể tìm hiểu thêm các đường tròn Lemoine thứ 2 và thứ 3 nhé.

Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.